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2015高考数学(文)一轮方法测评练:12-基础回扣练——推理证明、算法、复数


基础回扣练——推理证明、算法、复数
(建议用时:60 分钟) 一、填空题 1.(2013· 北京卷改编)在复平面内,复数 i(2-i)对应的点位于第________象限. 解析 答案 因为 i(2-i)=1+2i,所以对应的点的坐标为(1,2),该点在第一象限. 一 1 的模为________. i-1

2.(2013· 辽宁卷改编)复数 z= 解

析 ∴|z|= 答案 z=

-1-i 1 1 1 = =-2-2i, i-1 ?-1+i??-1-i?

2 ? 1?2 ? 1?2 ?-2? +?-2? = . 2 ? ? ? ? 2 2 5 ,则 a+b= 2-i

3.(2014· 韶关调研)若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+ ________. 解析 由已知得 ai+i2=b+(2+i),

?b+2=-1, ?a=1, 即-1+ai=(b+2)+i,∴? ∴? ?a=1, ?b=-3, ∴a+b=1-3=-2. 答案 -2

4. (2014· 佛山二模)已知复数 z 的实部为 1, 且|z|=2, 则复数 z 的虚部是________. 解析 设 z=a+bi(a,b∈R),由题意知 a=1,

∴1+b2=4,∴b2=3,∴b=± 3. 答案 ± 3

5.(2014· 青岛一模)某流程图如图所示,若 a=3,则该程序运行后,输出的 x 值 为________.

1

解析

第一次循环:x=2×3+1=7,n=2;

第二次循环:x=2×7+1=15,n=3; 第三次循环:x=2×15+1=31,n=4. 此时不满足条件,输出 x=31. 答案 31

6.(2014· 徐州一模)执行如图所示的流程图,则输出 n 的值为________.

解析

第一次循环,n=1,S=1+2=3;第二次循环,n=2,S=2×3+2=8;

第三次循环, n=3, S=3×8+2=26; 第四次循环, n=4, S=4×26+2=106, 此时满足条件,输出 n=4. 答案 4

2

7.(2014· 绍兴模拟)已知某流程图如图所示,当输入的 x 1 的值为 5 时,输出的 y 的值恰好是3,则在空白的赋 值框处应填入的关系式可以是________. ①y=x3;②y= 解析 ;③y=3x;④y=3-x.

由流程图可知,当输入的 x 的值为 5 时,

第一次运行,x=5-2=3; 第二次运行,x=3-2=1; 第三次运行,x=1-2=-1, 1 此时 x≤0,退出循环,要使输出的 y 的值为3,只有③中的函数 y=3x 符合要 求. 答案 ③

8.(2014· 咸阳模拟)某算法的流程图如图所示,如果输出的结 果为 5,57,则判断框内应为________. ①k≤6;②k>4;③k>5;④k≤5. 解析 当 k=1 时,S=2×0+1=1;当 k=2 时,S=2×1

+2=4; 当 k=3 时, S=2×4+3=11; 当 k=4 时, S=2×11 +4=26;当 k=5 时,S=2×26+5=57,由题意知此时 退出循环. 答案 ②

9.(2014· 福州质检)将正奇数 1,3,5,7,?排成五列(如下表),按此表的排列规律, 89 所在的位置是第________列.

解析

正奇数从小到大排,则 89 位居第 45 位,而 45=4×11+1,故 89 位
3

于第四列. 答案 四

10. (2013· 长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形, 并且直角边中较小者为勾, 另一直角边为股,斜边为弦.若 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜 边,则 a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何 中:在四面体 OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90° ,S 为顶点 O 所对面 的面积,S1,S2,S3 分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC 的面积,则 S,S1, S2,S3 满足的关系式为________. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ①S2=S2 1+S2+S3;②S = 2+ 2+ 2;③S=S1+S2+S3;④S= + + . S S S S S S
1 2 3 1 2 3

解析

如图,作 OD⊥BC 于点 D,连接 AD,由立体

?1 ? 1 AD?2= 几何知识知,AD⊥BC,从而 S2=?2BC· ? ? 4 1 1 1 BC2· AD2=4BC2· (OA2+OD2)=4(OB2+OC2)· OA2+4 ?1 ? ?1 ? ?1 ? OA?2+?2OC· OA?2+?2BC· OD?2=S2 BC2· OD2=?2OB· 1 ? ? ? ? ? ?
2 +S2 2+S3.

答案

① 2 =________. 1+i

11.(2014· 湛江二模)已知 i 是虚数单位,则 解析 答案 2 =1-i. 1+i 1-i

1+ai 12.(2014· 无锡一模)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a=________. 2-i 解析 1+ai ?1+ai??2+i? 2-a 2a+1 = = 5 + 5 i, 2-i ?2-i??2+i?

2-a 由题意知: 5 =0,∴a=2. 答案 2

13. (2013· 浙江卷)若某流程图如图所示, 则该程序运行后输出的值等于________.

4

解析

1 3 第一步:S=1+2=2,k=2;

3 1 5 第二步:S=2+ = ,k=3; 2×3 3 5 1 7 第三步:S=3+ =4,k=4; 3×4 7 1 9 第四步:S=4+ = ,k=5, 4×5 5 9 结束循环.输出 S=5. 答案 9 5

14. (2014· 泰安一模)若流程图如图所示, 则该程序运行后输出 k 的值为________.

5

解析

第一次:n=3×5+1=16,k=1;

16 第二次:n= 2 =8,k=2; 8 第三次:n=2=4,k=3; 4 第四次:n=2=2,k=4; 2 第五次:n=2=1,k=5, 此时满足条件,输出 k=5. 答案 5

15.(2013· 陕西卷)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ??
6

照此规律,第 n 个等式可为________. 解析 观察规律可知,第 n 个式子为 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=

n?n+1? (-1)n+1 2 . 答案 n?n+1? 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1 2

16.(2014· 兰州质检)在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积 S1 1 为 S1,外接圆面积为 S2,则S =4.推广到空间几何可以得到类似结论:若正
2

V1 四面体 ABCD 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则V =________.
2

解析

平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,
2

V1 1 球的体积与球的半径的立方成正比,所以V =27. 答案 1 27

二、解答题 17.在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n 对任意 n∈N*都成立. (1)求 a2 的取值范围; (2)判断数列{an}能否为等比数列,并说明理由. 解 (1)因为{an}是单调递增数列,所以 a2>a1,即 a2>2.

又(n+1)an≥na2n,令 n=1,则有 2a1≥a2,即 a2≤4,所以 a2∈(2,4]. (2)数列{an}不能为等比数列. 用反证法证明: 假设数列{an}是公比为 q 的等比数列,由 a1=2>0,得 an=2qn-1. 因为数列{an}单调递增,所以 q>1. 因为(n+1)an≥na2n 对任意 n∈N*都成立, 1 所以对任意 n∈N*,都有 1+n≥qn.① 因为 q>1,所以存在 n0∈N*, 使得当 n≥n0 时,qn>2. 1 因为 1+n≤2(n∈N*).
7

1 所以存在 n0∈N*,使得当 n≥n0 时,qn>1+n,与①矛盾,故假设不成立. 18.(2014· 福州质检)阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, ① sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, ② 由①+②得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, ③ A+B A-B 令 α+β=A,α-β=B,有 α= 2 ,β= 2 , 代入③得 sin A+sin B=2sin A+B A-B 2 cos 2 .

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cos A-cos B=- A+B A-B 2sin 2 sin 2 ; (2)若△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 cos 2A-cos 2B=1-cos 2C,试判断△ ABC 的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解 (1)因为 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, ① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, ② ①-②得 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β. ③ A+B A-B 令 α+β=A,α-β=B,有 α= 2 ,β= 2 , 代入③得 cos A-cos B=-2sin A+B A-B 2 sin 2 .

(2)由二倍角公式,cos 2A-cos 2B=1-cos 2C 可化为 1-2sin2A-1+2sin2B =1-1+2sin2C,
8

所以 sin2A+sin2C=sin2B. 设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 由正弦定理可得 a2+c2=b2. 根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形.

9

在学习数学的过程中,各种水平的学生,包括青少年以及更低水平的学 生,用一种系统的方式,动手“做”并在动作中理解,都远比用语言更能表 达。 ——皮亚杰

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