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云南省昆明市官渡区第二中学2013届高三第二次阶段性检测数学(文)试题


第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | log x 4 ? 2 ? ,则 A ? B ?
2

?

?

A. ??2,1, 2? 2.

若 tan α =2,则 A.0

B. ?1, 2?

C. ??2, 2?

D.

?2?

2 sin? ? cos? 的值为 sin? ? 2 cos?

3 B. 4

C. 1

5 D. 4

-3+i 3.复数 z= 的共轭复数是 2+i A.2+i B.2-i C.-1+i 4.已知命题 p : $ x ? R,sin x A. $ x ? R,sin x C. $ x 纬R,sin x 5.抛物线

D.-1-i

1 x . 则 ?p : 为 2
B. " x ? R,sin x D. " x 纬R,sin x

1 x 2 1 x 2

1 x 2 1 x 2

y 2 ? 4 x 的准线方程为
B. x ? ?2
x

A. x ? 2

C. x ? 1

D. x ? ?1

1? 6.曲线 y ? e ? x 在点 ? 0, 处的切线方程为
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? x ? 1 D. y ? ? x ? 1

7.极坐标方程(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 8. 林管部门在每年 3?12 植树节前,为保证树苗的质量,都会在植树前 对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度, 其茎叶图如图 1.根据茎叶图,下列描述正确的是 A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度, 且甲种树苗比乙种 树苗长得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 9. 如果执行图 2 的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN,输出 A,B,则 A. A+B 为 a1,a2,…,aN 的和

-1-

为 a1,a2,…,aN 的算术平均数 2 C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数 B.

A+B

图 2

11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 2 2 .双曲线 x -y =1 的渐近线与椭圆 C 有四个 2

交点,以 这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 A. + =1 8 2

x2 y 2

B. + =1 12 6

x2

y2

C. + =1 16 4

x2

y2

D. + =1 20 5
y

x2

y2

12. 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图象如图所示, ?EFG 是边长为 2 的 等边三角形,则 f (1) 的值为

E

A. ?

3 2

B. ?

6 2

O

F

G

C. 3

D. ? 3

x

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上. 13.设向量 a,b 的夹角为 ? ,且 a = ? 3,3? , 2b ? a = ? ?1,1? ,则 cos? ? .

-2-

? x ? 0, ? 14.若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? x, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
1 3 15.观察下列不等式 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 …… 照此规律,第五个不等式为______________. ... 16. 若直线 ?

.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 6 x ? ky ? 1垂直,则常数 k = ?y ? 2?t

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 设锐角△ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 b 是 a、c 的等比中项,

3 且 sin Asin C ? . 4
(1) 求角 B 的大小; (2) 若 x ?[0,? ) ,求函数 f ( x) ? sin( x ? B) ? sin x 的值域.

18.(本小题满分 12 分) 设 {an } 是一个公差为 2 的等差数列, a1 , a2 , a4 成等比数列. (1) 求数列 {an } 的通项公式 an ;

2 (2) 数列 {bn } 满足 bn ? n? n ,设 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n .
a

19.(本小题满分 12 分) 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

-3-

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 1 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径 2 a b 2

的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切。 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q;

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2ax ?

b ? ln x . x

(1) 若函数 f (x) 在 x ? 1, x ?

1 处取得极值,求 a , b 的值; 2

(2) 若 f ?(1) ? 2 ,函数 f (x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

-4-

昆明市官渡二中 2013 届高三年级 11 月考试题

文科数学答案

4. D【解析】原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即 ?p : ?x ? R,sin x ? 5. D

x . 2

6. A【解析】 y? ? e ? 1 , k ? y? |x ?0 ? e ? 1 ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2 x ,即 y ? 2 x ? 1 .
x
0

7. C

8.D【解析】甲种树苗的平均高度为

x甲 =
甲种树苗的高度的方差为

, 19+20+21+23+25+29+37+33+32+31 =27 10

s

2 甲

? ?8? + ? ?7 ? + ? ?6 ? + ? ?4 ? + ? ?2 ? =
2 2 2 2

2

+22 +102 +62 +52 +4 2

10

=35 ;

乙种树苗的平均高度为 x乙 = 乙种树苗的高度的方差为
2 s乙 =

10+14+10+26+27+30+44+46+46+47 =30 , 10
2 2 2

? ?20 ? + ? ?16 ? + ? ?20 ? + ? ?4 ? + ? ?3?
2 2

+02 +142 +162 +162 +17 2

10

=207.8

比较可知,乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐, 选 D. 9. C 【解析】 由程序框图可知, x>A 时, 当 A=x; x≤A 且 x<B 时, 当 B=x, 所以 A 是 a1, 2, a …, aN 中的最大数,B 是 a1,a2,…,aN 中的最小数.故选 C. 10. C【解析】由三视图可知,该几何体的上方是一个直三棱锥(三棱锥的底面是腰长为 1 的 等腰直角三角形,高为 1) ;下方是一个半径为
3

1 2 ? 12 ? 12 ? 的半球.故所求几何体的体积 2 2

? 2? 1 1 1 4 2π 1 为 V ? ? ? 1 ? 1? 1 ? ? ? π ? ? . ? 2 ? ? 6 ?6 ? 3 2 2 3 ? ?

-5-

3 11. D【解析】由离心率为 2 得,a2=4b2,排除选项 B,双曲线的渐近线方程为 y=±x,与椭圆 的四交点组成的四边形的面积为 16 可得在第一象限的交点坐标为(2,2),代入选项 A、C、 D,知选项 D 正确. 12. D

13.

3 10 【解析】设 b = ? x, y ? .由 2b ? a ? ? ?1,1? ? ? 2 x ? 3, 2 y ? 3? ,得 x ? 1, y ? 2 , 10
所以 cos ? ?

a ?b 9 3 10 ? ? . a b 3 10 10

1 1 1 1 1 11 15. 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 【解析】从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的左边为:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2,对几 2 3 4 5 6 个不等式右边分析,其分母依次为:2,3,4,所以第 5 个式子的分母应为 6,而其分子依次为: 1 1 1 1 1 11 3,5,7,所以第 5 个式子的分子应为 11,所以第 5 个式子应为:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 16. -3 17.解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b2 ? ac .由正弦定理得 sin2 B ? sin Asin C .
? 3 3 ? 3 又 sin Asin C ? ,所以 sin 2 B ? . 而 sinB>0,则 sin B ? .因 B ? (0, ) ,故 B= . 5 分 2 4 4 3 2

(Ⅱ)因为 B ?

π ,则 3

f ( x) ? sin( x ? ) ? sin x ? sin x cos ? cos x sin ? sin x 3 3 3

?

?

?

-6-

3 3 ? ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) . x ?[0,? ) ,则 ? ? ? x ? ? ? 5? ,所以 sin( x ? ? ) ? [? 1 ,1] . 2 2 6 6 6 6 6 2
故函数 f ( x ) 的值域是 [ ?
3 , 3] . 2

------------------------------------------------------------10 分 -------------------- 2 分 ------------------6 分

18.解: (Ⅰ)由 a1,a2,a4 成等比数列得: 1+2)2=a1(a1+6). (a 解得 a1=2…4 分 数列{an}的通项公式是 an=2n(n∈N*)

(Ⅱ) bn =n· 2n ?=n· n(n∈N*)Sn=1· 2 4 4+2· 2+…+n·4n ①4Sn=1· 2+…+(n-1)4n+n4n+1②, ①-②得 4 4

( ? 4 n) n+1 41 4 ? 3n ? 1 4 n ?1 ( ) -3Sn= -n· ?,即 Sn= 4 ?3 9

-----------12 分

19.解: (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5, 大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6}, {A5,A6}, 共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1, A3}, {A2,A3},共 3 种. 3 1 所以 P(B)= = . 15 5 20. 解: (1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. 图 1-8 又 AC⊥BD,PA,AC 是平面 PAC 内的两条相交直线, 所以 BD⊥平面 PAC. 而 PC?平面 PAC,所以 BD⊥PC. (2)设 AC 和 BD 相交于点 O,连结 PO,由(1)知,BD⊥平面 PAC, 所以∠DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角.从而∠DPO=30° . 由 BD⊥平面 PAC,PO?平面 PAC 知,BD⊥PO. 在 Rt△POD 中,由∠DPO=30° ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形,AC⊥BD, 所以△AOD,△BOC 均为等腰直角三角形. 1 1 1 从而梯形 ABCD 的高为 AD+ BC= ×(4+2)=3, 2 2 2 1 于是梯形 ABCD 的面积 S= ×(4+2)×3=9. 2 2 在等腰直角三角形 AOD 中,OD= AD=2 2, 2 所以 PD=2OD=4 2,PA= PD2-AD2=4. 1 1 故四棱锥 P-ABCD 的体积为 V= ×S×PA= ×9×4=12. 3 3

-7-

设点 B(x1,y1),E(x2,y2),则 A( x1 , ? y1 ). 直线 AE 的方程为 y-y2=

y2 ? y 1 x2 ? x1

(x-x2).令 y=0,得 x=x2-

y2 ( x2 ? x1 ) . y2 ? y1
. ② ------------------8 分

将 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入,整理,得 x=

2 x1 x 2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8

由①得 x1+x2=

32 k 2 64 k 2 ? 12 ,x1x2= 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

…10 分

代入②整理,得 x=1. 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0). --------------------------------12 分

? f ?(1) ? 0 ? b 1 22. 解: (1) f ?( x) ? 2a ? 2 ? ,由 ? ,可得 1 x x ? f ?( 2 ) ? 0 ?

(2)函数 f (x) 的定义域是 (0,?? ) , 因为 f ?(1) ? 2 ,所以 b ? 2a ? 1 . 所以 f ?( x) ?

1 ? ?a ? ? 3 ? . --------4 分 ? 1 ?b ? ? 3 ?
------------ 5 分

2ax 2 ? x ? (2a ? 1) ( x ? 1)[2ax ? (2a ? 1)] ? x2 x2

-------------------------------7 分

要使 f (x) 在 (0,??) 上是单调函数,只要 f ?( x) ≥ 0 或 f ?( x) ≤ 0 在 (0,??) 上恒成立. 当 a ? 0 时, f ?( x) ?

x ?1 ? 0 恒成立,所以 f (x) 在 (0,??) 上是单调函数; --------9 分 x2
1 2a ? 1 , f (x) 在 (0,??) 上不单调,----10 分

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 , x1 ? ?1, x2 ? 1 ?

当 a ? 0 时,要使 f (x) 在 (0,??) 上是单调函数,只要 1 ? 2a ≥ 0 ,即 0 ? a ≤ 综上所述, a 的取值范围是 a ? [0, ] .

1 2

1 2

----------------------------12 分

-8-


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