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指数函数图像和性质1


复习回顾:
m an

1.正分数指数幂

m ? a ( a ? 0 , m , n ? N , 且n ? 1) ? n

2.

学习目标
? 1.理解指数函数定义; ? 2.掌握指数函数的图像和性质; ? 3.应用。

问题1:某种细胞分裂时,由1个

分裂成2个,2个分裂成 4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞的个 数y与x之间,构成一个函数关系,试着写出函数关系式。

问题2:古人云:“一尺之锤,日取其半,永世不竭。”
转化成数学问题,可设经过x天后剩留的长度为y,写出 函数的关系式。 问题3:中国的GDP年平均增长率为7.3﹪,如果我们把 2000年GDP看成是1个单位,设x年后我国的GDP为y,则 写出函数关系式。

(一)指数函数模样分析:

底为常数

指数为自变量

形如

y ? a x( a ? 0 , 且a ? 1 ) 的函数叫做指数函数,
幂为函数

其中 x为自变量,定义域为 R

探究1:为什么要规定a>0,且a

?

1 呢?

①若a=0,则当x>0时,
当x
x

?

=0; x 0时, a 无意义.

a

x

②若a<0,则对于x的某些数值,可使

1 x= 2 ……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x ? R,
x

1 如 ( ?2) ,这时对于x= 4

a

x

无意义.

a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。 在规定以后,对于任何x ? R,a x 都有意义,且 a x >0. 因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).

探究2:函数

y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗?

x x a 指数函数的解析式y= 中,a 的系数是1.

有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如

y ? ax ? k

(a>0且a

? 1,k? Z);
x

有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如

y ? a? x
因为它可以化为

(a ? 0, 且a ? 1)
?1? y ?? ? ?a?

1 1 ( ? 0, 且 ? 1) a 2

狠狠的结论吧:
函数y ? a ( a ? 0且a ? 1 )叫做指数函数,
x

其中 x 为自变量,定义域为 R
下列函数中,哪些是指数函数?

我 不 是
x

y ? 4x

y? x

4

y ? ?4

y ? 4 x ?1

我能行: 判断下列函数哪些是指数函数?
不是 ,(2)y=3· (1) y=2 x +1 4 X 不是 , 是 , (4) y=(-2)x 不是 , 是 不是

(3) y=3

x

(5)

y=10 x

,(6)

y=2 x+1



练习:导学案P67知识运用1,3 探究1

(二)模样分析

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

(三)指数函数

的图像及性质

a>1

图 象
y=1

y

0<a<1
y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1)

y

(0,1)

y=1 x

(0,1)

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

0

x

0 y > 1; 当 x < 0 时,
当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数

(四)深入探究,加深理解
y

观察它们图 像,顺藤摸瓜找 图像与底的关系

在第一象限 沿箭头方向 底增大

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

思考: 1.函数y ? x 的图像恒过点______ .

x ?1

2.函数y ? 2 ? 3 的图像恒过点_______ .

x ?1

3.函数y ? (a ? 1) 是增函数,
2 x

则a的取值范围为_______ .

(五)我一定能行

同底指数幂比大小, 构造指数函数,利用函数 单调性

? 例1: 比较下列各题中两值的大小 不同底数幂比大小,利 2.5 (1) 1.7 用指数函数图像与底的关 , 1.73; (2) 0.8-01,0.8-02
系比较

同底比较大小

( 3)



( 4)



不同底但可化同底

(5)(0.3) -0.3 与 (0.2) (6)1.70.3,0.93.1

利用函数图像或中间 变量进行比较 不同底但同指数 -0.3 底不同,指数也不同

结论
? 比较两数大小-----利用函数的图像 ? (1)底数相同构造函数; ? (2)指数相同时,作垂直于x轴的直线看 图像的上下位置关系; ? (3)底数和指数都不同时,找中间量,比 如1.

练习:探究二

已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : m n 2 ? 2 ( 1) (2) 0.2m ? 0.2n (3) a m ? a n (a ? 0且a ? 1)

P67:导学案
? 知识运用2:

(六) 原来我真行 1.当a ∈ (1,+?) 时,函数y=ax( a>0,a≠1) 为增函数,这时,x ∈ (0,+?) 时,y>1. 2.若函数y=(2a+1)x是减函数,则实数a的取值 1 范围是 a ? (? 2 ,0) . 1 x ?1 的定义域为 x∈[1,+?) ,值域 3.函数 y?( ) 2 为 y∈(0,1] .(暂不做) 4.比较大小: (1) 30.8 > 30.7 , (2) 0.75-0.1 > 0.750.2, (3) 1.50.2 > 0.72.2.

导学案P69:
? 拓展提升

四、小结: ①指数函数的概念 ②指数函数的图象 (两类) ③指数函数的性质 (定义域、值域、单调性、过定 点、最值、奇偶性等) ④指数函数的应用----大小比较 方法1:构造指数函数; 方法2:与0和1比.


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