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1.2.2 函数的表示法(2)分段函数及映射


高一数学 必修1 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射 问题提出 问题情境:某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步 前进,等跑累了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人 距离单位的距离是关于出发后的时间的函数,想一想,用怎 样的解析式表示这一函数关系呢?为解决这一问题,本节我 们学习分段函数. 知识探究(一) 探究点一 函数图象的作法 问题 作函数的

图象通常分为哪几步? 答 通常分为三步,即列表、描点、连线. 例 1 画出函数 y=|x|的图象. 解 由绝对值的概念, 有 ? ?x, x≥0, y=? ? ?-x,x<0. 所以,函数 y=|x|的图象如图所示. y ? x ?1 y ? f ( x) ?? 小结 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域.(2)要标出关键 点,如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键 点是实心还是虚心.(3)要掌握常见函数图象的特征.(4)函数图象 既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等. 知识探究(二) 探究点二 例2 分段函数 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里),票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里计算). 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程 之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析 1 函数的自变量是什么?如何设置变量?定义域的范围如何? 答 自变量为里程, 设票价为 y 元, 里程为 x 公里, 定义域为(0,20]. 分析 2 该函数用列表法怎样表示? 答 里程x(公里) 票价y(元) (0,5] 2 (5,10] 3 (10,15] 4 (15,20] 5 问题 1 根据分析 1、分析 2 写出例 2 的解答过程. 解 由题意得函数的解析式如下: ? ?2,0<x≤5, ?3,5<x≤10, y=? ?4,10<x≤15, ? ?5,15<x≤20. 函数图象如图所示: 问题 2 在例 2 中,我们得到的函数解析式是分段表达的,这样的 函数就是分段函数,那么如何定义分段函数? 答 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同 的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数. 小结 分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题 时,首先要确定自变量的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对 应关系;画分段函数图象时,应根据不同定义域上的不同解析式分 别作出. 一、分段函数求值 ? x ? 1 ,x ? ? 2 , ? 2 ? 2 ? x ? 2, 【例 1】已知函数 f(x)= ? x ? 2x, ?2x ? 1,x ? 2. ? ? (1)求 f(-5),f(- 3 ), f ? ? ? 5 ?? f ? ? ? ? 的值; ? 2 ?? (2)若 f(a)=3,求实数 a 的值. 5 解:(1)由-5 ? (-∞,-2], ? 3 ? (-2,2), ? ? (-∞,-2] 2 知,f(-5)=-5+1=-4, f( ? 3 )=( ? 3 )2+2( ? 3 )=3- 2 3 , 5 3 ? 5? f ? ? ? = ? +1= ? 。 2 2 ? 2? 一、分段函数求值 ? x ? 1 ,x ? ? 2 , ? 2 ? 2 ? x ? 2, 【例 1】已知函数 f(x)= ? x ? 2x, ?2x ? 1,x ? 2.

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