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北京市海淀区2013届高三查漏补缺文科数学试题及答案


2013 年高三数学查漏补缺题

1.函数 y ? cos(4 x ? A.



2013 年 5 月

?
3

) 图象的两条相邻对称轴间的距离为
B.

π 8

π 4

C.

π 2

D. π

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x B. y ? sin 2 x C. y ? ? x 3 D. y ? log 1 x
2

3.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向量 a , b 的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.90°

4. 已 知 函 数 f ( x ) ? x sin x , 则 f (

π π ) 3 11 π π C. f ( ) ? f (?1) ? f ( ? ) 11 3
A. f (? ) ? f (?1) ? f (

π π ) , f ( ?1) , ( ? ) 的 大 小 关 系 为 f 11 3 π π B. f (?1) ? f (? ) ? f ( ) 3 11 π π D. f (? ) ? f ( ) ? f (?1) 3 11
6 6 5
主视图 左视图

5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____, 体积为_____________. 6.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? / / ? , ? / /? , 则 ? / / ? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 其中所有真命题的序号是_____ ②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ?

5

俯视图

④若 m / / n, n ? ? ,则 m / /?

?x ? 2 y ? 0 ? 7.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域为 D,若直线 2x ? y ? b 上存在区域 D 上的点, ?y ? 0 ?
则 b 的取值范围是_____.

?0 ? x ? 2, ? 8.已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域为 W ,则 W 的面积是_____; ?3 x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
2 2 设点 P( x, y ) ?W ,当 x ? y 最小时,点 P 坐标为_____.

-1-

9.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn .则“ | q | ? 1 ”是“ S4 ? 2S2 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件



10.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在区间 [0, ] 上有两个零点,则 m 的取值范围是( A. [0, )

π 6

π 2



1 2

B. (0, ]

1 2

C. [ ,1)

1 2

D. ( ,1]

1 2

11.已知椭圆 G :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 .⊙ M 过椭圆 G 的一个顶点和一个 2 a b 2
) D. 16

焦点,圆心 M 在此椭圆上,则满足条件的点 M 的个数是( A. 4 B. 8 C. 12

12.如果直线 y ? kx ? 2 总不经过点 (cos? ,sin ? ) ,其中 ? ? R ,那么 k 的取值范围是_____. ... 13.如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E、F 分别是棱 AA? 、 CC ? 的中点,过 直线 E、F 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M、N, 设 BM= x, x ? [0,1] ,给出以下四个命题:
D' C'

①平面 MENF ? 平面 BDD?B? ; ②四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数;
E

N A' B' F

③四边形 MENF 面积 S ? g ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数; 以上命题中正确命题的个数( A.1 B.2 ) C.3 D.4
A

D

M

C

B

14.直线 y ? ax ? b 与抛物线 y ? 小值为

1 2 x ? 1相切于点 P . 若 P 的横坐标为整数,那么 a 2 ? b2 的最 4

?2n ? 1, ? n 项和 Sn ? ? 15.已知数列 {an } 的前 2 ??n ? (a ? 1)n, ?

n ? 4, n ? 5.

若 a 5 是 {an } 中的最大值,则实数

a 的取值范围是_____.

-2-

解答题部分: 1. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x (I)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,若 f ( ) ? 2 且 a 2 ? bc ,试判断
?ABC 的形状.

A 2

2.如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P 是单位圆上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y ? 3 x ( x ? 0)交于点 Q ,与 x 轴交于点 M .记
?M O P ? ? ,且 ? ? (? , ) .

π π 2 2

M

(Ⅰ)若 sin ? ?

1 ,求 cos ?POQ ; 3

(Ⅱ)求 ?OPQ 面积的最大值.

3. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin( x ? ) ? 1 ,且 f ( ) ? 1 ? 2 ﹙Ⅰ﹚求 a 的值. (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, π] 上的最大和最小值.

π 2

π 4

4. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? kn ? b ,其前 n 项和为 Sn . (I) 若 S2 ? 4, S3 ? 9 ,求 k , b 的值; (Ⅱ) 若 k ? ?2, 且 S5 ? 0 ,求 b 的取值范围.

3 3 3 3 2 5.数列 ?an ? 的各项都是正数, n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N ? , 前 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn .

(Ⅰ)求 a2 的值;
2 (Ⅱ)求证: an ? 2Sn ? an ;

(Ⅲ)求数列 ?an ? 的通项公式. 6. 已知正三角形 ACE 与平行四边形 ABCD 所在的平面互相垂直.
C D F O A E B

-3-

又 ?ACD ? 90? ,且 CD ? 2, AC ? 2 ,点 O , F 分别为 AC , AD 的中点. 求证: CF ? DE

7. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD ,PC ⊥ AD . 底 面 ABCD 为梯形, AB / / DC ,AB ? BC . PA ? AB ? BC , E 在 点 棱 PB 上,且 PE ? 2EB . (Ⅰ)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (Ⅱ)求证: PD ∥平面 EAC
D

P

E

A

B

C

8. 设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) 的两个极值点. (I)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值.

9. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ln x ? 5 . (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

10. 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且经过点 (? 2,1) ,又 4 b2

P, Q 是椭圆 C 上的两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 PQ 过 F1 ,且 PF1 ? 2 QF1 ,求 PQ .

11. 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴长为 2 . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 P(0,2) , 过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, 直线 PA 交椭圆 C 于点 Q , 求△ ABQ 面积的最大值.

-4-

2013 年最后阶段高三数学复习参考资料

题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 6 ①③ 11 C 2 C 7 3 C 8


4 A 9

2013 年 5 月
5

33π , 30π
10 C 15

[0,8]
12

5,(
13 B

12 24 , ) 13 39

C 14 1

(? 3, 3)

a?

53 5

解答题部分: 1. 解:﹙Ⅰ﹚ f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x

? 3sin 2 x ? cos2 x
? 2sin(2 x ? ) 6
所以 T ? ? , f ( x ) ? [ ?2,2]

?

A A ? ﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 2 , 2 2 6
所以 sin( A ? ) ? 1. 6 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

.

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 a 2 ? bc ,所以 (b ? c)2 ? 0 . 所以 b ? c, 所以 B ? C ?

?
3

.

所以 ?ABC 为等边三角形.

2. 解:依题意 ?MOQ ?

π π ,所以 ?POQ ? ?MOQ ? ?MOP ? ? ? . 3 3

因为 sin ? ?

2 2 1 π π ,且 ? ? (? , ) ,所以 cos ? ? . 3 3 2 2

π π π 2 2? 3 所以 cos ?POQ ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? . 3 3 3 6

-5-

(Ⅱ)由三角函数定义,得 P(cos ? ,sin ? ) ,从而 Q(cos? , 3cos? )

所以 S?POQ ?

1 | cos? || 3cos? ? sin ? | 2 1 1 1 ? cos2? 1 ? | 3cos2 ? ? sin ? cos? |? | ? sin2? | 2 2 2 2

?

1 3 3 cos 2? 1 1 3 π | ? ? sin 2? |? | ? sin( ? 2? ) | 2 2 2 2 2 2 3

?

1 3 3 1 | ? 1 |? ? 2 2 4 2

π π π 因为 ? ? (? , ) ,所以当 ? ? ? 时,等号成立, 12 2 2
所以 ?OPQ 面积的最大值为

3 1 ? . 4 2

3.解: (I) a ? ?2 (Ⅱ)因为 f ( x) ? cos2 x ? a cos x ? 1 ? 2cos2 x ? 2cos x 设 t ? cos x , 因为 x ? [0, π], 所以 t ? [ ?1,1] 所以有 y ? 2t 2 ? 2t, t ? [ ?1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2t 2 ? 2t 的对称轴为 t ? ?

1 2

1 1 2π 1 所以当 t ? ? ,即 t ? cos x ? ? , x ? 时,函数取得最小值 ? 2 3 2 2
当 t ? 1 ,即 t ? cos x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

4.解: (I)因为 an ? kn ? b, 所以 an ? an ?1 ? k 所以 {an } 是公差为 k 的等差数列,

?k ? 2 ?k ? 2 ? 2a ? k ? 4 又 S2 ? 4, S3 ? 9 ,所以 ? 1 ,解得 ? ,所以 ? ? b ? ?1 ? a1 ? 3 ?3a1 ? 3k ? 9
(Ⅱ)因为 k ? ?2, 且 S5 ? 5a3 ? 5(3k ? b) ? 5(?6 ? b)

-6-

所以 ?6 ? b ? 0 ,得到 b ? 6

3 5.证明: (I)在已知式中,当 n ? 1 时, a1 ? a12

因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1 ,
3 所以 1 ? a2 ? (1 ? a2 )2 ,解得 a2 ? 2 3 3 3 3 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn



3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? Sn?1

② ①

3 3 3 3 2 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? Sn?1



3 ①-②得, an ? an (2a1 ? 2a2 ? ? ? 2an?1 ? an )

因为 an ? 0

2 所以 an ? 2a1 ? 2a2 ??? 2an-1 ? an ,

2 即 an ? 2Sn-an

因为 a1 ? 1 适合上式

2 所以 an ? 2Sn-an (n∈N+) 2 (Ⅲ)由(I)知 an ? 2Sn -an (n ? N ? ) ③ 2 当 n ? 2 时, an ?1 ? 2Sn ?1 ? an ?1



2 2 ③-④得 an - an -1 ? 2( Sn -Sn -1 )-an ? an -1 ? 2an -an ? an -1 ? an ? an -1

因为

an ? an -1 ? 0 ,所以 an -an -1 ? 1

所以数列 ?an ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an ? n

6. 证明:因为在正三角形 ACE 中, O 为 AC 中点, 所以 EO ? AC 又平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? CF

-7-

在 Rt ?ACD 中, tan ?FCO ?

2 2 , tan ?ODC ? 2 2

所以可以得到 ?FCO ? ?ODC ,所以 ?FCD ? ?ODC ? 90? , 即 CF ? DO ,又 DO ? OE ? O 所以 CF ? 平面 DOE ,所以 CF ? DE 7.证明: (Ⅰ)因为 PA ⊥底面 ABCD, 所以 PA ? BC . 又 AB ? BC , PA ? AB ? A , 所以 BC ⊥平面 PAB . 又 BC ? 平面 PCB , 所以平面 PAB ⊥平面 PCB . (Ⅱ)因为 PA ⊥底面 ABCD ,所以 PA ? AD 又 PC ? AD ,且 PA ? PC ? P 所以 AD ? 平面 PAC ,所以 AC ? AD . 在 梯 形 A B C D , 由 AB ? BC,AB ? BC , 得 中
P N H

?BAC ?

?
4

, 所以 ?DCA ? ?BAC ?

E

?
4

A

B M C


D

又 AC ? AD ,故 ?DAC 为等腰直角三角形. 所以 DC ? 2 AC ? 2

?

2 AB ? 2 AB .

?

连接 BD ,交 AC 于点 M ,则 在 ?BPD 中, 所以 PD / / EM

DM DC ? ? 2. MB AB

PE DM ? ? 2, EB MB

又 PD ? 平面 EAC , EM ? 平面 EAC , 所以 PD ∥平面 EAC .

8.解(I)因为 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) ,所以 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0)

-8-

依题意有 ?

2 ? ? f ?( ?1) ? 0 ?3a ? 2b ? a ? 0 (a ? 0) . ,所以 ? 2 ? f ?(2) ? 0 ?12a ? 4b ? a ? 0 ?

解得 ?

?a ? 6 ,所以 f ( x) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? 36 x . . b ? ?9 ?

(Ⅱ)因为 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0) , 依题意, x1 , x2 是方程 f ?( x ) ? 0 的两个根,且 | x1 | ? | x2 |? 2 2 , 所以 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1x2 ? 2 | x1x2 |? 8 . 所以 (?

2b 2 a a ) ? 2 ? (? ) ? 2 | ? |? 8 ,所以 b2 ? 3a 2 (6 ? a ) . 3a 3 3

因为 b2 ≥ 0 ,所以 0 ? a ≤ 6 . 设 p(a) ? 3a 2 (6 ? a) ,则 p?(a ) ? ?9a 2 ? 36a . 由 p?( a ) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p?( a ) ? 0 得 a ? 4 . 即函数 p ( a ) 在区间 (0,4] 上是增函数,在区间 [4,6] 上是减函数, 所以当 a ? 4 时, p ( a ) 有极大值为 96,所以 p ( a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96, 所以 b 的最大值为 4 6 .

9. 解: (Ⅰ)因为 a ? ?1 , 所以 f ( x) ? x 2 ? 2ln x ? 5 , f '( x) ? 2 x ? 令 f '( x ) ? 0 ,即 2 x ?

2 . x

2 ? 0. x

因为 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 所以 x ? 1 . 因为 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x > 1 时, f '( x) ? 0 , 所以 函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极小值 6. (Ⅱ)由题意可得 f '( x) ? 2 x ?

2a 2( x ? 1)( x ? a ) ? 2(a ? 1) ? . x x

由于函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 所以 当 0 < a < 1 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 0 < x < a 或 x > 1 ;

-9-

令 f '( x) ? 0 ,解得 a < x < 1 ; 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 x > 1 ;令 f '( x) ? 0 ,解得 0 < x < 1 ; 当 a > 1 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 0 < x < 1 或 x > a ;令 f '( x) ? 0 ,解得 1 < x < a ; 当 a = 1 时, f '( x) ? 0 . 所以 当 0 < a < 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a ) , (1, + 单调递减区间是 (a,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (1, +

),

) ,单调递减区间是 (0,1) ; ) ,单调递减区间是 (1, a) ;

当 a > 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0,1) , (a, + 当 a = 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, +

)

10. 解: (Ⅰ)因为 点 (? 2,1) 在椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上, 4 b2

2 1 ? ?1. 4 b2 1 1 所以 2 ? . b 2
所以 所以 椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)因为 F1 (? 2,0) . 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,得
2 2 2 2 x1 ? 2 y1 ? 4 , x2 ? 2 y2 ? 4 .

x2 y2 ? ? 1. 4 2

因为直线 PQ 过 F1 ,且 PF = 2 QF , 1 1

???? ???? 所以 PF1 ? 2 FQ . 1
所以 (? 2 ? x1, ? y1 ) ? 2( 2 ? x2 , y2 ) . 所以 ?

? y1 ? ?2 y2 , ? ? x1 ? ?3 2 ? 2 x2 . ?
2 2

所以 18 + 12 2x2 + 4x2 + 8 y2 = 4 .

- 10 -

所以 12 2x2 = - 30 . 所以 x2 ? ?

5 2 . 4
2 x2 ? 4 2 x2 ? 8 9 ? . 2 4

所以 PQ ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 3

11. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3

(Ⅱ)设直线 AQ 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 , 由 ? ? 144k 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 k 2 ? 1 , 所以 x A ? xQ ? ?

12k 9 , xA xQ ? . 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

因为 O 是 AB 的中点,

1 所以 S?ABQ ? 2S?AOQ ? 2 S?POQ ? S?poa ? 2 ? ? 2 ? xA ? xQ ? 2 x A ? xQ . 2
由 ( x A ? xQ ) 2 ? ( x A ? xQ ) 2 ? 4 x A xQ ? ( ? 设 k 2 ? 1 ? t (t ? 0) , 则 ( x A ? xQ )2 ?

12k 2 36 36( k 2 ? 1) ) ? ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

36t 36 36 3 ? ? ? , 2 16 (3t ? 4) 9t ? ? 24 2 9t ? 16 ? 24 4 t t

当且仅当 9t ?

16 4 , t ? 时等号成立,此时△ ABQ 面积取最大值,最大值为 3 . t 3

- 11 -


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