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人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案


§2.4.1

反函数的概念及求法

[教学目的] 使学生了解反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数. [重点难点] 反函数的定义和求法. [教学设想] 1.教法:讲授法; 2.学法:启发学生观察、思考、分析和讨论; 3.课时:1 课时. [教学过程] 一、复习引入 ⒈复习:⑴函数的定义(近代定义和传统定义) ; ⑵求下列函数的定义域和

值域:① y=x2+1; ② y=2x-3; ③ y=5/(3x-1); ④ y= x +2; ⑤y=(x+2)/(2x-1). 答案:①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠1/3,y≠0;④x≥0,y≥2;⑤x≠1/2,y ≠1/2. ⒉引入: 我们知道, 物体作匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数, 即 s=vt, 其中速度 v 是常量,定义域 t≥0,值域 s≥0;反过来,也可以由位移 s 和速度 v (常量)确定物体作匀速直线运动的时间,即 t=s/v,这时,位移 s 是自变量, 时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s≥0,值域 t≥0. 又如,在函数 y=2x+6 中,x 是自变量,y 是 x 的函数,定义域 x∈R,值域 y ∈R. 我们从函数 y=2x+6 中解出 x,就可以得到式子 x=y/2-3. 这样,对于 y 在 R 中任何一个值,通过式子 x=y/2-3,x 在 R 中都有唯一的值和它对应. 因此,它 也确定了一个函数:y 为自变量,x 为 y 的函数,定义域是 y∈R,值域是 x∈R. 综合上述,我们由函数 s=vt 得出了函数 t=s/v;由函数 y=2x+6 得出了函数 x=y/2-3,不难看出,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在着必然的联系: ⑴它们的对应法则是互逆的;⑵它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者 的定义域,而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函 数. 今天我们就来学习这种函数.

二、学习、讲解新课 ⒈ 反函数的定义 一般地,设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么,x= ? (y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= ? (y)(y ∈ C) 叫做函数 y=f(x)(x ∈ A) 的反函数,记作 x=f-1(y). 反函数 y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 说明:⑴在函数 x=f-1(y)中,y 是自变量,x 是函数,但习惯上,我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数,为此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y, 把它改写成 y=f-1(x),今后凡无特别说明,函数 y=f(x)的反函数都采用这种经过 改写的形式. ⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任 意一个函数 y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),那 么函数 y=f-1(x)的反函数就是 y=f(x),这就是说,函数 y=f(x)与 y=f-1(x)互为反 函数. ⑶从映射的定义可知,函数 y=f(x)是定义域 A 到值域 C 的映射,而它的反函 数 y=f-1(x)是集合 C 到集合 A 的映射,因此,函数 y=f(x)的定义域正好是它的反 函数 y=f-1(x)的值域; 函数 y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f-1(x)的定义域 (如 下表) : 函数 y=f(x) 定义域 值 域 A C 反函数 y=f-1(x) C A

⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为: 若确定函数 y=f(x)的映射 f 是函数的定义域到值域“上”的“一一映射” , 那么由 f 的“逆”映射 f-1 所确定的函数 x=f-1(x)就叫做函数 y=f(x)的反函数. 反 函数 x=f-1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子:s=vt 记为 f(t)=vt,则它的反函数就可以写为 f-1(t)=t/v, 同样 y=2x+6 记为 f(x)=2x+6,则它的反函数为:f-1(x)=x/2-3. ⒉ 反函数的求法 由前边的例子和反函数的定义不难看出,欲求函数 y=f(x)的反函数,可按下

列步骤进行: ①确定函数 y=f(x)的定义域和值域; ②视 y=f(x)为关于 x 的方程,解方程得 x=f-1(y); ③互换 x,y 得反函数的解析式 y=f-1(x); ④写出反函数的定义域(原函数的值域). 例 1 (P66 例 1)求下列函数的反函数: ⑴ y=3x-1(x∈R); ⑵ y=x3+1(x∈R); ⑶ y= x +1(x≥0); ⑷ y=(2x+3)/(x-1)(x∈R,且 x≠1). 解: ⑴①∵x∈R, ∴y∈R. ②由 y=3x-1 解得 x=(y+1)/3, ③∴函数 y=3x-1(x ∈R)的反函数是 y=(x+1)/3 ,④所求反函数的定义域是 x∈R;(若给出 f(x)=3x-1,则得 f-1(x)=(x+1)/3(x∈R)) ⑵①∵x∈R, ∴y∈R. ②由 y=x3+1 解得 x= 3 y ? 1 , ③④∴函数 y=x3+1(x∈R) 的反函数是 y=f-1(x)= 3 x ? 1 (x∈R); ⑶①∵x≥0,∴y≥1. ②由 y= x +1 解得 x=(y-1)2, ③④∴函数 y= x +1(x ≥0)的反函数是 y=f-1(x)=(x-1)2 (x≥1); ⑷①∵ x ∈ {x ∈ R|x ≠ 1} ,∴ y ∈ {y ∈ R|y ≠ 2}. ②由 y=(2x+3)/(x-1) 解得 x=(y+3)/(y-2), ③ ④ ∴ 函 数 y=(2x+3)/(x-1)(x ∈ R, 且 x ≠ 1) 的 反 函 数 是 y=f-1(x)=(x+3)/(x-2) (x∈R,且 x≠2). 说明:⑴求函数 y=f(x)的反函数的一般步骤就是上述的四步,书写时③④两 步可并作一步,以后熟悉了,具体的步骤可省略不写. ⑵反函数的定义域不是看反函数的解析式得到的,而是求原来函数的值域而 得反函数的定义域,这一点绝不能混淆. ? x 2 ? 1( x ? 0) 例 2(补充)求函数 y= ? 的反函数. ? x ? 1( x ? 20) 解:当 x≥0 时,y≥1,由 y=x +1 得 x= y ? 1 ( y≥1);当 x<0 时,y<1,由
? x ? 1( x ? 1) y=x+1 得 x=y-1(y<1). 将 x,y 对换得 y=f-1(x)= ? . ? x ? 1( x ? 1)

说明:求分段函数的反函数,应分别求出各段的反函数,再合成. ⒊目标检测 课本 P68 练习:1—4. 答案:⒈y=-x/2+3/2(x∈R); ⒉y=-2/x (x∈R,且 x≠0);

⒊y= x (x≥0); ⒋y=5x/(1-3x) (x∈R,且 x≠1/3) 三、小 结 ⒈反函数的定义 由反函数的定义可以看出:对于 y 取 C 中任一值都可以得到唯一的 x 值(x ∈A),由此可知,只有确定函数 y=f(x)的映射是一一映射才能有反函数;由函数 图象看,应当是单调的. ⒉y=f(x)的反函数是 y=f-1(x),反之,y=f-1(x)的反函数是 y=f(x),它们互 为反函数,它们的定义域、值域相反,对应法则互逆. ⒊求函数 y=f(x)的反函数的一般步骤是: ①确定函数 y=f(x)的定义域和值域; ②视 y=f(x)为关于 x 的方程,解方程得 x=f-1(y); ③互换 x,y 得反函数的解析式 y=f-1(x); ④写出反函数的定义域(原函数的值域). ⒋求分段函数的反函数,应分别求出各段的反函数,再合成. 四、布置作业 (一)复习:课本内容,熟悉巩固有关概念和方法. (二)书面:课本 P68 习题 2.4:1⑴-⑻. 答案:⑴y=-x/4+3/4(x∈R);⑵y= 3 x ? 4 (x∈R);⑶y=- x (x≥0); ⑷y=(3x-1)/(1-x)(x≠1);⑸y=-(x+3)/(5x-2)(x≠2/5); ⑹y=(3x+1)/(5x-4)(x≠4/5);⑺y=2(x-1)3+1(x∈R); ⑻y=x2/2+2(x≥0). (三)思考题:设函数 y=f(x)的反函数为 y=g(x),求 y=f(-x)的反函数. 解:在函数 y=f(-x)中,x 为自变量,y 为函数,且由题意知-x=f-1(y), ∴ x=-f-1(y),∴y=f(-x)的反函数为 y=-f-1(x),又∵g(x)= f-1(x),∴y=f(-x)的反函 数为 y=-g(x). (四)预习:


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