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湖北省沙市中学2015-2016学年高一数学下学期第五次半月考试题


2015—2016 学年下学期高一年级 第五次半月考数学试卷
考试时间:2016 年 6 月 2 日 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.下列说法正确的是( A. 三点确定一个平面 C. 梯形一定是平面图形 2.已知实数 x, y 满足 a x ? a y ( 0 ? A. ) B. 四边形一定是

平面图形 D. 平面 α 和平面 β 有不同在一条直线上的三个公共点

a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
B. ln ( x 2 ? 1) > ln ( y 2 ? 1) D. x ? y
3



1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

C. sin x ? sin y

3

3.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,该四棱锥侧面积 等于( ) A.20 B.5
2

C.8

D.4

4.若函数 f ( x) ? a sin 2x ? 2cos x ?1 的图像关于直线 x ? ?

?
8

对称,则

f ( x) 的最大值为(
A.2

) C. 4 2 D. 2 ) D.

B. 2 或 4 2

5.已知 ? ?[0,2? ),cos ? ?3sin ? ? 10 ,则 tan ? ? ( A. -3 B. 3 或

1 3

C. 3

1 3 5 , 4

6.已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项为 则 S5 =( A.29 ) B.31 C.33 D.35

Q
1

P

7.如图,长方体的底面边长分别为 8cm 和 4cm,高为 7cm.若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一 7cm 圈到达 Q 点,则蚂奴爬行的最短路径长为 cm.( ) A. 31 B. 27 C. 25 D. 23 4cm )

8cm 8. 等差数列 {an } 的公差不为零, 首项 a1 ? 1 ,a 2 是 a1 和 a5 的等比中项, 则数列的前 10 项之和是 ( A.90 B.100 C.145 D.190

9.如图,三棱锥 P ? ABC 的棱长都相等, D 是棱 AB 的中点,则直线 PD 与直线 BC 所成角的余弦值 为( A. )

1 2

B.

3 3

C.

3 6

D.

6 4


10.用半径为 6 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为( A. 9 3? B. 18? C. 6? D. 3 3?

11. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且对任意的 m, n ? N * 都有 am? n ? am ? an ? mn ,则 ( ) A.

1 1 1 ? ?? ? 等于 a1 a2 a20

40 21
2 2

B.

20 21

C.

19 10

D.

20 19

12. 若不等式 a ? b ? 2 ? ? (a ? b) 对任意正数 a , b 恒成立,实数 ? 的取值范围是( ) A. (??, )

1 2

B. [2, ??)

C. ( ??, 2]

D. (﹣∞,3)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? 60?, b ? 2, S?ABC ? 2 3 , 则

a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

.
' ' ' ' ' ' ' '

14. x0 y 坐标系中四边形 ABCD 直观图如图 O A B C ,且四边形 O A B C 是边长为 2 的菱形,则在 xOy 坐标中四边形 ABCD 的面积为
2 15. 已知函数 f ( x) ? A cos (? x ? ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

.

?
2

) 的最大值为 2, f ? x ? 的图像与 y 轴的
2 , 则

交 点 坐 标 为

? 0, 2?

, 其 相 邻 两 条 对 称 轴 间 的 距 离 为

f ?1? ? ? f ? 2 ? ? f? 3 ? ?

?

f ? 2 0 1 ?6

.
2

16.正项等比数列 {an } 中, a6 ? a5 ? 2a4 则



若存在两项 am , an 使得 am ? an ? 4a1 ,

1 4 ? 的最小值是 m n

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? cos(? ? x) cos( ? ? x) ? 3 cos 2 x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)讨论 f ( x ) 在 [

3 2

3 . 2

? 2

, ? ] 上的单调性。 6 3

1
2 正视图 2 俯视图 A D C E B 侧视图

18.(本题满分 12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示, (1)求四面体 ABCD 的体积; (2)若点 E 为棱 BC 的中点,求异面直线 DE 和 AB 所成角的余弦值

19.(本题满分 12 分) 数列 ?an ?中,a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 2 . (1)求证: ?an ? 2? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

4 n ? 1 ,求和 Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,并证明: ?n ? N , ? S n ? . 5 5 an ? 2

3

20. (本题满分 12 分) 如图, 一山顶有一信号塔 CD ( CD 所在的直线与地平面垂直), 在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ? , 沿倾斜角为 ? 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处,测得 C 的仰角为 ? . (1) 求 BC 的长; (2) 若 l ? 24, ? ? 45?, ? ? 75? ,? ? 30?, 求信号塔 CD 的高度.
?
C

? D
A

?

B E

21.(本题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 各项均为整数,其公差 d ? 0 , a3 ? 4 ,且 a1 , a3 , ak (k>3)为等比数列 {bn } 的 前三项. (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2) 将数列 {an } 与 {bn } 的相同项去掉, 剩下的项依次构成新数列 {cn } , 数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . 求 S30

22. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,满足 f (0) ? 1, f (1) ? 0 且 f ? x ? 1? 是偶函数。
2

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设 h ? x ? ? ?

x ?1 ? ? f ? x? ,若对任意的 x ?[t , t ? 2] ,不等式 h( x ? t ) ? h( x2 ) 恒成立,求实 ? ?? f (2 ? x ) x ? 1

数 t 的取值范围。

4

高一下学期第五次半月考数学参考答案 一、CDDDC BCBCA AC 二、13. 4 14. 8 15. 3024

6.2 16.

3 2

三.17.解: f ( x) ?

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 3
………….4 分

(1) f ( x ) 的最小正周期为 ? ,最大值为 1; ( 2 ) 当 f ( x ) 递 增 时 , 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

( k ? Z ) , 即 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5 ? 12

(k ? Z ) ,
3 5 2 ? 5 所以, f ( x ) 在 [ , ? ] 上递增,在 [ ? , ? ] 上递减。 12 3 6 12 1 1 2 18. 解: (1) V ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 2 3
当 f ( x ) 递减时, 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

? 2 k? ?

3? 5? 11 ( k ? Z ) 即 k? ? ? x ? k? ? ? ( k ? Z ) 2 12 12
…………10 分

A D

F
C

(2)取 AC 中点 F,连 DF、EF,则 ? DEF 为 AB 与 DE 所成角或补角

2 10 1 5 5 ?DEF 中,DE= 2 ,EF= AB ? , DF ? , cos ?DEF ? 2 ? 5 2 2 2 5 2

E B

19. 1) an?1 ? 2an ? 2 , an?1 ? 2 ? 2(an ? 2),? a1 ? 3 , a1 ? 2 ? 5 ,所以 {an ? 2} 是 首项为 5,公比为 2 的等比数列, an ? 2 ? 5 ? 2n?1 ?an ? 5 ? 2n?1 ? 2 (2) bn ?

n 1? 1 2 3 n ? , Sn ? ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? ------① n ?1 5? 2 5? 2 2 2 2 ?

1 1? 1 2 3 n? Sn ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ------② 2 5? 2 2 2 2 ?

1 ? ? 1? n ? 2? 1 1 1 1 n ? 2 n 2 ? ? ? 2?2? n?2? ①-② Sn ? ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 ? ? ? ? ? ? 5?2 2 2 2 2 ? 5 ? 1 ? 1 2n ? 5 ? 2n ? ? 2 ?
5

Sn ?

4 1 n?2 4 2 n ? 2 n ? 3 ? 2 n ?1 ? ? n ?1 ? ,又? Sn?1 ? Sn ? ? ? n ?1 ? ? ? n ?1 ? 0 ? 5 5 2 5 5 ? 2n 2 ? 5 2
4 1 * 1 ,所以 ?n ? N , ? S n ? 5 5 5

∴ {Sn } 单调递增, Sn ? S1 ?

20. (1) 在 ?ABC 中, ?CAB ? ? ? ? , ?ABC ? ? ? (? ? ? ), ?ACB ? ? ? ? ,由正弦定理,
BC ? sin(? ? ? ) l sin( ? ? ? )

…………

6分

(2) 由(1)及条件知, BC ?

sin(? ? ? ) l ? 12( 6 ? 2 ) , ?BCD ? 90? ? ? ? 15? , sin( ? ? ? )

?CBD ? ? ? ? ? 45? , ?BDC ? 120? ,由正弦定理得, CD ?

sin 45? ? BC ? 24 ? 8 3 . sin120?

……… 21.(1)依题意, a32 ? a1 ? ak 整理得: d ? 2 ? , ∴ 16 ? (4 ? 2d )[4 ? (k ? 3)d ] ,

12 分

4 ,又∵ an ? Z ,? d ? Z 且 k ? 3 , ∴k=7 k ?3

此时 d ? 1 ,

∴ an ? a3 ? (n ? 3) ? d ? n ? 1 ,又∵等比数列 {bn } 的公比 q ?

a3 ? 2 ,∴ bn ? 2n ; 6 分 a1

(2)令数列 {an } 的前 n 项和为 An ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn , 由(1)可知 a1 ? b1 , a3 ? b2 , a7 ? b3 , a15 ? b4 , a31 ? b5 ,所以

S30 ? A35 ? B5 ? 665 ? 62 ? 603 .
? ? f (0) ? c ? 1 ?a ? 1 ? ? 22. 解: (1) ? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? ?2 ? b ? ?c ? 1 ?? ?1 ? 2a
(2)

…………12 分

? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1

…………4 分

?( x ? 1) 2 x ? 1 ? h( x ) ? ? ,易知 h( x) 在 R 上单调递增, 2 ? ??( x ? 1) x ? 1

…… 6 分

? h( x ? t ) ? h( x2 ) ? x ? t ? x2 ,即 x2 ? x ? t ? 0 对任意 x ?[t , t ? 2] 恒成立,
令 ? ( x) ? x ? x ? 1 得
2

6

①当 t ?

1 时, ? ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, 2
8分

?( x)min ? ?(t ) ? t 2 ? 2t ? 0 ? t ? 2或t ? 0 ,∴ t ? 2
②当 t ? 2 ?

3 1 , 即 t ? ? 时, ? ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递减, 2 2 3 2
…10 分

? ( x)min ? ?(t ? 2) ? (t ? 2)2 ? (t ? 2) ? t ? t 2 ? 2t ? 2 ? 0 恒成立,∴ t ? ?
③当 ?

1 1 1 3 1 3 1 ? t ? 时, ? ( x) min ? ? ( ) ? ? ? t ? 0 ? t ? ? ,∴ ? ? t ? ? 2 4 4 2 2 2 4 1 综合得: t ? 2或t ? ? ………….12 分 4

7


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