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仙游一中2011—2012学年度上学期期中考高一 年数学试卷试题


201 201 学年度上学期期中 仙游一中 2011—2012 学年度上学期期中考

高一 年数学试卷
命题人:李新岳 满分 150 分 答卷时间2小时

第Ⅰ卷(满分 60 分)
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案, 把答案填在答题卷相应的题号上. 1.设集合 M={x

|y=x2-4},N={y|y=x2-4,x∈R},则集合 M 与 N 的关系是 ( ) A.M=N B.N∈M C.M ? N ≠ ) D.N ? M ≠

2.函数 y = log a ( x ? 1) + 1 ( a > 1) 的图象必过定点( A. (1,1) B. (1, 2 ) C.

( 2,1)

D. )

( 2, 2 )

3.化简 ? x 3 的结果是( A. x ? x B. ? x x

C. x x

D. ? x ? x ) D. f ( x) = log 2 x )


4.下列函数中,在区间 (0, +∞) 上是增函数的是( A. f (x)=?x +2 B. f ( x) = 2
2

x

1 C. f (x) = ( )x+1 2

5.三个数 6 0.7 , 0.7 6 , log 0.7 6 的大小顺序是(
A.log0.76<0.76<60 7 . C.log0.76<60 7<0.76 lg | x | 6.函数 y = 的图象大致是( x


B.0.76<60 7<log0.76 . D.0.76<log0.76<60 7



高一数学 期中考试卷

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7.已知幂函数 f ( x ) 的图象经过点(4,2), 则下列命题正确的是( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) 的值域为 R B. f ( x ) 是单调递增函数 D. f ( x ) 在定义域内有最大值



8. 某工厂一年中 12 月份的产量是 1 月份产量的 x 倍, 则该工厂一年中的月平均增长 率是( ) x x A. B. C. 11 x ? 1 D. 12 x ? 1 11 12
9.已知 f ( x ) = ax 2013 ? 8 ,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 B.-18 C.-10



D.10

10.奇函数 f (x) 在 (? 1,1) 上是单调递减的,若 f (1 ? m) + f (1 ? m 2 ) < 0 ,则实数 m 的

取值范围是(
A. (0,1)


B. (?2,1) C. 1, 2

(

)

D. (? 1,1)

11.已知 y = log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. 0,1) (
2 ?x ?



B. 0,2) (
(x > 0)

C . 1 ,2 ) (

D. 2,+∞) [

?x ? 12.已知函数 f (x) = ?2 ?1(x ≤ 0) ,若函数 y = f ( x) 的图象与函数 y = x + a 的图象恰有两个 ?

公共点,则实数 a 的取值范围为(
A. ? ? ∞ , ? 1 ?
? ? ? 4?


C. ? ? 1 , +∞ ?
? ? 4 ? ?

B. ? ?∞ , ? 1 ?
? ? 4? ?

D. ?? 1 , +∞ ?
? 4 ?

? ?

第Ⅱ卷(满分 90 分) 填空题: (本大题共 小题, 把答案填在题中横线上 横线上. 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)把答案填在题中横线上. (
13.函数 f ( x ) = log 0.5 x 的定义域为________________. 14.已知 f(x)为奇函数, 定义域为 R , 当 x > 0 时,f(x)= x 2 + 1 , 则当 x < 0 时,f(x) 的

表达式为_________________. 15.函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 为______
a ,则 a 的值 2

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16.给出下列四个命题: (1)函数 y = a x ( a > 0 且 a ≠ 1 )与函数 y = log a a x ( a > 0 且
a ≠ 1 )的定义域相同; (2)函数 y = x 3 与 y = 3 x 的值域相同;

(3)函数 f ( x ) = 5 + 4 x ? x 2 的单调递增区间为 (? ∞,2] ; (4)函数 y =
1 1 + x 与 y = lg( x + 2 2 ?1

x 2 + 1) 都是奇函数。

其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题序号都填上) 。 解答题( 解答应写出文字说明、 三、解答题(本大题共 6 大题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分)计算下列各式的值:

1 0 ? 1 ?4 3 (1) (?4) ? ( ) + 0.252 × ( ) ; (2) 2 2
1 3

2 lg 2 + lg 3 1 1 1 + lg 0.36 + lg 8 2 3

18. (本小题满分 12 分) ? 1 ? 已知 R 为全集, A = {x log 2 (3 ? x) ≤ 2}, B = ? x ( ) x +1 ≤ 1? ,求( ? 3 ?
RA) ∩

B

19. (本小题满分 12 分) 某车间生产一种仪器的固定成本是 10000 元,每生产一台该仪器需要增加投入

?400 x ? x 2 , 0 ≤ x ≤ 200 100 元,已知总收益满足函数: H ( x) = ? ,其中 x 是仪器 x > 200 ? 40000,
的月产量。 (1)将利润表示为月产量的函数(用 f (x) 表示) ; (2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元? (总收益=总成本+利润)

20.(本小题满分 12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. . 本小题满分 (1)求 f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的范围.

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21. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) = log a

x +1 . x ?1

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)讨论函数 f(x)在区间(1, +∞)上的单调性,并用定义证明之.

22. (本小题满 13 分) 已知函数 f ( x) = x 2 ,对任意实数 t , g t ( x) = ?tx + 1 . (1)求函数 y = g 3 ( x) ? f ( x) 的单调区间; x (2) h( x) = ? gt ( x) 在 ( 0, 2] 上是单调递减的,求实数 t 的取值范围; f ( x) ? 1? (3)若 f ( x) < mg 2 ( x) 对任意 x ∈ ? 0, ? 恒成立,求正数 m 的取值范围. ? 3?

参考答案

(本大题共 小题, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 选择题: ( 题号 答案
13.

1 B

2 C

3 D

4 D

5 A
(15)

6 D
1 3 或 2 2

7 B

8 C

9 A

10 A

11 C

12 D

( 0,1]
1 2
4

14. ? x 2 ? 1

16.① ④

17 . ( 本 小 题 满 分 = ?4 ? 1 + × ( 2 ) = ?3 ;
(2)原式=

12

分 ) 解 : (1) 原 式

…………………………………6 分 分

lg 4 + lg 3 lg12 lg12 lg12 = = = = 1 …12 3 1 + lg 0.36 + lg 8 1 + lg 0.6 + lg 2 lg10 + lg 0.6 + lg 2 lg12

18.解:由

?3 ? x ≤ 4 log 2 (3 ? x) ≤ 2 = log 2 4 ,因为 y = log 2 x 为增函数,所以 ? , ?3 ? x > 0

解得

? 1 ≤ x < 3 , 所以

A = {x ? 1 ≤ x < 3} , 于是

R

A = {x x < ?1或x ≥ 3}………… x +1 ≥ 0

7分
又由

1 1 1 ( ) x +1 ≤ 1 = ( ) 0 , 因为 y = ( ) x 为减函数,所以 3 3 3
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解得 故 (

x ≥ ?1 , 所以
RA

B = {x x ≥ ?1}

…………10 分

)∩ B = x x ≥ 3

{

}…………12 分

19.解: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 t = 10000 + 100 x ,又 f ( x ) = H ( x ) ? t ∴ 利润 f ( x) = ? (2)当 ∴ 当 ∴ ∴

?? x 2 + 300 x ? 10000, 0 ≤ x ≤ 200 …………5 分 x > 200 ? ? 100 x + 30000,

0 ≤ x ≤ 200 时, f ( x) = ?( x ? 150) 2 + 12500

f ( x) max = f (150) = 12500 …………7 分

x > 200 时, f ( x ) = ?100 x + 30000 在 (200,+∞ ) 上是减函数
f ( x) max < f (200) = 10000 < 12500 …………11 分
当月产量为 150 台时,该车间所获利润最大,最大利润是 12500 元。……12



20 解:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x, ?2a=2 ?a=1, ,∴? , 所以? ?b=-1 ?a+b=0 ∴f(x)=x2-x+1. …………7 分 (2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立,即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1] 上恒成立. 设 g(x)=x2-3x+1-m, 3 其图象的对称轴为直线 x=2, 所以 g(x)在[-1,1]上单调递减. 因此只需 g(1)>0,即 12-3×1+1-m>0, 解得 m<-1. 故实数 m 的范围为(-∞,-1).…………12 分
21. (本小题 13 分)解: (1)∵ f ( x ) = log a ∴f(-x)+f(x)= log a

2

? x +1 x +1 ? x +1 x +1 + log a = log a ( ? ) = log a 1 = 0 ? x ?1 x ?1 ? x ?1 x ?1

x +1 , ∴f(x)的定义域是{x|x<-1 或 x>1} x ?1

∴f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数…………5
高一数学 期中考试卷


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(2)∵ f ( x) = log a

x +1 2 = log a (1 + ) x ?1 x ?1 ∴当 x>1 时,f(x)有意义 ∴当 a>1 时,f(x)在(1, +∞)上单调递减 当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上单调递增 证明如下:设任意的 x1,x2∈(1, +∞)且 x1>x2
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log a

x1 + 1 x +1 ( x + 1)( x2 ? 1) ? log a 2 = log a 1 ( x1 ? 1)( x2 + 1) x1 ? 1 x2 ? 1

∴x1>x2>1 ∴x1+1>x2+1>2, x1-1>x2-1>0, x2-x1<0 ∴

( x1 + 1)( x2 ? 1) ( x + 1)( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x2 + 1) 2( x2 ? x1 ) ?1 = 1 = <0 ( x1 ? 1)( x2 + 1) ( x1 ? 1)( x2 + 1) ( x1 ? 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 ? 1) <1 ( x1 ? 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 ? 1) <0 ( x1 ? 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 ? 1) >0 ( x1 ? 1)( x2 + 1)
∴f(x1)<f(x2)

∴0<

∴当 a>1 时, log a

当 0<a<1 时, log a

∴f(x1)>f(x2)

故 当 a>1 时,f(x)在(1, +∞)上单调递减; 当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上单调递增.

21. (本小题满分13分)
3 13 ? 解: (1) y = g3 ( x) ? f ( x) = ? x 2 ? 3 x + 1 = ? ? x + ? + ? ? 2? 4
2

………1


3? 所 以 函 数 y 的 单 调 递 增 区 间 是 ? ?∞, ? ? , 单 调 递 减 区 间 是 ? ? 2? ? 3 ? ? ? ? 2 , +∞ ? . ……3 分 ?

(2)由已知得, h( x) = 设 0 < x1 < x2 ≤ 2 , 则 h( x1 ) ? h( x2 ) = ?

x 1 ? g t ( x) = + tx ? 1 , f ( x) x

………4 分

?1 ? ?1 ? ( x ? x )(1 ? tx1 x2 ) ………6 分 + tx1 ? 1? ? ? + tx2 ? 1? = 2 1 x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?
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要 使 h( x) 在 ( 0, 2] 上 是 单 调 递 减 的 , 必 须 h( x1 ) ? h( x2 ) > 0 恒 成 立. ………7 分 因为 x2 ? x1 > 0 , 0 < x1 x2 < 4 , 所 立, 因为 x1 x2 > ,所以 t ≤ , 所 以 实 数
t 1 4 1 4



1 ? tx1 x2 > 0











t<

1 x1 x2





………8 分[ 的 取 值 范 围 是

1? ? ? ?∞, ? . 4? ?

………9 分 ………

(3) 解法一: f ( x) < mg 2 ( x) , x 2 < m ( ?2 x + 1) , 由 得 ① 10 分 高考资源网]

1 1 2 1? 因 为 m > 0 且 x ∈ ? 0, ? , 所 以 ① 式 可 化 为 , < 2? ?

?

3?

m

x

x



………11 分
? ?

1 1 2 1? 1? 要使②式对任意 x ∈ ? 0, ? 恒成立,只需 < ? 2 ? ? , x ∈ ? 0, ? ? ? ? ? m x x 3 3 ? ?min
? ?
2

12 分

因为

1 1 2 1 2 ?1 ? ? = ? ? 1? ? 1 ,所以当 x = 时,函数 y = 2 ? 取得最小值 3 ,… 2 3 x x x x ?x ? 1 1 12 分所以 < 3 ,又 m > 0 ,所以 m > , m 3 1 故正数 m 的取值范围是 ? , +∞ ? . ………13 分 ? ? ?3 ? 解法二:由 f ( x) < mg 2 ( x) ,得 x 2 + 2mx ? m < 0 , ………10 分 ? 1? 令 f ( x ) = x 2 + 2mx ? m ,则 f ( x ) < 0 对任意 x ∈ ? 0, ? 恒成立,……11 分 ? 3?

?f ? 只需 ? ?f ?

( 0) ≤ 0

??m ≤ 0 1 ,即 ? 1 2 ,解得 m > , ? ?1? 3 ? ?<0 ?9 + 3 m ? m < 0 ? ?3?

………

12 分 故
?1 ? ? , +∞ ? . ?3 ?





m













………13 分

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