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2013新课标高考专家预测试卷理科数学(含详解答案)


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2013 年高考命题预测卷(1 年仅此 1 卷)

理科 数 学 ( 必 修 +选 修 Ⅱ、 IV)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。第Ⅰ 1-2 页;第Ⅱ 3-6 页。考 卷 卷 试时间:2013 年 4 月 21 日,下午 15:00-17:00,共 120 分钟,满分 150 分。考试

结束后,将 本试卷和答题纸一并交回。

注意事项:答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在
条形码区域内.

第Ⅰ 卷
回答本卷时请注意: 1.选择题必须用 2B 铅笔填涂; 2.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上)
1 3 1.设复数 ? ? ? ? i ,则 1 ? ? 等于 2 2

A. ? ?

B. ? 2

C. ?

1

?

D.

1 ?2

2.设集合 M ? ? x x ? 3n ? 1, n ? Z? , N ? ? y y ? 3n ? 1, n ? Z? ,若 x0 ? M , y0 ? N ,则

x0 y0 与 M , N 的关系是
A. x0 y 0 ? M B. x0 y 0 ? N C. x0 y 0 ? M ? N D. x0 y0 ? M ? N

3.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 一定成立的是 A. a ? b B. | a |?| b | C. a ? b

? ,那么下列结论中 2
D. a ? b

4.已知一个几何体是由上下两部分构成 的组合体,其三视图如下,若图中圆的 半径为 1 ,等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是

4? 8? 10? B. 2? C. D. 3 3 3 5.已知实数 x ? [0,8] ,执行如右图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 54 的概 率为

A.

第 1 页 共 1 页

A.

1 4

B.
2

1 2

C.

3 4

D.

4 5

6. 函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构 成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 3 A. B. 2 C. 3 D. 5 4 sin ? ? cos ? ? 7.若 2sin ? ? cos ? ? 0 ,则 2 cos 2 ? ? sin 2? A. ?
2 5 5

B. ?

4 5 5

C. ?

5 2

D. ?

5 4

2 a 8.设 a ? ? (1 ? 3x 2 )dx ? 4 ,则二项式 ( x 2 ? ) 6 展开式中不含 x3 项的系数和是 x 0

A. ?160 B. 161 C. 160 D. ?161 2 2 x y 3 9.椭圆 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,若直线 y ? kx 与其一个交点的横坐 a b 3 标为 b ,则 k 的值为 A. ?1 B. ? 2 C. ?

3 3

D. ? 3

10.已知函数 f ( x) ? cos x ?

1 ? π 1 ? π x, x ? [? , ] , sin x0 ? , x0 ? [? , ] ,那么下面 2 2 2 2 2 2 四个命题中真命题的序号是

p1 : f ( x) 的最大值为 f ( x0 ) p3 : f ( x ) 在 [ ?

p2 : f ( x) 的最小值为 f ( x0 )
π p4 : f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数 2

?
2

, x0 ] 上是增函数

A. p1 ; p3

B. p1 ; p4

C. p2 ; p3

D. p2 ; p4

11.如图,当参数 λ 分别取 λ1,λ2 时,函数 y=

x (x≥0)的部分图像分 1+λx

别对应曲线 C1 和 C2,则 A.λ1<λ2<0 B.0<λ2<λ1 C.0<λ1<λ2 D.λ2<λ1<0 12.某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD 的顶点 A 处, 然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的 单位,如果掷出的点数为 i ( i ? 1,2,?6 ) ,则棋子就按逆时针方向行走 i 个
D C

单位,一直循环下去.小明抛掷了三次骰子后,棋子都恰好又回到点 A 处。 则当正方形边长分别为 2 个单位和 3 个单位时,所有不同的走法分别共有 A A.21 种、25 种 B.24 种、28 种 C.21 种、28 种 D.24 种、25 种

B

第 2 页 共 2 页

2013 年高考命题预测卷(1 年仅此 1 卷)

理 科 数 学 ( 必 修 +选 修 Ⅱ、 IV)
第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答.
回答本卷时请注意: 1.非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚; 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在 草稿纸、试题卷上答题无效; 3.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中 的横线上). 13. 随着人民生活的水平的提高,人们逐渐把艺术作为生活中不可或缺的精神物 质。近年来全国高考艺术考生数量逐年增高。据悉 2013 年某大学艺术系表 演专业的报考人数 10 年来连创新高,为此,报名刚结束,某考生就想知道 这次报考该专业的人数。已知该专业考生的考号是从 0001,0002,…这样 从 小到大顺序依次排列的,他随机了解了 50 个考生的考号,经计算,这 50 个考号的和是 25025,估计 2010 年报考这所大学艺术表演专业的考生大约 为_________.
?x ? y ?1 ? 0 ? 14.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?

区域内的面 积等于 2 ,则 a ? ________. 1-x 1 1 1 1 15.已知函数 f (x)=-x+log2 ,则 f (-2007)+f (-2008)+f (2007)+f (2008) 1+x 的值为________. b a 16.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若a+b=6cosC,则 tanC tanC tanA+ tanB的值是 .

第 3 页 共 3 页

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) . 17.(本小题满分 12 分) 2 2 设 ?an ? 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1 ? an ? 0(n ? N * ) 。 (Ⅰ )求 ?an ? 的通项公式;

? a ? (Ⅱ )求数列 ? n ? 的前 n 和 S n . ? n ?1?

18.(本小题满分 12 分) 近年空气质量逐步恶化, 雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.2012 年冬季,北京市仅有 5 天没有出现雾霾天气!一时间,大气污染成为人们的又一 大恐慌。大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否 与性别有关, 在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 5 女 10 合计 50 3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 . 5 (Ⅰ )请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ )是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ )已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患胃病.现在从患心肺疾 病的 10 位女性中, 选出 3 名进行其他方面的排查, 记选出患胃病的女性人数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望;大气污染会引起各种疾病,试谈谈日常生活中如何减 少大气污染. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

第 4 页 共 4 页

19. (本小题满分 12 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中,AB ? BD ,AB ? 2 ,BD ? 2 , BD 将 ?BCD 沿 折起,使二面角 A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射 影为 O . (Ⅰ )当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? (Ⅱ )当 AD ? BC 时,求 ? 的大小.
C D C O A B A B D

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点是坐标原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴上,过 F 的直线 l 与 ??? ??? ? ? 抛物线交于 A 、 B 两点,且满足 OA ? OB ? ?3 (Ⅰ )求抛物线的方程; (Ⅱ )在 x 轴负半轴上一点 M (m, 0) ,使得 ? AMB 是锐角,求 m 的取值范围; ( Ⅲ) 若 P 在 抛 物 线 准 线 上 运 动 , 其 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 [?2, 2] , 且 ??? ??? ? ? PA ? PB ? 16 ,点 Q 是以 AB 为直径的圆与准线的一个公共点,求点 Q 的纵坐标 的取值范围

21. (本小题满分 12 分) ?? x3 ? ax2 ? bx,??( x ? 1) 已知函数 f ( x) ? ? 的图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程 c ln x,??( x ≥1) ? 为 16 x ? y ? 20 ? 0 (Ⅰ )求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ )当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx (k ?R) 的实根个数

第 5 页 共 5 页

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第 1 题计分。 .... 作答时请写清题号。
A

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在△ ABC 中, CD 是 ?ACB 的平分线,△ ACD 的 外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2AC . (Ⅰ )求证: BE ? 2 AD ; (Ⅱ )当 AC ? 1 , EC ? 2 时,求 AD 的长.

D E

C

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? cos ? 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 以 O . ? y ? 1 ? sin ? 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线 C 2 的极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 ? 0 . (Ⅰ )求曲线 C1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C1 上的点到曲线 C 2 的最远距离.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式: 2x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 2. (Ⅰ )求整数 m 的值; (Ⅱ )在(I)的条件下,解不等式: x ? 1 ? x ? 3 ? m .

第 6 页 共 6 页

2013 年高考命题预测卷(1 年仅此 1 卷)
理科数学参考答案
一.选择题: 题号 答案 1 C 详解: 2 B 3 B 4 A 5 A 6 D 7 D 8 B 9 C 10 A 11 C 12 D

?1 3 ?? 1 3 ? i ?? ? i? ? ? 1 3 1 1 ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ? 1、 1 ? ? ? ? i? ?? . 2 2 ? 1 3 1 3 ? i ? ? i 2 2 2 2
2、设 x0 ? 3n ? 1, y0 ? 3k ? 1, n, k ? Z ,则 x0 y0 ? ?3n ?1??3k ?1? ? 3?3nk ? n ? k ? ?1, 故 x0 y0 ? N . 3 、 因 为 向 量 a?b 与 向 量 a?b 的 夹 角 为

? , 所 以 (a ? b) ? (a ? b) , 即 2

(a ? b) ? (a ? b) ? 0 ,所以 a ? b ? 0 ,即 a ? b
4、 这个几何体是一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆锥和一个半径为 1 的半球组 成的组合体,

2

2

1 4 4? ? ? ? 13 ? . 2 3 3 5、第一次运行: x ? 2 x ? 1 ,n=2 第二次为 x ? 2(2 x ? 1) ? 1 ? 4 x ? 3 ,n=3
故其体积为 ? ? 1 ? 2 ?
2

1 3

第三次为 x ? 2(4 x ? 3) ? 1 ? 8x ? 7 ,n=4 所以输出的 x 不小于 54 的概率为
2 2

输出 8 x ? 7 ,又 8 x ? 7 ? 55 ,解得 x ? 6 ,

8?6 2 1 ? ? 8 8 4

6、函数等价为 ( x ? 5) ? y ? 9, y ? 0 ,表示为圆心在 (5,0) 半径为 3 的上半圆,圆上点到 原点的最短距离为 2, 最大距离为 8, 若存在三点成等比数列, 则最大的公比 q 应有 8 ? 2q ,
2

即 q 2 ? 4, q ? 2 , 最小的公比应满足 2 ? 8q 2 ,所以 q ?
2

1 1 1 , q ? ,公比 q 满足 ? q ? 2 4 2 2
cos 得 0 ??

7、

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 1 n ? ? 。 由 2 s i? ? 2 2cos ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) 2cos ?

1 2 1 5 tan ? ? ? 得 cos ? ? ? ?? ,故 2 2cos ? 4 5
8、

? (1 ? 3x
0

2

2

2 2 )dx ? ( x ? x 3 ) 0 ? ?6 ,所以 a ? ?6 ? 4 ? ?2 ,二项式为 ( x 2 ? ) 6 ,展开式 x
第 7 页 共 7 页

的 通 项 为 Tk ?1 ? C 6 ( x )
k

2 6? k

2 (? ) k ? C 6k x12 ?3k (?2) k , 令 12 ? 3k ? 3 , 即 k ? 3 , 所 以 x

3 3 T4 ? C6 x 3 (?2) 3 ,所以 x 3 的系数为 ? 23 C6 ? ?160,令 x ? 1 ,得所有项的系数和为 1 ,

所以不含 x 项的系数和为 1 ? (?160) ? 161
3

9、因为椭圆的离心率为

1 3 c 3 3 ,所以有 ? ,即 c ? a , c 2 ? a 2 ? a 2 ? b 2 ,所以 3 3 a 3 3

b2 ?

2 2 a 。 当 x ? b 时 ,交点 的纵 坐标为 y ? kb , 即 交点为 (b, kb) , 代 入椭圆 方程 3

2 1 b 2 k 2b 2 3 ? 2 ? 1 ,即 ? k 2 ? 1, k 2 ? ,所以 k ? ? 2 3 3 3 a b

? ? ? 1 1 , x 0 ? [ ? , ] ,所以 x 0 ? 。函数的导数为 f ' ( x) ? ? sin x ,由 6 2 2 2 2 1 ? ? ? ? 1 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 ,解得 sin x ? ,又因为 x ? [ ? , ] ,所以 ? ? x ? ,此时函 2 2 2 2 6 2 1 ? ? 1 数 单 调 递 增 , 由 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 , 解 得 s i n x ? , 又 因 为 x ? [ ? , ] , 所 以 2 2 2 2
10、因为 sin x 0 ?

?

6

?x?

?

2

,此时函数单调递减,所以 p1 ; p3 正确 x x ≥ (x≥0),则 1+λ1x≤1+λ2x, 1+λ1x 1+λ2x

11、由图可知,λ 显然不为 0.当 λ 分别取 λ1、λ2 时,
x

因为 λ1≠λ2,所以 λ1<λ2.又1+λ x≥0(x≥0),则 1+λ1x>0,即 λ1>0,故 0<λ1<λ2
1

12、 设在第一次投掷后逆时针方向行走 i1 个单位; 在第二次投掷后逆时针方向行走 i2 个单位; 在第三次投掷后逆时针方向行走 i3 个单位。 则当正方形边长为 2 个单位长度时; 当循环一圈时,有 i1 + i2 + i3 =8,所包含情况( i1 , i2 , i3 )有(1,1,6)(1,2,5)(1,3,4)(2,2,4) 、 、 、 、 (2,3,3)5 种,包含事件 3+6+3+3+3=18 种; 当循环两圈时,有 i1 + i2 + i3 =16,所包含情况( i1 , i2 , i3 )有(4,6,6)(5,6,6)2 种,包含事件 、 3+3=6 种;共 24 种。 则当正方形边长为 3 个单位长度时; 只可能循环一圈, i1 + i2 + i3 =12, 有 所包含情况 i1 , i2 , i3 ) (1,5,6) ( 有 、 (2,4,6) 、 (2,5,5) 、 (3,3,6) 、 (3,4,5)(4,4,4)6 种,包含事件 6+6+3+3+6+1;共 25 种 、 二.填空题:13.1000 14.3 15.0 16.4 详解: 14、当 a ? 0 时,不等式组所表示的平面区域,如图中的 M ,一个无限的角形区域,面积 第 8 页 共 8 页

不可能为 2 ,故只能 a ? 0 ,此时不等式组所表示的平面区域如图中的 N ,区域为三角形区 域,若这个三角形的面积为 2 ,则 AB ? 4 ,即点 B 的坐标为 (1, 4) 代入 y ? ax ? 1 得 a ? 3 。

1-x 1+x 15、由 >0 得函数的定义域是(-1,1),又 f(-x)+f(x)=log2 1+x 1-x 1-x +log2 =log21=0, 1+x 1 1 1 1 ∴f(-x)=-f(x)成立,∴函数 f(x)是奇函数,∴f(- )+f( )=0,f(- )+f( )= 2007 2007 2008 2008 0,∴f(- 1 1 1 1 )+f(- )+f( )+f( )=0 2007 2008 2007 2008

b a 1 16、解法一:取 a=b=1,由 + =6cosC 得 cosC= ,由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC a b 3 4 2 3 2 2 = , ∴c= .在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, sinC= 又 , tanC 3 3 3 tanC tanC =2 2,∴ + =4. tanA tanB a2+b2 a2+b2-c2 b a 3 解法二:由 + =6cosC,得 =6· ,即 a2+b2= c2, a b ab 2ab 2 2 2 cosA cosB? tanC tanC sin C 2c ∴ + =tanC? sinA + sinB ?= = =4. ? tanA tanB cosCsinAsinB a2+b2-c2 三.解答题:
2 2 17.解:解: )解法一:由 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1 ? an ? 0 得, (Ⅰ

(n ? 1)(


an?1 2 an?1 ) ? ? n ? 0 ? an ? 0 an an



an?1 n ? …………4 分 an n ?1

an ?
2

an an?1 a n -1 n - 2 1 1 )?( )??( )a 1 ? ……………6 分 ? ?? 2 ? a 1 = ( n n -1 2 n an?1 an?2 a1
2

解法二:由 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1 ? an ? 0 得,

[(n ? 1)an?1 ? nan ] ? (an?1 ? an ) ? 0 ………………2 分
? an ? 0 ,
则 ∴(n ? 1)an?1 ? nan …………4 分

nan ? (n ? 1)an?1 ? ? ? 1? a1 ? 1 1 ∴a n ? n

………………6 分

第 9 页 共 9 页

(Ⅱ )由(Ⅰ )知:

an 1 1 1 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) n n ? 1

………………8 分

? Sn ?

a a1 a 2 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 2 3 n ?1 2 2 3 n n ?1 n ?1
………12 分 ………2 分 不患心肺疾病 5 15 20
2

18.解: )列联表补充如下 (Ⅰ 患心肺疾病 男 女 合计 (Ⅱ )因为 K 2 ? 20 10 30

合计 25 25 50

n(ad ? bc) 2 ,所以 K ? 8.333 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 又 P(k ? 7.789) ? 0.005 ? 0.5% . 故有 99.5% 的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的 (Ⅲ )依题意 ? 的所有可能取值:0,1,2,3

………4 分

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

3 C7 35 7 ? ? ; 3 C10 120 24 1 C32 ? C7 21 7 ? ? ; 3 C10 120 40

P(? ? 1) ?

1 2 C3 ? C7 63 21 ; ? ? 3 C10 120 40 3 C3 1 ; ………7 分 ? 3 C10 120

P(? ? 3) ?

分布列如下:

………8 分 1 2 3

?

0

P

7 21 7 24 40 40 7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 则 E? ? 0 ? 24 40 40 120 10 9 ? 的数学期望及方差分别为 E? ? 10

1 120

………10 分

低碳生活,节能减排,控制污染源,控制排放. (合理得分) ………12 分 19.解: )由题知 OD 为 CD 在平面 ABD 上的射影, (Ⅰ ∵BD ? CD , CO ? 平面 ABD ,∴BD ? OD , ∴?ODC ? ? , …………………2 分

1 1 1 S? A ? D C ? ? O?D B D O C ? O O ? 3 3 2 2 2 ? ? OD ? OC ? ? CD ? sin ? ? CD ? cos ? 6 6 2 2 ? ?s i n ? ≤ 2 , 3 3 当且仅当 sin 2? ? 1 ,即 ? ? 45? 时取等号, VC ? A O D ?
∴ ? ? 45? 时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为 当

…………………5 分

2 3

…………6 分

第 10 页 共 10 页

(Ⅱ )过 O 作 OE ? AB 于 E ,则 OEBD 为矩形,以 O 为原 点, OE , OD , OC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0, 0, 0), D(0, 2 cos? , 0), A( 2, 2 cos? ? 2, 0) , z C

B( 2, 2 cos? , 0),C(0, 0, 2 s i n ) , ………9 分 ?
于是 AD ? (? 2 , 2, 0) , BC ? (? 2, ? 2 cos? , 2 sin ? ) , ……………10 分 由 AD ? BC ,得 AD ? BC ? 0 , ∴(? 2 ) ? (? 2 ) ? 2 ? (?2 cos? ) ? 0 ? 2 sin ? ? 0 , 得 cos ? ? A x E

O

D y B

1 ,又 ? 为锐角,∴? ? 60? 2
2

………………………12 分

20.解: )设抛物线方程 y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 方程 x ? ty ? (Ⅰ 联立消去 x 得 y ? 2 p (ty ?
2

p , 2

p ) ,即 y2 ? 2 pty ? p2 ? 0 . 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2 pt , y1 y2 ? ? p 2 ,进而

p p pt p2 x1 x2 ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? t 2 y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 2 2 2 4 2 2 pt p p ? t 2 ? (? p 2 ) ? ? 2 pt ? ? 2 4 4 ??? ??? ? ? p2 3 ? p 2 ? ? p 2 ? ?3 ,即 p ? 2 , 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 4 4 2 所求抛物线方程为 y ? 4 x . ………… 4 分 ???? ???? (Ⅱ)因为 ?AMB 是锐角,所以 MA ? MB ? 0 恒成立,即 ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? 0 ,

x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? y1 y2 ? 0 .
由(Ⅰ )得 x1 x2 ? 1 , y1 y2 ? ?4 , y1 ? y2 ? 4t , x1 ? x2 ? t ( y1 ? y2 ) ? p ? 4t 2 ? 2 .

m 2 ? 2m ? 3 对于 ?t ? R 恒 4m ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 m 2 ? 2m ? 3 ? 0 .又 m ? 0 ,所以 ? 成立,所以 , 4m ?m ? 0 解得 m 的取值范围 m ? ?1 . …………8 分 (Ⅲ )由条件可设 P 的坐标为 (?1, a) , ?2 ≤ a ≤ 2 ,则
2 2 所以 1 ? m(4t ? 2) ? m ? 4 ? 0 ,而 m ? 0 ,所以 t ?
2

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??? ??? ? ? PA ? PB ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( y 1 a)( y ? a) ? 2 ? x1 x 2 ? ( x 1 x )2? 1 ? y y 1 ?2a( y ? 1 ) ? 2 2 ? y a ? 1 ? 4t 2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 4at ? a 2 ? 4t 2 ? 4at ? a 2 ? (2t ? a)2 ? 16, 所以 2t ? 4 ? a 或 2t ? 4 ? a ,而 ?2 ≤ a ≤ 2 ,所以 2 ≤ 2t ≤ 6 或 ?6 ≤ 2t ≤ ?2 .
根据抛物线定义可知, AB 为直径的圆与抛物线的准线相切, 以 所以点 Q 的纵坐标为

y1 ? y2 4t ? ? 2t ,从而点 Q 的纵坐标的取值范围是 [?6, ?2] ? [2,6] ……… 12 分 2 2 2 21.解: )当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? b . (Ⅰ 因为函数图象在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . ? f (?2) ? 8 ? 4a ? 2b ? 12, 所以切点坐标为 (?2,12) ,并且 ? ? f ?(?2) ? ?12 ? 4a ? b ? ?16, 解得 a ? 1, b ? 0 . ………… 3 分

?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1) (Ⅱ )方程 f ( x) ? kx ,即 kx ? ? ,可知 0 一定是方程的根………… 4 分 ?e ln x,??( x ≥ 1) ?? x 2 ? x,??( x ? 1且x ? 0) ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e ln x . ,??( x ≥ 1) ? ? x 2 ?? x ? x,??( x ? 1且x ? 0) ? 构造函数 k ( x) ? ? e ln x ………… 6 分 ,??( x ≥ 1) ? ? x 2 对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 k ( x) ? ? x ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分 1 1 1 当 x ? 时取得最大值 ,其值域是 (??, 0) ? (0, ] ; 2 4 4 e ln x e ? e ln x ? 0 ,得 x ? e , 对于 x ≥ 1 部分,函数 k ( x ) ? ,令 k ?( x) ? x x2 所以函数 k ( x) 在 (1, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减,所以 k ( x) 在 x ? e 时取 得最大值 1,其值域是 [0,1] , k (1) ? 0 ,并且当 x 无限增大时,其图像在 x 轴上方 向右无限接近 x 轴但永远也达不到 x 轴. ………… 8 分 因此可画出函数 k ( x) 的图像的示意图如下:
k(x)

1
k

1/4
O 1/2 1
e x

可得: ① k ? 1 时,方程 f ( x) ? kx 只有唯一实根 0; 当 ② k ? 1 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根 0 和 e ; 当

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1 ? k ? 1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4 1 ④ k ? 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根; 当 4 1 ⑤ 0 ? k ? 时,方程 f ( x) ? kx 有五个实根; 当 4 ⑥ k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根 0 和 1; 当 ⑦ k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根 当 …………12 分 22.解: )连结 DE ,因为 ACED 是圆的内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA , (Ⅰ 又 BE DE ?DBE ? ?CBA ,所以△ BDE ∽ BCA ,即有 ? △ ,而 AB ? 2 AC , BA CA 所以 BE ? 2DE .又 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD .
③ 当 (Ⅱ )由条件得 AB ? 2 AC ? 2 ,设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? (2 AD ? CE)
2 所以 (2 ? t ) ? 2 ? 2t (2t ? 2) ,即 2t ? 3t ? 2 ? 0 ,解得 t ?

…………5 分

1 1 ,即 AD ? 2 2
…………10 分

23.解: )将 ? (Ⅰ

将 ? ? cos? ? sin ? ? ?1 ? 0 化为直角坐标方程得 x ? y ? 1 ? 0 .

? x ? cos ? 2 ( ? 为参数)化为普通方程得 x 2 ? ? y ? 1? ? 1, ? y ? 1 ? sin ?
…………5 分

(Ⅱ 由 ) (Ⅰ 知曲线 C1 表示圆心为 (0,1) , ) 半径为 1 的圆, 曲线 C 2 表示直线 x ? y ? 1 ? 0 , 并且过圆心 (0,1) ,所以曲线 C1 上的点到曲线 C 2 上点的最远距离等于圆的半径 1. …………10 分 24.解: (I)由 | 2 x ? m |? 1,得

m ?1 m ?1 ?x? 2 2

? 不等式的整数解为 2, m ?1 m ?1 ?3? m?5 ? ?2? 2 2 又不等式仅有一个整数解 2,? m ? 4 4分 (II)即解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? 4 ,. 当 x ? 1 时,不等式 ? 1 ? x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 0 ,不等式解集为 {x | x ? 0} 当 1 ? x ? 3 时,不等式为 x ? 1 ? 3 ? x ? 4 ? x ?? ,不等式解为 ? 当 x ? 3 时, x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ? x ? 4 ,不等式解集为 {x | x ? 4}
综上,不等式解为 ? ??,0? ??4, ??? 10 分

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