当前位置:首页 >> 数学 >> 2014年浙江省高考数学试卷(理科) 10

2014年浙江省高考数学试卷(理科) 10


2014 年浙江省高考数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (2014?浙江)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5},则?UA=( A .? B.{2} C.{5}
2

) D.{2,5} )

2. (5 分) (2014?浙江)已知 i 是虚数单

位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3. (5 分) (2014?浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是(



A.90cm2

B.129cm2

C.132cm2

D.138cm2 )

4. (5 分) (2014?浙江)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= cos3x 的图象( A. B. 向右平移 个单位 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位

5. (5 分) (2014?浙江)在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 6. (5 分) (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 7. (5 分) (2014?浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是( A. B. C. D.
a 3 2

6

4

m n





8. (5 分) (2014?浙江)记 max{x,y}=

,min{x,y}=

,设 , 为平面向量,则(



A. C.

min{| + |,| ﹣ |}≤min{| |,| |} max{| + | ,| ﹣ | }≤| | +| |
2 2 2 2

B.

min{| + |,| ﹣ |}≥min{| |,| |}

D. 2 2 2 2 max{| + | ,| ﹣ | }≥| | +| |

9. (5 分) (2014?浙江)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3) ,从乙盒中 随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξi(i=1,2) ; (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2) . 则( ) A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) 10. (5 分) (2014?浙江)设函数 f1(x)=x ,f2(x)=2(x﹣x ) ,
2 2



,i=0,1,2,…, )

99.记 Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk(a98)|,k=1,2,3,则( A.I1<I2<I3 B.I2<I1<I3 C.I1<I3<I2 D.I3<I2<I1

二、填空题 11. (4 分) (2014?浙江)在某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是 _________ .

12. (4 分) (2014?浙江)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)= _________ .

13. (4 分) (2014?浙江) 当实数 x, y 满足

时, 1≤ax+y≤4 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 _________ .

14. (4 分) (2014?浙江)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每 人 2 张,不同的获奖情况有 _________ 种(用数字作答) .

15. (4 分) (2014?浙江) 设函数 f(x) =

,若 f(f(a) ) ≤2, 则实数 a 的取值范围是

_________ .

16. (4 分) (2014?浙江)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点

A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 _________ . 17. (4 分) (2014?浙江)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的 距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15cm,AC=25cm,∠ BCM=30°,则 tanθ 的最大值是 _________ . (仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)

三、解答题 18. (14 分) (2014?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a≠b, c= ﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积. , cos A﹣cos B=
2 2

sinAcosA

19. (14 分) (2014?浙江)已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an= b3=6+b2. (Ⅰ )求 an 和 bn; (Ⅱ )设 cn= (n∈N ) .记数列{cn}的前 n 项和为 Sn.
*

(n∈N ) .若{an}为等比数列,且 a1=2,

*

(i)求 Sn; * (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 Sk≥Sn. 20. (15 分) (2014?浙江)如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∠ CDE=∠ BED=90°,AB=CD=2, DE=BE=1,AC= . (Ⅰ )证明:DE⊥ 平面 ACD; (Ⅱ )求二面角 B﹣AD﹣E 的大小.

21. (15 分) (2014?浙江)如图,设椭圆 C:

(a>b>0) ,动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P

在第一象限. (Ⅰ )已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (Ⅱ )若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.

22. (14 分) (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +3|x﹣a|(a∈R) . (Ⅰ )若 f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为 M(a) ,m(a) ,求 M(a)﹣m(a) ; (Ⅱ )设 b∈R,若[f(x)+b] ≤4 对 x∈[﹣1,1]恒成立,求 3a+b 的取值范围.
2

3

2014 年浙江省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分) (2014?浙江)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5},则?UA=( A .? B.{2} C.{5} 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 集合.
2

) D.{2,5}

菁优网版权所有

先化简集合 A,结合全集,求得?UA. 2 解:∵ 全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5}={x∈N|x≥3}, 则?UA={x∈N|x<3}={2}, 故选:B. 点评: 本题主要考查全集、补集的定义,求集合的补集,属于基础题. 2. (5 分) (2014?浙江)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2



考点: 复数相等的充要条件;充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用复数的运算性质,分别判断“a=b=1”?“(a+bi)2=2i”与“a=b=1”?“(a+bi)2=2i”的真假,进而根据充要 条件的定义得到结论. 解答: 解:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,
菁优网版权所有

故“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分条件; 2 2 2 当“(a+bi) =a ﹣b +2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=﹣1”, 2 故“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的不必要条件; 2 综上所述,“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分不必要条件; 故选 A 点评: 本题考查的知识点是充要条件的定义,复数的运算,难度不大,属于基础题. 3. (5 分) (2014?浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

2

A.90cm2

B.129cm2

C.132cm2

D.138cm2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的
菁优网版权所有

数据,判断四棱柱的高与底面矩形的边长,把数据代入表面积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体, 其中直三棱柱的侧棱长为 3,底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形, 四棱柱的高为 6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为 3 和 4, ∴ 几何体的表面积 S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2× ×3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm ) . 故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关 键. 4. (5 分) (2014?浙江)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= cos3x 的图象( A. B. 向右平移 个单位 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 )
2

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用平移原则判断选项即 可. 解答: 解:函数 y=sin3x+cos3x= ,故只需将函数 y= cos3x 的图象向右平移 个单位,得到
菁优网版权所有

y=

=

的图象.

故选:C. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查. 5. (5 分) (2014?浙江)在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式定理的应用. 二项式定理.
3 0 6 6 4 m n

菁优网版权所有

由题意依次求出 x y ,x y ,x y ,x y ,项的系数,求和即可. 解: (1+x) (1+y) 的展开式中,含 x y 的系数是: 含 x y 的系数是 含 x y 的系数是 含 x y 的系数是
0 3 1 2 2 1 4 3 0

2 1

1 2

0 3

=20.f(3,0)=20;

=60,f(2,1)=60; =36,f(1,2)=36; =4,f(0,3)=4;

∴ f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120. 故选:C. 点评: 本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力. 6. (5 分) (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9
3 2



考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)列出方程组求出 a,b 代入 0<f(﹣1)≤3 求出 c 的范围. 解答: 解:由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得 ,
菁优网版权所有

解得
3


2

f(x)=x +6x +11x+c, 由 0<f(﹣1)≤3,得 0<﹣1+6﹣11+≤3, 即 6<c≤9, 故选 C. 点评: 本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题. 7. (5 分) (2014?浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是( A. B. C. D.
a



考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. a 分析: 结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当 0<a<1 时和当 a>1 时两种情况,讨论函数 f(x)=x (x≥0) , g(x)=logax 的图象,比照后可得答案. 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=xa(x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:
菁优网版权所有

此时答案 D 满足要求, a 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

无满足要求的答案, 综上:故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解答的关键.

8. (5 分) (2014?浙江)记 max{x,y}= A. C.

,min{x,y}= B.

,设 , 为平面向量,则(



min{| + |,| ﹣ |}≤min{| |,| |} max{| + | ,| ﹣ | }≤| | +| |
2 2 2 2

min{| + |,| ﹣ |}≥min{| |,| |}

D. 2 2 2 2 max{| + | ,| ﹣ | }≥| | +| |

考点: 向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将 , 平移到同一起点,根据向量加减法的几何意义可知, + 和 ﹣ 分别表示以 , 为邻边所做平行
菁优网版权所有

四边形的两条对角线,再根据选项内容逐一判断. 解答: 解:对于选项 A,取 ⊥ ,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立; 对于选项 B,取 , 是非零的相等向量,则不等式左边 min{| + |,| ﹣ |}= ,显然,不等式不成立; 对于选项 C,取 , 是非零的相等向量,则不等式左边 max{| + | ,| ﹣ | }=| + | =4 右边=| | +| | =2
2 2 2 2 2

,而不等式

,显然不成立.

由排除法可知,D 选项正确. 故选:D. 点评: 本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将 , , , 放在同一个平行四边形中进行比较

判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法, 也不失为一种快速有效的方法,在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤,针对选择题 的特点,有时“排除法”,“确定法”,“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有效的方法. 9. (5 分) (2014?浙江)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3) ,从乙盒中 随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξi(i=1,2) ; (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2) . 则( )

A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) 考 离散型随机变量的期望与方差. 点: 专 概率与统计. 题: 分 首先,这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的,然后分两种情况:即当 ξ=1 时,有可能从乙盒中拿出一 析:个红球放入甲盒,也可能是拿到一个蓝球放入甲盒;ξ=2 时,则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一
菁优网版权所有

红一蓝、或者两红;最后利用概率公式及分布列知识求出 P1,P2 和 E(ξ1) ,E(ξ2)进行比较即可. 解 答:解析: , ,

,所以 P1>P2; 由已知 ξ1 的取值为 1、2,ξ2 的取值为 1、2、3, 所以, = =



E(ξ1)﹣E(ξ2)= 故选 A



点 正确理解 ξi(i=1,2)的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法,不妨令 m=n=3,也可以很快求解. 评:
2 2

10. (5 分) (2014?浙江)设函数 f1(x)=x ,f2(x)=2(x﹣x ) ,



,i=0,1,2,…, )

99.记 Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk(a98)|,k=1,2,3,则( A.I1<I2<I3 B.I2<I1<I3 C.I1<I3<I2 D.I3<I2<I1

考 函数与方程的综合运用. 点: 专 函数的性质及应用. 题: 分 根据记 Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk(a98)|,分别求出 I1,I2,I3 与 1 的关系, 析: 继而得到答案 解 解: 由 , 故 = =1, 答:
菁优网版权所有

由 <1 , +

,故

=



故 I2<I1<I3, 故选:B. 点 本题主要考查了函数的性质,关键是求出这三个数与 1 的关系,属于难题. 评: 二、填空题 11. (4 分) (2014?浙江)在某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是 6 .

考点: 专题: 分析: 解答:

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件 S>50,跳出循环体,确定输出的 i 的值. 解:由程序框图知:第一次循环 S=1,i=2; 第二次循环 S=2×1+2=4,i=3; 第三次循环 S=2×4+3=11,i=4; 第四次循环 S=2×11+4=26,i=5; 第五次循环 S=2×26+5=57,i=6, 满足条件 S>50,跳出循环体,输出 i=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
菁优网版权所有

12. (4 分) (2014?浙江)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)=



考点: 离散型随机变量的期望与方差.

菁优网版权所有

专题: 概率与统计. 分析: 结合方差的计算公式可知,应先求出 P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公 式不难求得. 解答: 解析:设 P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得 p+q= , , 解得 所以 故答案为: 点评: 本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式. , , .

13. (4 分) (2014?浙江) 当实数 x, y 满足

时, 1≤ax+y≤4 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 [

]



考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,再由 1≤ax+y≤4 恒成立,结合可行域内特殊点 A,B,C 的坐标满足不等式列不等 式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围. 解答: 解:由约束条件作可行域如图,
菁优网版权所有

联立

,解得 C(1, ) .

联立

,解得 B(2,1) .

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0 得 A(1,0) . 要使 1≤ax+y≤4 恒成立,



,解得:1



∴ 实数 a 的取值范围是 故答案为: .



点评: 本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法, 是中档题. 14. (4 分) (2014?浙江)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每 人 2 张,不同的获奖情况有 60 种(用数字作答) . 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 计算题;排列组合. 分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得;一、二、三等奖,有 1 人获得 2 张,1 人获得 1 张.
菁优网版权所有

解:分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得,共有

=24 种; =36 种,

一、二、三等奖,有 1 人获得 2 张,1 人获得 1 张,共有

共有 24+36=60 种. 故答案为:60. 点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.

15. (4 分) (2014?浙江) 设函数 f (x) =

, 若f (f (a) ) ≤2, 则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,

]



考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出函数 f(x)的图象,由 f(f(a) )≤2,可得 f(a)≥﹣2,数形结合求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵ 函数 f(x)= ,它的图象如图所示:
菁优网版权所有

由 f(f(a) )≤2,可得 f(a)≥﹣2. 2 由 f(x)=﹣2,可得﹣x =﹣2,即 x= , 故当 f(f(a) )≤2 时,则实数 a 的取值范围是 a≤ 故答案为: (﹣∞, ].



点评: 本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.

16. (4 分) (2014?浙江)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点

A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出 A,B 的坐标,可得 AB 中点坐标为(
菁优网版权所有



) ,利用点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,

可得

=﹣3,从而可求双曲线的离心率.

解答: 解:双曲线 (a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,则 , ) ,B(﹣ , ) ,

与直线 x﹣3y+m=0 联立,可得 A(

∴ AB 中点坐标为(



) ,

∵ 点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,



=﹣3,

∴ a=2b, ∴ ∴ e= = . . = b,

故答案为:

点评: 本题考查双曲线的离心率,考查直线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题. 17. (4 分) (2014?浙江)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的 距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15cm,AC=25cm,∠ BCM=30°,则 tanθ 的最大值是 成角) . (仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所

考点: 在实际问题中建立三角函数模型;解三角形. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 过 P 作 PP′ ⊥ BC,交 BC 于 P′ ,连接 AP′ ,则 tanθ=
菁优网版权所有

,求出 PP′ ,AP′ ,利用函数的性质,分类讨论,

即可得出结论. 解答: 解:∵ AB=15cm,AC=25cm,∠ ABC=90°, ∴ BC=20cm, 过 P 作 PP′ ⊥ BC,交 BC 于 P′ ,连接 AP′ ,则 tanθ= 设 BP′ =x,则 CP′ =20﹣x, 由∠ BCM=30°,得 PP′ =CP′ tan30°= 在直角△ ABP′ 中,AP′ = ∴ tanθ= , , (20﹣x) , ,

?

令 y=

,则函数在 x∈[0,20]单调递减,

∴ x=0 时,取得最大值为

=

. (20+x) ,

若 P′ 在 CB 的延长线上,PP′ =CP′ tan30°= 在直角△ ABP′ 中,AP′ = ∴ tanθ= , ,

?

令 y=

,则 y′ =0 可得 x=

时,函数取得最大值



故答案为:



点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题 18. (14 分) (2014?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a≠b, c= ﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积. , cos A﹣cos B=
2 2

sinAcosA

考点: 正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )△ ABC 中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 求得 tan(A+B)的值,可得 A+B 的值,从而求得 C 的值.
菁优网版权所有

?cos(A+B)sin(A﹣B) .

(Ⅱ ) 由 sinA= 的面积为

求得 cosA 的值. 再由正弦定理求得 a, 再求得 sinB=sin[ (A+B) ﹣A]的值, 从而求得△ ABC 的值. ,cos A﹣cos B= sin2B, ?cos(A+B)sin(A﹣B) .
2 2

解答: 解: (Ⅰ )∵ △ ABC 中,a≠b,c= ∴ ﹣ =

sinAcosA﹣

sinBcosB,

sin2A﹣

即 cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 ∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A﹣B)≠0, ∴ tan(A+B)=﹣ , ∴ A+B= ∴ C= . ,C= , ,

(Ⅱ )∵ sinA= < ∴ A< ∴ cosA= 由正弦定理可得, ,或 A>

(舍去) , = . = ,即 = ,∴ a= .

∴ sinB=sin[(A+B)﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos(A+B)sinA= ∴ △ ABC 的面积为 = × = .

﹣(﹣ )× =



点评: 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题.

19. (14 分) (2014?浙江)已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an= b3=6+b2. (Ⅰ )求 an 和 bn; (Ⅱ )设 cn= (n∈N ) .记数列{cn}的前 n 项和为 Sn.
*

(n∈N ) .若{an}为等比数列,且 a1=2,

*

(i)求 Sn; * (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 Sk≥Sn. 考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )先利用前 n 项积与前(n﹣1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值,结合首项的值,求出通 项 an,然后现利用条件求出通项 bn; (Ⅱ ) (i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和,得出本小题结论; (ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明. 解答: * 解: (Ⅰ )∵ a1a2a3…an= (n∈N ) ① ,
菁优网版权所有

当 n≥2,n∈N 时, 由① ② 知: 令 n=3,则有 ∵ b3=6+b2, ∴ a3=8. ∵ {an}为等比数列,且 a1=2, ∴ {an}的公比为 q,则 =4, , .

*

② ,

由题意知 an>0,∴ q>0,∴ q=2. ∴ (n∈N ) . (n∈N )得: , , ∴ bn=n(n+1) (n∈N ) . (Ⅱ ) (i)∵ cn= ∴ Sn=c1+c2+c3+…+cn = = = = = .
* * *

又由 a1a2a3…an=

=



(ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0; 当 n≥5 时, , 而 = 得 , 所以,当 n≥5 时,cn<0, * 综上,对任意 n∈N 恒有 S4≥Sn,故 k=4. 点评: 本题考查了等比数列通项公式、求和公式,还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可 以用二项式定理,还可以用数学归纳法.本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决 问题的能力.本题属于难题. 20. (15 分) (2014?浙江)如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∠ CDE=∠ BED=90°,AB=CD=2, DE=BE=1,AC= . (Ⅰ )证明:DE⊥ 平面 ACD; (Ⅱ )求二面角 B﹣AD﹣E 的大小. >0,

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )依题意,易证 AC⊥ 平面 BCDE,于是可得 AC⊥ DE,又 DE⊥ DC,从而 DE⊥ 平面 ACD; (Ⅱ )作 BF⊥ AD,与 AD 交于点 F,过点 F 作 FG∥ DE,与 AB 交于点 G,连接 BG,由(Ⅰ )知 DE⊥ AD,则
菁优网版权所有

FG⊥ AD,所以∠ BFG 就是二面角 B﹣AD﹣E 的平面角,利用题中的数据,解三角形,可求得 BF=



AF= AD,从而 GF= ,cos∠ BFG=

=

,从而可求得答案.

解答: 证明: (Ⅰ )在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC= , 2 2 2 由 AC= ,AB=2 得 AB =AC +BC ,即 AC⊥ BC, 又平面 ABC⊥ 平面 BCDE,从而 AC⊥ 平面 BCDE, 所以 AC⊥ DE,又 DE⊥ DC,从而 DE⊥ 平面 ACD; 作 BF⊥ AD, 与 AD 交于点 F, 过点 F 作 FG∥ DE, 与 AB 交于点 G, 连接 BG, 由 (Ⅰ ) 知 DE⊥ AD, 则 FG⊥ AD, 2 2 2 所以∠ BFG 就是二面角 B﹣AD﹣E 的平面角,在直角梯形 BCDE 中,由 CD =BC +BD ,得 BD⊥ BC, 又平面 ABC⊥ 平面 BCDE,得 BD⊥ 平面 ABC,从而 BD⊥ AB, 由于 AC⊥ 平面 BCDE,得 AC⊥ CD.

在 Rt△ ACD 中,由 DC=2,AC= 在 Rt△ AED 中,由 ED=1,AD= 在 Rt△ ABD 中,由 BD=

,得 AD= ; 得 AE= ; 得 BF= ,AF= AD,从而 GF= , ,BC= .

,AB=2,AD=

在△ ABE,△ ABG 中,利用余弦定理分别可得 cos∠ BAE=

在△ BFG 中,cos∠ BFG= 所以,∠ BFG=

=

, .

,二面角 B﹣AD﹣E 的大小为

点评: 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,推理论证能力和运 算求解能力.

21. (15 分) (2014?浙江)如图,设椭圆 C:

(a>b>0) ,动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P

在第一象限. (Ⅰ )已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (Ⅱ )若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
菁优网版权所有

(Ⅰ )设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0) ,由

,消去 y 得(b +a k )x +2a kmx+a m ﹣a b =0,

2

2 2

2

2

2

2

2 2

利用△ =0,可求得在第一象限中点 P 的坐标; (Ⅱ )由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直,设直线 l1 的方程为 x+ky=0,利用点到直线间的距离公式,可

求得点 P 到直线 l1 的距离 d=

,整理即可证得点 P 到直线 l1 的距离的最大值为

a﹣b. . 解答: 解: (Ⅰ )设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0) ,由
2 2 2 2 2 2 2 2 2

,消去 y 得

(b +a k )x +2a kmx+a m ﹣a b =0. 2 2 2 2 由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,故△ =0,即 b ﹣m +a k =0,解得点 P 的坐标为 (﹣ , ) ,

又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P(



) .

(Ⅱ )由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离

d=



整理得:d=



因为 a k +

2 2

≥2ab,所以



=a﹣b,当且仅当 k = 时等号成立.

2

所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.

点评: 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几 何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力. 22. (14 分) (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +3|x﹣a|(a∈R) . (Ⅰ )若 f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为 M(a) ,m(a) ,求 M(a)﹣m(a) ; 2 (Ⅱ )设 b∈R,若[f(x)+b] ≤4 对 x∈[﹣1,1]恒成立,求 3a+b 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )利用分段函数,结合[﹣1,1],分类讨论,即可求 M(a)﹣m(a) ;
菁优网版权所有

3

(Ⅱ )令 h(x)=f(x)+b,则 h(x)=
2

,h′ (x)=

,则[f(x)

+b] ≤4 对 x∈[﹣1,1]恒成立,转化为﹣2≤h(x)≤2 对 x∈[﹣1,1]恒成立,分类讨论,即可求 3a+b 的取值 范围.

解答: 解: (Ⅰ )∵ f(x)=x +3|x﹣a|=
3



∴ f′ (x)=



① a≤﹣1 时,∵ ﹣1≤x≤1,∴ x≥a,f(x)在(﹣1,1)上是增函数, ∴ M(a)=f(1)=4﹣3a,m(a)=f(﹣1)=﹣4﹣3a, ∴ M(a)﹣m(a)=8; ② ﹣1<a<1 时,x∈(a,1) ,f(x)=x +3x﹣3a,在(a,1)上是增函数;x∈(﹣1,a) ,f(x)=x ﹣3x﹣ 3a,在(﹣1,a)上是减函数, ∴ M(a)=max{f(1) ,f(﹣1)},m(a)=f(a)=a , ∵ f(1)﹣f(﹣1)=﹣6a+2, ∴ ﹣1<a≤ 时,M(a)﹣m(a)=﹣a ﹣3a+4; <a<1 时,M(a)﹣m(a)=﹣a +3a+2; ③ a≥1 时,有 x≤a,f(x)在(﹣1,1)上是减函数, ∴ M(a)=f(﹣1)=2+3a,m(a)=f(1)=﹣2+3a, ∴ M(a)﹣m(a)=4; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+b,则 h(x)=
2 3 3 3 3 3

,h′ (x)=



∵ [f(x)+b] ≤4 对 x∈[﹣1,1]恒成立, ∴ ﹣2≤h(x)≤2 对 x∈[﹣1,1]恒成立, 由(Ⅰ )知, ① a≤﹣1 时,h(x)在(﹣1,1)上是增函数,最大值 h(1)=4﹣3a+b,最小值 h(﹣1)=﹣4﹣3a+b,则﹣ 4﹣3a+b≥﹣2 且 4﹣3a+b≤2 矛盾; ② ﹣1<a≤ 时,最小值 h(a)=a +b,最大值 h(1)=4﹣3a+b,∴ a +b≥﹣2 且 4﹣3a+b≤2, 令 t(a)=﹣2﹣a +3a,则 t′ (a)=3﹣3a >0,t(a)在(0, )上是增函数,∴ t(a)>t(0)=﹣2, ∴ ﹣2≤3a+b≤0; ③ <a<1 时,最小值 h(a)=a +b,最大值 h(﹣1)=3a+b+2,则 a +b≥﹣2 且 3a+b+2≤2,∴ ﹣
3 3 3 2 3 3

<3a+b≤0;

④ a≥1 时,最大值 h(﹣1)=3a+b+2,最小值 h(1)=3a+b﹣2,则 3a+b﹣2≥﹣2 且 3a+b+2≤2,∴ 3a+b=0. 综上,3a+b 的取值范围是﹣2≤3a+b≤0.


更多相关文档:

2014年高考浙江理科数学试题及答案(精校版)

2014年高考浙江理科数学试题及答案(精校版)_数学_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学(理科))) 一. 选择题:本大题共 10 ...

2014年浙江省高考数学试卷(理科) 10

2014年浙江省高考数学试卷(理科) 10_数学_高中教育_教育专区。2014 年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (2014...

102014年浙江省高考数学试卷(理科)_10

102014年浙江省高考数学试卷(理科)_10_数学_高中教育_教育专区。2014 年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (201...

2014年浙江高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014 年浙江高考理科数学试题逐题详解 (纯 word 解析版)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合...

2014年浙江省高考数学试卷(理科)

2014年浙江省高考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。2014 年浙江省高考...(ξ2) 10. (5 分) (2014?浙江)设函数 f1(x)=x ,f2(x)=2(x﹣x )...

2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析

2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析_高考_高中教育...渐近线方程 10. (6 分) (2015?浙江) 已知函数(...2014年浙江省高考数学试... 19页 5下载券 2015...

2015年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析_数学_...比较基础. 5 10. (6 分) (2015?浙江)已知函数...

2014年浙江省高考数学试卷(理科)

2014年浙江省高考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。真题原题,校对精准!...(ξ2) 10. (5 分) (2014?浙江)设函数 f1(x)=x ,f2(x)=2(x﹣x )...

2014年浙江省高考数学试卷(理科)

2014年浙江省高考数学试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 年...(ξ2) 10. (5 分) (2014?浙江)设函数 f1(x)=x ,f2(x)=2(x﹣x )...
更多相关标签:
2016浙江理科数学试卷 | 2015浙江理科数学试卷 | 2016浙江高考数学理科 | 2014浙江高考数学理科 | 2010浙江高考数学理科 | 2013浙江高考数学理科 | 2012浙江高考数学理科 | 2015浙江高考数学理科 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com