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导数模拟及高考题带答案


导数模拟及高考题
一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?重庆一模) 函数 ( f x) =x +bx +cx+d, 图象如图, 则函数 A. B [3,+∞) . C.[﹣2,3]
3 2

的单调递减区间为 ( D.(﹣∞,﹣2)



[ ,+∞)

2. (201

4?郑州一模)已知曲线 A .3 3. (2014?郑州模拟)曲线 A. B. B.2 在点

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C .1 D.



处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( C. D.



4. (2014?西藏一模)已知曲线 A .1 B.2
x﹣1

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C .3 )

) D.4 D.1

5. (2014?广西)曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率等于( A.2e B.e C .2 6. (2014?陕西)定积分 A.e+2 (2x+e )dx 的值为( B.e+1
3 x

) C .e D.e﹣1 ) D.4 )

7. (2014?山东)直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A .2 B.4 C .2
3 2

8. (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 9. (2014?包头一模)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.﹣2 或 2 B.﹣9 或 3 C.﹣1 或 1 10. (2013?聊城一模)设曲线 A .2 B.
2 3

) D.﹣3 或 1 )

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( C. D.﹣2

11. (2013?北京)直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( A. B.2 C. D. 12. (2013?福建)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ﹣x0 是 f(﹣x)的极小值点





C. ﹣x0 是﹣f(x)的极小值点
2

D.﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点 ,f(2)= ,则 x>0 时,f(x) ( )

13. (2013?辽宁)设函数 f(x)满足 x f′ (x)+2xf(x)= A.有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值

B. 有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值
x k

14. (2013?浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e ﹣1) (x﹣1) (k=1,2) ,则(


1

A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 C. 当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 15. (2012?辽宁)函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为(
2

B. 当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 )

A.(﹣1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 16. (2012?重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′ (x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值,则函 数 y=xf′ (x)的图象可能是( ) A. B. C. D.

17. (2012?陕西)设函数 f(x)= +lnx 则 A. x= 为 f(x)的极大值点



) B. x= 为 f(x)的极小值点

C. x=2 为 f(x)的极大值点
x

D.x=2 为 f(x)的极小值点

18. (2012?陕西)设函数 f(x)=xe ,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D.x=﹣1 为 f(x)的极小值点 19. (2012?重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′ (x) ,且函数 y=(1﹣x)f′ (x)的图象如图所示,则 下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2)
2

B. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) D.函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2)

20. (2012?辽宁)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2,过 P,Q 分别作抛物线 的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ) A .1 B.3 C.﹣4 D.﹣8 21. (2012?湖北)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 X 轴所围图形的面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

22. (2011?江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′ (x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪ (2,+∞) C.(2,+∞)
2

2

) D.(﹣1,0)
x

23. (2011?浙江)设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点,则下列图象 不可能为 y=f(x)的图象是( ) A. B. C. D.

2

二.解答题(共 7 小题) 24. (2014?广西)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0) . (Ⅰ )讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.
3 2

25. (2014?重庆)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于 直线 y= x. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间与极值.

26. (2014?重庆)已知函数 f(x)=ae ﹣be 点(0,f(0) )处的切线的斜率为 4﹣c. (Ⅰ )确定 a,b 的值; (Ⅱ )若 c=3,判断 f(x)的单调性; (Ⅲ )若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.

2x

﹣2x

﹣cx(a,b,c∈R)的导函数 f′ (x)为偶函数,且曲线 y=f(x)在

27. (2014?北京)已知函数 f(x)=2x ﹣3x. (Ⅰ )求 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ )若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (Ⅲ )问过点 A(﹣1,2) ,B(2,10) ,C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需写出结论)

3

28. (2014?山东)设函数 f(x)=alnx+

,其中 a 为常数.

(Ⅰ )若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )讨论函数 f(x)的单调性.
3

29. (2014?福建)已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜 率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; 2 x (2)证明:当 x>0 时,x <e ; x (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce .

x

30. (2013?重庆)设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于 点(0,6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

2

导数模拟及高考参考答案与试题解析
一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?重庆一模) 函数 ( f x) =x +bx +cx+d, 图象如图, 则函数
3 2

的单调递减区间为 (



A.

[ ,+∞)

B.[3,+∞)

C.[﹣2,3]

D.(﹣∞,﹣2)

考点: 利用导数研究函数的单调性;复合函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,由图象得到 f′ (﹣2)=f(3)=0,联立求得 b,c 的值,代入 g(x)=
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, 的单

由 g(x)>0 求得 x 的范围,再由导数求出函数 g(x)的减区间,则函数 调递减区间可求. 解答: 解:∵ f(x)=x +bx +cx+d, 2 ∴ f′ (x)=3x +2bx+c, 由图可知 f′ (﹣2)=f(3)=0.
3 2

4



,解得



令 g(x)=
2



则 g(x)=x ﹣x﹣6,g′ (x)=2x﹣1. 2 由 g(x)=x ﹣x﹣6>0,解得 x<﹣2 或 x>3. 当 x< 时,g′ (x)<0, ∴ g(x)=x ﹣x﹣6 在(﹣∞,﹣2)上为减函数. ∴ 函数 的单调递减区间为(﹣∞,﹣2) .
2

故选:D. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,训练了简单的复合函数单调性的求法,关键是注意函数的定义域, 是中档题.

2. (2014?郑州一模)已知曲线 A .3 B.2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C .1 D.



考点: 导数的几何意义. 分析: 根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间. 解答: 解:设切点的横坐标为(x0,y0)
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∵ 曲线

的一条切线的斜率为 ,

∴ y′ =



= ,解得 x0=3 或 x0=﹣2(舍去,不符合题意) ,即切点的横坐标为 3

故选 A. 点评: 考查导数的几何意义,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比如,该题的定义域 为{x>0}. 3. (2014?郑州模拟)曲线 A. B. 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( C. D. )

考点: 导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: (1)首先利用导数的几何意义,求出曲线在 P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程; (2)利用切 线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公式求出面积. 解答: 3 解:若 y= x +x,则 y′ |x=1=2,即曲线 在点 处的切线方程是 ,它与
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坐标轴的交点是( ,0) , (0,﹣ ) ,围成的三角形面积为 ,故选 A. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′ (x0) (x﹣x0)

5

4. (2014?西藏一模)已知曲线 A .1 B.2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C .3

) D.4

考点: 导数的几何意义. 分析: 利用导数的几何意义,列出关于斜率的等式,进而得到切点横坐标. 解答: 解:已知曲线 的一条切线的斜率为 ,∵ = ,
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∴ x=1,则切点的横坐标为 1, 故选 A. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率.应熟练 掌握斜率与导数的关系. 5. (2014?广西)曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率等于( A.2e B.e C .2 考点: 专题: 分析: 解答:
x﹣1

) D.1

导数的几何意义. 导数的概念及应用. 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.
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解:函数的导数为 f′ (x)=e 当 x=1 时,f′ (1)=2,
x﹣1

x﹣1

+xe

x﹣1

=(1+x)e

x﹣1



即曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率 k=f′ (1)=2, 故选:C. 点评: 本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础. 6. (2014?陕西)定积分 A.e+2 考点: 专题: 分析: 解答: (2x+e )dx 的值为( B.e+1 定积分. 导数的概念及应用. 根据微积分基本定理计算即可
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x

) C .e D.e﹣1

解:

(2x+e )dx=(x +e )

x

2

x

=(1+e)﹣(0+e )=e.

0

故选:C. 点评: 本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数. 7. (2014?山东)直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A .2 B.4 C .2
3

) D.4

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先根据题意画出区域,然后然后依据图形得到积分上限为 2,积分下限为 0 的积分,从而利用定积分表示出 曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 2,积分下限为 0, 3 2 3 曲线 y=x 与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫0 (4x﹣x )dx,
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而∫0 (4x﹣x )dx=(2x ﹣ x )|0 =8﹣4=4 ∴ 曲边梯形的面积是 4,
6

2

3

2

4

2

故选:D.

点评: 考查学生会求出原函数的能力,以及会利用定积分求图形面积的能力,同时考查了数形结合的思想,属于 基础题. 8. (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)列出方程组求出 a,b 代入 0<f(﹣1)≤3 求出 c 的范围. 解答: 解:由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得 ,
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3

2



解得
3


2

f(x)=x +6x +11x+c, 由 0<f(﹣1)≤3,得 0<﹣1+6﹣11+c≤3, 即 6<c≤9, 故选 C. 点评: 本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题. 9. (2014?包头一模)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.﹣2 或 2 B.﹣9 或 3 C.﹣1 或 1
3

) D.﹣3 或 1

考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 3 分析: 求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值. 解答: 解:求导函数可得 y′ =3(x+1) (x﹣1) 令 y′ >0,可得 x>1 或 x<﹣1;令 y′ <0,可得﹣1<x<1; ∴ 函数在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调增, (﹣1,1)上单调减 ∴ 函数在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值 3 ∵ 函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 ∴ 极大值等于 0 或极小值等于 0 ∴ 1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0 ∴ c=﹣2 或 2 故选 A. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于 0 或极小值等于 0.
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7

10. (2013?聊城一模)设曲线 A .2 B.

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( C. D.﹣2



考点: 导数的几何意义. 分析: (1)求出已知函数 y 在点(3,2)处的斜率;
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(2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 解答: 解:∵ y= ∴ y′ =﹣

∵ x=3∴ y′ =﹣ 即切线斜率为﹣ ∵ 切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴ 直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a. ∴ ﹣ ?(﹣a)=﹣1 得 a=﹣2 故选 D. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′ (x0) (x﹣x0) 11. (2013?北京)直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( A. B.2 C. D.
2



考点: 定积分. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定直线的方程,再求出积分区间,确定被积函数,由此利用定积分可求直线 l 与抛物线围成的封闭图形 面积. 2 解答: 解:抛物线 x =4y 的焦点坐标为(0,1) , 2 ∵ 直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直, ∴ 直线 l 的方程为 y=1,
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,可得交点的横坐标分别为﹣2,2.

∴ 直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 故选 C.

=( x﹣

)|

= .

8

点评: 本题考查封闭图形的面积,考查直线方程,解题的关键是确定直线的方程,求出积分区间,确定被积函数. 12. (2013?福建)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ﹣x0 是 f(﹣x)的极小值点 C. ﹣x0 是﹣f(x)的极小值点 D.﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点 )

考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,故不正确; B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极大值点; C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小值点; D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点. 解答: 解:对于 A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,因此不能满足在整个定义域上值最 大; 对于 B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极大值点; 对于 C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小值点; 对于 D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点. 故选 D. 点评: 本题考查函数的极值,考查函数图象的对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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13. (2013?辽宁)设函数 f(x)满足 x f′ (x)+2xf(x)= A.有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值

2

,f(2)=

,则 x>0 时,f(x) (



B. 有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

考点: 函数在某点取得极值的条件;导数的运算. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: 先利用导数的运算法则,确定 f(x)的解析式,再构造新函数,确定函数的单调性,即可求得结论. 解答: 解:∵ 函数 f(x)满足 ,
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∴ ∴ x>0 时, dx





令 g(x)=

,则

令 g′ (x)=0,则 x=2,∴ x∈(0,2)时,g′ (x)<0,函数单调递减,x∈(2,+∞)时,g′ (x)>0,函 数单调递增 ∴ g(x)在 x=2 时取得最小值 ∵ f(2)= ,∴ g(2)= =0
9

∴ g(x)≥g(2)=0



≥0

即 x>0 时,f(x)单调递增 ∴ f(x)既无极大值也无极小值 故选 D. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查学生分析解决问题的能力,难度较大. 14. (2013?浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e ﹣1) (x﹣1) (k=1,2) ,则( ) A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 B. 当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 C. 当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: 通过对函数 f(x)求导,根据选项知函数在 x=1 处有极值,验证 f'(1)=0,再验证 f(x)在 x=1 处取得极 小值还是极大值即可得结论. 解答: 解:当 k=1 时,函数 f(x)=(ex﹣1) (x﹣1) .
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x

k

求导函数可得 f'(x)=e (x﹣1)+(e ﹣1)=(xe ﹣1) , 2 f'(1)=e﹣1≠0,f'(2)=2e ﹣1≠0, 则 f(x)在在 x=1 处与在 x=2 处均取不到极值, 当 k=2 时,函数 f(x)=(e ﹣1) (x﹣1) . x 2 x x x 求导函数可得 f'(x)=e (x﹣1) +2(e ﹣1) (x﹣1)=(x﹣1) (xe +e ﹣2) , ∴ 当 x=1,f'(x)=0,且当 x>1 时,f'(x)>0,当 x0<x<1 时(x0 为极大值点) ,f'(x)<0,故函数 f(x) 在(1,+∞)上是增函数; 在(x0,1)上是减函数,从而函数 f(x)在 x=1 取得极小值.对照选项. 故选 C.
x 2

x

x

x

点评: 本题考查了函数的极值问题,考查学生的计算能力,正确理解极值是关键.
2

15. (2012?辽宁)函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为( A.(﹣1,1] B.(0,1]

) C.[1,+∞) D.(0,+∞)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题.

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10

分析: 由 y= x ﹣lnx 得 y′ = 解答:
2 2

,由 y′ ≤0 即可求得函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间.

2

解:∵ y= x ﹣lnx 的定义域为(0,+∞) ,

y′ =



∴ 由 y′ ≤0 得:0<x≤1, ∴ 函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为(0,1]. 故选 B. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,注重标根法的考查与应用,属于基础题. 16. (2012?重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′ (x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值,则函数 y=xf′ (x)的图象可能是( ) A. B. C. D.
2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 证明题. 分析: 利用函数极小值的意义,可知函数 f(x)在 x=﹣2 左侧附近为减函数,在 x=﹣2 右侧附近为增函数,从而 可判断当 x<0 时,函数 y=xf′ (x)的函数值的正负,从而做出正确选择 解答: 解:∵ 函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值,∴ f′ (﹣2)=0, 且函数 f(x)在 x=﹣2 左侧附近为减函数,在 x=﹣2 右侧附近为增函数, 即当 x<﹣2 时,f′ (x)<0,当 x>﹣2 时,f′ (x)>0, 从而当 x<﹣2 时,y=xf′ (x)>0,当﹣2<x<0 时,y=xf′ (x)<0, 对照选项可知只有 C 符合题意 故选 C 点评: 本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系,函数极值的意义及其与导数的关系,筛选法解图象选择题, 属基础题
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17. (2012?陕西)设函数 f(x)= +lnx 则 A. x= 为 f(x)的极大值点



) B. x= 为 f(x)的极小值点

C. x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出其导函数,并找到导函数大于 0 和小于 0 对应的区间,即可求出结论. 解答: 解:∵ f(x)= +lnx;
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∴ f′ (x)=﹣

+ =



11

x>2?f′ (x)>0; 0<x<2?f′ (x)<0. ∴ x=2 为 f(x)的极小值点. 故选:D. 点评: 本题主要考察利用导数研究函数的极值. 解决这类问题的关键在于先求出其导函数, 并求出其导函数大于 0 和小于 0 对应的区间. 18. (2012?陕西)设函数 f(x)=xe ,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点
x

) B. x=1 为 f(x)的极小值点 D.x=﹣1 为 f(x)的极小值点

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. x 分析: 由题意,可先求出 f′ (x)=(x+1)e ,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x=﹣1 为 f(x)的极小值 点 x 解答: 解:由于 f(x)=xex,可得 f′ (x)=(x+1)e ,
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令 f′ (x)=(x+1)e =0 可得 x=﹣1 x 令 f′ (x)=(x+1)e >0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 x 令 f′ (x)=(x+1)e <0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选 D 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤,本题是基础题, 19. (2012?重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′ (x) ,且函数 y=(1﹣x)f′ (x)的图象如图所示,则 下列结论中一定成立的是( )

x

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2) 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) D.函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2)

函数在某点取得极值的条件;函数的图象. 计算题. 利用函数的图象,判断导函数值为 0 时,左右两侧的导数的符号,即可判断极值. 解:由函数的图象可知,f′ (﹣2)=0,f′ (2)=0,并且当 x<﹣2 时,f′ (x)>0,当﹣2<x<1,f′ (x) <0,函数 f(x)有极大值 f(﹣2) . 又当 1<x<2 时,f′ (x)<0,当 x>2 时,f′ (x)>0,故函数 f(x)有极小值 f(2) . 故选 D. 点评: 本题考查函数与导数的应用,考查分析问题解决问题的能力,函数的图象的应用.
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20. (2012?辽宁)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2,过 P,Q 分别作抛物线的 切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ) A .1 B.3 C.﹣4 D.﹣8

2

12

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先可求出 P(4,8) ,Q(﹣2,2)然后根据导数的几何意义求出切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP,KAQ, 再根据点斜式写出切线方程然后联立方程即可求出点 A 的纵坐标. 2 解答: 解:∵ P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,﹣2 ∴ P(4,8) ,Q(﹣2,2)
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∵ x =2y ∴ y= ∴ y′ =x ∴ 切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP=4,KAQ=﹣2 ∴ 切线方程 AP 为 y﹣8=4(x﹣4)即 y=4x﹣8 切线方程 AQ 的为 y﹣2=﹣2(x+2)即 y=﹣2x﹣2 令

2

∴ ∴ 点 A 的纵坐标为﹣4 故选 C 点评: 本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程,属常考题,较难.解题的关键是利用导数的几何意义 求出切线方程 AP,AQ 的斜率 KAP,KAQ! 21. (2012?湖北)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 X 轴所围图形的面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分在求面积中的应用. 计算题. 先根据函数的图象求出函数的解析式,然后利用定积分表示所求面积,最后根据定积分运算法则求出所求. 解:根据函数的图象可知二次函数 y=f(x)图象过点(﹣1,0) , (1,0) , (0,1)
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从而可知二次函数 y=f(x)=﹣x +1 ∴ 它与 X 轴所围图形的面积为 =( ) =(﹣ +1)﹣( ﹣1)=

2

故选 B. 点评: 本题主要考查了定积分在求面积中的应用,解题的关键是求出被积函数,属于基础题. 22. (2011?江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′ (x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪ (2,+∞) C.(2,+∞)
2

) D.(﹣1,0)

考点: 导数的加法与减法法则;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先求出函数的定义域及函数的导数,再解出不等式 f′ (x)>0 的解集与函数的定义域取交集,
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13

即可选出正确选项 解答: 解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′ (x)=2x﹣2﹣ 令 2x﹣2﹣ >0,整理得 x ﹣x﹣2>0,解得 x>2 或 x<﹣1 结合函数的定义域知,f′ (x)>0 的解集为(2,+∞) , 故选 C 点评: 本题考查导数的加法与减法法则,一元二次不等式的解法,计算题,基本题型,属于基础题. 23. (2011?浙江)设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点,则下列图象 不可能为 y=f(x)的图象是( ) A. B. C. D.
2 x 2

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象与图象变化. 专题: 计算题;压轴题. x x 分析: 先求出函数 f(x)e 的导函数,利用 x=﹣1 为函数 f(x)e 的一个极值点可得 a,b,c 之间的关系,再代 2 入函数 f(x)=ax +bx+c,对答案分别代入验证,看哪个答案不成立即可. 解答: 解:由 y=f(x)ex=ex(ax2+bx+c)?y'=f'(x)ex+exf(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b+c], x 2 由 x=﹣1 为函数 f(x)e 的一个极值点可得,﹣1 是方程 ax +(b+2a)x+b+c=0 的一个根, 所以有 a﹣(b+2a)+b+c=0?c=a.
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法一:所以函数 f(x)=ax +bx+a,对称轴为 x=﹣

2

,且 f(﹣1)=2a﹣b,f(0)=a.

对于 A,由图得 a>0,f(0)>0,f(﹣1)=0 符合要求, 对于 B,由图得 a<0,f(0)<0,f(﹣1)=0 不矛盾, 对于 C,由图得 a<0,f(0)<0,x=﹣ 对于 D,由图得 a>0,f(0)>0,x=﹣ 对. 法二:所以函数 f(x)=ax +bx+a,由此得函数相应方程的两根之积为 1,对照四个选项发现,D 不成立 故选 D. 点评: 本题考查极值点与导函数之间的关系.一般在知道一个函数的极值点时,直接把极值点代入导数令其等 0 即可.可导函数的极值点一定是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点. 二.解答题(共 7 小题) 3 2 24. (2014?广西)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0) . (Ⅰ )讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求出函数的导数,通过导数为 0,利用二次函数的根,通过 a 的范围讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 推出 f′ (1)≥0 且 f′ (2)≥0,即可求 a 的取值范围. 3 2 2 解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x)=ax +3x +3x,∴ f′ (x)=3ax +6x+3,
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>0?b>0?f(﹣1)<0 不矛盾, <﹣1?b>2a?f(﹣1)<0 于原图中 f(﹣1)>0 矛盾,D 不

2

14

令 f′ (x)=0,即 3ax +6x+3=0,则△ =36(1﹣a) ① 若 a>1 时,则△ <0,f′ (x)>0,∴ f(x)在 R 上是增函数; ② 因为 a≠0,∴ 当 a≤1,△ >0,f′ (x)=0 方程有两个根,x1= ,x2= ,

2

当 0<a<1 时,则当 x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′ (x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞) 是增函数;在(x2,x1)是减函数; 当 a<0 时,则当 x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞) ,f′ (x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函 数;在(x1,x2)是增函数; 2 (Ⅱ )当 a>0,x>0 时,f′ (x)=3ax +6x+3>0 故 a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 当且仅当:f′ (1)≥0 且 f′ (2)≥0,解得﹣ a 的取值范围[ )∪ (0,+∞) . ,

点评: 本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论 思想的应用. 25. (2014?重庆)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于 直线 y= x. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 y= x 可得 f′ (1)=﹣2,可求出 a 的值;
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(Ⅱ )根据(I)可得函数的解析式和导函数的解析式,分析导函数的符号,进而可得函数 f(x)的单调区 间与极值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ f(x)= + ﹣lnx﹣ , ∴ f′ (x)= ﹣ ﹣ ,

∵ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 y= x. ∴ f′ (1)= ﹣a﹣1=﹣2, 解得:a= ,

(Ⅱ )由(Ⅰ )知:f(x)= +

﹣lnx﹣ ,f′ (x)= ﹣

﹣ =

(x>0) ,

令 f′ (x)=0, 解得 x=5,或 x=﹣1(舍) , ∵ 当 x∈(0,5)时,f′ (x)<0,当 x∈(5,+∞)时,f′ (x)>0, 故函数 f(x)的单调递增区间为(5,+∞) ; 单调递减区间为(0,5) ; 当 x=5 时,函数取极小值﹣ln5.
15

点评: 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数 的极值,是导数的综合应用,难度中档. 26. (2014?重庆)已知函数 f(x)=ae ﹣be 点(0,f(0) )处的切线的斜率为 4﹣c. (Ⅰ )确定 a,b 的值; (Ⅱ )若 c=3,判断 f(x)的单调性; (Ⅲ )若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.
2x
﹣2x

﹣cx(a,b,c∈R)的导函数 f′ (x)为偶函数,且曲线 y=f(x)在

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. ﹣2x 2x 分析: (Ⅰ )根据函数 f(x)=ae ﹣be ﹣cx(a,b,c∈R)的导函数 f′ (x)为偶函数,且曲线 y=f(x)在点(0, f(0) )处的切线的斜率为 4﹣c,构造关于 a,b 的方程,可得 a,b 的值; (Ⅱ )将 c=3 代入,利用基本不等式可得 f′ (x)≥0 恒成立,进而可得 f(x)在定义域 R 为均增函数; (Ⅲ )结合基本不等式,分 c≤4 时和 c>4 时两种情况讨论 f(x)极值的存在性,最后综合讨论结果,可得 答案. ﹣2x 2x 解答: 解: (Ⅰ )∵ 函数 f(x)=ae ﹣be ﹣cx(a,b,c∈R)
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∴ f′ (x)=2ae +2be ﹣c, ﹣2x 2x 由 f′ (x)为偶函数,可得 2(a﹣b) (e ﹣e )=0, 即 a=b, 又∵ 曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线的斜率为 4﹣c, 即 f′ (0)=2a+2b﹣c=4﹣c, 故 a=b=1; (Ⅱ )当 c=3 时,f′ (x)=2e +2e
2x 2x
﹣2x

2x

﹣2x

﹣3≥2

=1>0 恒成立,

故 f(x)在定义域 R 为均增函数; (Ⅲ )由(Ⅰ )得 f′ (x)=2e +2e 而 2e +2e
2x
﹣2x ﹣2x

﹣c,

≥2

=4,当且仅当 x=0 时取等号,

当 c≤4 时,f′ (x)≥0 恒成立,故 f(x)无极值; 当 c>4 时,令 t=e ,方程 2t+ ﹣c=0 的两根均为正, 即 f′ (x)=0 有两个根 x1,x2, 当 x∈(x1,x2)时,f′ (x)<0,当 x∈(﹣∞x1)∪ (x2,+∞)时,f′ (x)>0, 故当 x=x1,或 x=x2 时,f(x)有极值, 综上,若 f(x)有极值,c 的取值范围为(4,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用, 难度中档. 27. (2014?北京)已知函数 f(x)=2x ﹣3x. (Ⅰ )求 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ )若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (Ⅲ )问过点 A(﹣1,2) ,B(2,10) ,C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需写出结论) 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )利用导数求得极值点比较 f(﹣2) ,f(﹣ ) ,f( ) ,f(1)的大小即得结论;
3 2x

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16

(Ⅱ )利用导数的几何意义得出切线方程 4

﹣6

+t+3=0,设 g(x)=4x ﹣6x +t+3,则“过点 P(1,t)

3

2

存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”, 等价于“g(x)有 3 个不同的零点”.利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况,得出结论; (Ⅲ )利用(Ⅱ )的结论写出即可.
3 2 解答: 解: (Ⅰ )由 f(x)=2x ﹣3x 得 f′ (x)=6x ﹣3,

令 f′ (x)=0 得,x=﹣ ∵ f(﹣2)=﹣10,f(﹣

或 x= )=

, ,f( )=﹣ ,f(1)=﹣1,

∴ f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值为 . (Ⅱ )设过点 p(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0) , 则 y0=2 ﹣3x0,且切线斜率为 k=6 ﹣3 ,

∴ 切线方程为 y﹣y0=(6 ∴ t﹣y0=(6

﹣3) (x﹣x0) , ﹣6 +t+3=0,

﹣3) (1﹣x0) ,即 4
3 2

设 g(x)=4x ﹣6x +t+3,则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”,等价于“g(x)有 3 个不 同的零点”. 2 ∵ g′ (x)=12x ﹣12x=12x(x﹣1) , ∴ g(x)与 g′ (x)变化情况如下: x 0 1 (﹣∞,0) (0,1) (1,+∞) + 0 0 + g′ (x) ﹣ ↗ ↘ ↗ t+3 t+1 g(x) ∴ g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)=t+3≤0,即 t≤﹣3 时,g(x)在区间(﹣∞,1]和(1,+∞)上分别至多有一个零点,故 g(x)至 多有 2 个零点. 当 g(1)=t+1≥0,即 t≥﹣1 时,g(x)在区间(﹣∞,0]和(0,+∞)上分别至多有一个零点,故 g(x)至 多有 2 个零点. 当 g(0)>0 且 g(1)<0,即﹣3<t<﹣1 时,∵ g(﹣1)=t﹣7<0,g(2)=t+11>0, ∴ g(x)分别在区间[﹣1,0) ,[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零点,由于 g(x)在区间(﹣∞,0)和[1,+∞) 上单调, 故 g(x)分别在区间(﹣∞,0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点. 综上所述,当过点过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(﹣3,﹣1) . (Ⅲ )过点 A(﹣1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切. 点评: 本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识,考查转化划归思想及分类讨论思想 的运用能力和运算能力,属难题.

28. (2014?山东)设函数 f(x)=alnx+

,其中 a 为常数.

(Ⅰ )若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )讨论函数 f(x)的单调性. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )根据导数的几何意义,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣f(1)=f′ (1) (x﹣1) ,代入计算即
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可. (Ⅱ )先对其进行求导,即 ,考虑函数 g(x)=ax +(2a+2)x+a,分成 a≥0,﹣
2

<a<0,a≤﹣ 三种情况分别讨论即可. 解答: 解: ,

(Ⅰ )当 a=0 时,

,f′ (1)= ,f(1)=0

∴ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y= (x﹣1) . (Ⅱ ) (1)当 a≥0 时,由 x>0 知 f′ (x)>0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a<0 时,令 f′ (x)>0,则 >0,整理得,ax +(2a+2)x+a>0,
2

令 f′ (x)<0,则
2

<0,整理得,ax +(2a+2)x+a<0.

2

以下考虑函数 g(x)=ax +(2a+2)x+a,g(0)=a<0. ① 当 a≤﹣ 时,△ ≤0,∴ g(x)<0 恒成立. (x>0) ② 当﹣ <a<0 时,此时,对称轴方程 ∴ g(x)=0 的两根均大于零,计算得 当 当 0<x< 综合(1) (2)可知, 当 a≤﹣ 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当﹣ <a<0 时,f(x)在( ) , ( , ,+∞)上单调递减; <x< 或 x> 时,g(x)>0; 时,g(x)<0. >0,

,对称轴方程



)上单调递增,在(0,

当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 点评: 导数是高考中极易考察到的知识模块,导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点,特别是单调 性的处理中,分类讨论是非常关键和必要的,分类讨论也是高考中经常考查的思想方法. 29. (2014?福建)已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜 率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; 2 x (2)证明:当 x>0 时,x <e ; x (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce .
x

18

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用导数的几何意义求得 a,再利用导数法求得函数的极值;
x 2 x 2 x

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(2)构造函数 g(x)=e ﹣x ,利用导数求得函数的最小值,即可得出结论; (3)利用(2)的结论,令 x0= ,则 e >x > x,即 x<ce .即得结论成立. 解答: 解: (1)由 f(x)=e ﹣ax 得 f′ (x)=e ﹣a. 又 f′ (0)=1﹣a=﹣1,∴ a=2, ∴ f(x)=e ﹣2x,f′ (x)=e ﹣2. 由 f′ (x)=0 得 x=ln2, 当 x<ln2 时,f′ (x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln2 时,f′ (x)>0,f(x)单调递增; ∴ 当 x=ln2 时,f(x)有极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4. f(x)无极大值. (2)令 g(x)=e ﹣x ,则 g′ (x)=e ﹣2x, ln2 由(1)得,g′ (x)=f(x)≥f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4>0,即 g′ (x)>0, 2 x ∴ 当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e ; (3)对任意给定的正数 c,总存在 x0= >0.当 x∈(x0,+∞)时, 由(2)得 e >x > x,即 x<ce . ∴ 对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce . 点评: 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识,考查运 算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、 分类与整合思想、特殊与一般思想.属难题. 30. (2013?重庆)设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于 点(0,6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先由所给函数的表达式,求导数 fˊ (x) ,再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线 y=f(x) 在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于点(0,6)列出方程求 a 的值即可; (2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内 的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数 解析式求得函数的极值. 解答: 2 解: (1)因 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,故 f′ (x)=2a(x﹣5)+ , (x>0) ,
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x

x

x

x

ln2

x

2

x

x

2

x

x

2

令 x=1,得 f(1)=16a,f′ (1)=6﹣8a, ∴ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣16a=(6﹣8a) (x﹣1) , 由切线与 y 轴相交于点(0,6) . ∴ 6﹣16a=8a﹣6, ∴ a= . (2)由(I)得 f(x)= (x﹣5) +6lnx, (x>0) ,
2

19

f′ (x)=(x﹣5)+ =

,令 f′ (x)=0,得 x=2 或 x=3,

当 0<x<2 或 x>3 时,f′ (x)>0,故 f(x)在(0,2) , (3,+∞)上为增函数, 当 2<x<3 时,f′ (x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数, 故 f(x)在 x=2 时取得极大值 f(2)= +6ln2,在 x=3 时取得极小值 f(3)=2+6ln3. 点评: 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意 义等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.属于中档题.

20


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