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2012高二下学期期中文科数学测试题(选修1-2、选修4-4综合测试题)


依兰县高级中学 2011-2012 学年度下学期期中考试
姓名:

高二数学试题(文科)
考试时间 120 分钟,满分 150 分

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(共 4 道题,每题 5 分,共 20 分) 2010 2011 2012 2013 13.计算:12 ? |3+4i|-10 ? (i +i +

i +i )=______ 14.曲线 6? 2 sin 2? ? 7 ? 2 cos2? ? 8 关于直线 ? ? 极坐标方程是

. (其中 i 为虚数单位)

?

4
.

对称的曲线的

一、选择题(共 12 道题,每题 5 分,共 60 分) 5-i 1.复数设 i 为虚数单位,则 =( ) 1+i A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i 2.已知 x 与 y 之间的一组数据:

15.圆锥曲线 ?

? x ? 3 sec? ??为参数? 的离心率是 y ? 4 tan ? ?

.

班级:

D.2+3i 3 7 )

? r , 若 将 r 看 作 (0, + ∞) 上 的 变 量 , 则 有 16. 半 径 为 r 的 圆 的 面 积 S (r ) ? ? r 2 , 周 长 C ( r ) ? 2
1 : (? r )? ? 2? r ,○ 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 ○
2

x y
座位号:

0 1

1 3
? ? ?

2 5

则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? b x ? a 必过点( A .(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0)

对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 1 的式子: (已知球的体积公式为: )

D.(1,2)

3.实数系的结构图为右图所示其中 1、2、3 三个方格中的内容分别为( A. 有理数、整数、零 考场: B. 有理数、零、整数

V球 ? 4 ? R3 ) 3

D. 整数、有理数、零 4.用反证法证明命题“ 若a ? b ? 0, 则a、b全为0(a、b ? R)”,其反设正确的是(
2 2

姓名:

C. 零、有理数、整数

三、 解答题(共 6 道题,共 70 分) 18.(本题满分 12 分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究, 他们分别 记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x(℃) 12 月 1日 10 23 12 月 2日 11 25 12 月 3日 13 30 12 月 4日 12 26 12 月 5日 8 16

) 发芽 y(颗) 班级:

A. a、b至少有一个为0 C. a、b全不为0
2

B. a、b至少有一个不为0 D. a、b中只有一个为0

该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程, 剩下的 2 组数据用于回归方程检验.

5.若复数 z ? (a ? 2a ? 3) ? (a ? 3)i 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是( A. ? 3 B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 D. 1 )



b?
座位号: 回归直线方程参考公式:

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

6.设有一个回归方程为 y=2-3x,变量 x 增加 1 个单位时,则 y 平均( A.增加 2 个单位 B.减少 2 个单位 C.增加 3 个单位

?x
i ?1

2

i

,

?x ? ? y ?b a
? ? ?

D.减少 3 个单位

(1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ;

12.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k], 即 [k]={5n+k 丨 n∈Z},k=0,1,2,3,4。 给出如下四个结论: ① 2013∈[3] ②-3∈[2]; ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]” 。 其中正确结论的个数是( )

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则 认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠? (3)请预测温差为 14℃的发芽数。 19. (本题满分 12 分)

考场:

1

1 (1)已知:实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,求证:a、b、c 中至少有一个数不大于 3 .
(2)已知:实数 a、b、c 满足 a+b+c=2013,求证:a、b、c 中至少有一个数不小于 671. (3)根据(1) (2)请猜想一般性的结论并证明。

曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? ? ? y ? sin? .

(Ⅰ)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴

π 为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, 2 ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;
(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最值. (Ⅲ)请问是否存在直线 m , m∥l 且 m 与曲线 C 的交点 A、B 满足 S ?AOB ? 若存在请求出满足题意的所有直线方程,若不存在请说明理由。

3 ; 4

20. (本题满分 10 分)

? x ? 4cos ? ? y ? 4sin ? ( ? 为参数) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ,

依兰县高级中学 2011-2012 学年度下学期期中考试
高二数学(文科)参考答案
一、 选择题(共 12 道题,每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 D 7 C 8 A 9 B 10 C 11 A 12 D

??
直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角

?
3。

(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。

21. (本题满分 12 分) 二、 填空题(共 4 道题,每题 5 分,共 20 分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简单的四个图 13. 60 14. 6? 2 cos2? ? 7? 2sin 2? ? 8 案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方 形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

15.

5 3

? =4? R 16. (3 ? R )
3

4

2

三、解答题(共 6 道题,第 20 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.(1) 2 2 (y ? 1 ) ? 5 ????2 分 1(x ? 2) ? ○ 表示的曲线为圆。
(Ⅰ)求出
f(5)

????????????3 分 ????????????5 分 ????????????6 分 ????????????8 分 ???????????9 分

2 x+y=2 ○


表示的曲线为直线 (2)○ 3
y2 x 2 ? ?1 9 16

(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n ? 1) 与 f(n) 的关系式, (Ⅲ)根据你得到的关系式求 f(n) 的表达式. 22.(本题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,

表示的曲线为双曲线 4 y ? ?x 2 - 6 ○

( ( - 1 ? x ? 1) ?????????11 分

表示的曲线为抛物线的一部分。????????12 分
2

18. (1)由数据求得, x =12, y =27,
^ ^ 5 ^ 由公式求得.b= ,a = y -b x =-3. 2

?????? ???????

2分 4分 6分

5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为^ y=2x-3.

1 ? ? ? x ? 2? t x ? 2 ? t cos ? ? 2 ? ? 3 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数)?????? 5 分 ? y ? 2 ? t sin ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 3 ? ? 2

???????

5 (2)当 x=10 时,^ y=2×10-3=22,|22-23|<2; 5 当 x=8 时,^ y=2×8-3=17,|17-16|<2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.??????? 10 分 5 (3)当 x=14 时,有^ y=2x-3=35-3=32

1 ? x ? 2? t ? 2 ? (Ⅱ)把直线的方程 ? 代入 x2 ? y 2 ? 16 , ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
1 3 2 得 (2 ? t ) 2 ? (2 ? t ) ? 16 , t 2 ? 2( 3 ? 1)t ? 8 ? 0 , 2 2

?????? 6 分

???? 8 分

所以 t1t2 ? ?8 ,即 PA ? PB =8 .

?????? 10 分

21.解: (Ⅰ)? f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,????????? 2 分 所以当温差为 14℃的发芽数约为 32 颗。 ?????? 12 分 ??????????? 4 分 ? f(5)=25+4×4=41. (Ⅱ)? f(2)-f(1)=4=4×1. 1 19. 解析: (1)假设 a、b、c 都大于 ,则 a+b+c>1,这与已知 a+b+c=1 矛盾. f(3)-f(2)=8=4×2, 3 f(4)-f(3)=12=4×3, 1 故 a、b、c 中至少有一个不大于 。????????? 3 分 f(5)-f(4)=16=4×4, ????????? 6 分 3 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n.???????????????????? 8 (2)假设 a、b、c 都小于 671,则 a+b+c<2013,这与已知 a+b+c=2013 矛盾. 分 故 a、b、c 中至少有一个不小于 671。 ???????? 6 分 ? f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), d (3)猜想:实数 a、b、c 满足 a+b+c=d,则 a、b、c 中至少有一个数不大于 且 f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ??????????? 10 分 3 ? f(n)-f(1)=4[1+2+?+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n, d 2 至少有一个不小于 . ???? 9 分 ???????????? 12 分 ? f(n)=2n -2n+1 3 22.本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识, d 证明: 一方面:假设 a、b、c 都大于 ,则 a+b+c>d,这与已知 a+b+c=d 矛盾. 考查运算求解能力,考查化归与转化思想。 3 故 a、b、c 中至少有一个不大于
d 。 3
P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 解: (I)把极坐标系下的点 。

?

d 另一方面:假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<d,这与已知 a+b+c=d 矛盾. 3 d 故 a、b、c 中至少有一个不小于 。 ??????? 3 分 即猜想的结论成立. 20.
2 2 (Ⅰ)圆的标准方程为 x ? y ? 16 .

??2 分

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 12 所以点 P 在直线 l 上. ?????????4 分 ??5 分

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

3

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

?6 分

?
6

由此得,当

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.



时,d 取得最大值,且最大值为 3 2.

??8 分 ??9 分
2

(Ⅲ)设 l 平行线 m 方程:x-y+n = 0

3n 椭圆与直线方程联立再 ,由弦长公式得 AB ? 2 3 4
设 O 到直线 m 的距离为 d, 则d ? 10 分

n 2

????????

S ?AOB

3 1 1 ? ? AB ? d ? 4 2 2

3n 2 34

2

?

n 2

n ? ? 3或n ? ?1经验证均满足题意
所以满足题意直线 m 有 4 条, 方程为:x - y ? 12 分 ? 3?0 ,x - y ? 1 ? 0 ,

4


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