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广东省六校联盟2015届高三第二次联考数学(文)试题


启用前:绝密

2015 届广东六校联盟第二次联考试题

数学(文科)
(满分 150 分) 考试时间:120 分钟

第Ⅰ卷选择题(满分 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的 1. 等差数列 ?an ?

的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S4= A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

2. 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 A.

y ? x3

B. y ?| x ? 1|

C. y ? ? x2

D. y ?| x | ?1

3.已知向量 a ? (1, k ), b ? (2,2), 且a ? b 与a 共线,那么 k 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

?

?

? ?

?

?21? x , x ? 1 4. 设函数 f ( x) ? ? ,则 f ? f (4)? = ?1 ? log2 x, x ? 1
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

5. 函数 y ? 2sin(2 x ? A. C.

?
2

)是
B. D. 周期为 ? 的偶函数 周期为 2? 的偶函数

周期为 ? 的奇函数 周期为 2? 的奇函数

1 , 则 cos 2? 的值为 2 1 3 A. ? B. ? C. 5 5 ? ? ? ? ? 7. 设向量 a , b 均为单位向量,且 | a ? b |? 1 ,则
6. 已知 tan ? ? A.

4 D. 5 ? ? a 与 b 夹角为
D.

3 5

? 3
1 x

B.

? 2

C.

2? 3

3? 4

8. 下列各函数中,最小值为 2 的是 A. y ? x ? C. y ? x ? B. y ? sin x ? D. y ?

1 ? , x ? (0, ) sin x 2

4 ? 4 (x >2) x-2

x2 ? 3 x2 ? 2

9.设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?

1 ,且当 x ? [?3, ?2] 时, f ( x) ? 4 x , f ( x)

则 f (113.5) = A. 10 B.

1 10

C.

? 10

D.

?

1 10

10. 已知等差数列 ? an ? 的公差 d ? 0 , 且 a1 , a , 3 3 1a 的前 n 项和,则

成等比数列, 若 a1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ?

2 S n ? 16 的最小值为 an ? 3
B. 3 C.

A.

4

2 3 ?2

D.

9 2

第Ⅱ卷非选择题(满分 100 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ?

2n ,则 a6 = _________. n +1

12. 实数 x , y 满足 ?

? y ? | x-2| ,则不等式组所表示的平面区域的面积为_________. ?1 ? y ? 3
2 1 ? , tan ? = , 则 tan (? + ) 的值为____________. 5 3 4

13.已知 tan (? +? ) =

14. 下列四种说法: ①命题“ ? x ? R ,使得 x ? 1? 3x ”的否定是“ ? x? R ,都有 x ? 1? 3x ”;
2 2

②设 p 、 q 是简单命题,若“ p ? q ”为假命题,则“ ? p ? ? q ” 为真命题; ③若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p是?q 的必要不充分条件; ④ 把 函 数 y ? sin? ? 2 x ? ?x ? R ? 的 图 像 上 所 有 的 点 向 右 平 移

? 个单位即可得到函数 8

?? ? y ? si n? ? 2 x ? ? ?x ? R ?的图像. 4? ?
其中所有正确说法的序号是 .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x | | x ? a |? 2? , B ? x | lg ( x 2 + 6 x +9) > 0 . (Ⅰ)求集合 A 和 R B ; (Ⅱ)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1

?

?

?

1 an?1 1 , ? ; bn ? 2 ? 3log 1 an , (n ? N * ) 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn 17. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? .

??

?

? ?? ? 3 sin 2 x , 1 , n ? ? 1 , 3 ? cos 2 x ? ,设函数 f ? x ? ? m ? n .

?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, 若 2 AC ? BC ? 2 ab , c ? 2 2 , f ? A ? ? 4 , 求 b . 18. (本小题满分 14 分) 制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人 打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪, 可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能 的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈 利最大? 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? = ex +

??? ? ??? ?

1 ex

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 0 都有

f ( x) ? ax ? 1,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ( a ? R ) .

1 5 时, f (sin x) ( x ? R )的最大值为 ,求实数 a 的值; 2 4 (Ⅱ)对于任意的 x ? R ,总有| f (sin x cos x) | ? 1 .试求 a 的取值范围;
(Ⅰ)当 0< a < (III)若当 n ? N* 时,记 ? ai ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,令 a ? 1 ,
i ?1 n

求证: 1 ? ?
i ?n

3n

i ? 2 成立. f (i )

2015 届高三六校第二次联考(文科)数学试题
参考答案及评分标准

第Ⅰ卷选择题(满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (C) 2. (D) 3. (A) 4. (B) 6. (D) 7. (C) 8. (C) 9.(B) 5. (B) 10. (A)

第Ⅱ卷非选择题(满分 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. a6 =

1 ; 21

12. 8;

13.

9 ; 8

14.①②③④

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (Ⅰ) | x ? a |? 2 ? ?2 ? x ? a ? 2 ? a ? 2 ? x ? 2 ? a 集合 A = {x | ?2 ? a ? x ? 2 ? a} ………………………… 3 分 集合 B = {x | x ? ?4或x ? ?2}

? lg (x 2 +6x+9)>0, ? x 2 +6x+9 ? 1 ? x 2 +6x+8 ? 0 ? x ? ?4或x ? ?2

……… 6 分

CR B ? ??4, ? 2?
(Ⅱ)由 A ? B 得 2 ? a ? ?4 或者 ?2 ? ?2 ? a 解得

………………

8分 …….10 分 ….. 11 分

a ? ?6 或

a?0

综上所述, a 的取值范围为 {a | a ? ?6 或 a ? 0 } 16.(1)? a1 ? ,

………… 12 分

1 an ?1 1 ? , 4 an 4
1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

∴数列{ an }是首项为
1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) . 4

…………………… ……………………

2分 4分 6分

∵ bn ? 3 log1 an ? 2 ,
4

∴ bn ? 3log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 . ……………………
n 4

1 4

1 (2)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) . 4 1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4

①……… 7 分

1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 2 4

②……… 8 分 ……… 9 分 ………11 分 ……… 12 分

∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) . 3 3 4

17. 解: (1)? m ?

??

?

? 3 sin 2 x , 1 , n ? ? 1 , 3 ? cos 2 x ?

?

?? ? ? f ( x) ? m ? n = 3sin 2x ? cos 2x ? 3
π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 6? ?
令 2kπ ?

…………………

1分 3分

…………………

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ,故 kπ ? ? x ? kπ ? ? k ? Z ? , ……………… 5 分 2 6 2 3 6
6分

π π? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ? , kπ ? ? ? k ? Z ? . …………………… 3 6? ?
(2)? 2 AC ? BC ?

??? ? ??? ?

2ab ,? 2ba cos C ? 2ab , cos C ?

2 . 2

? 0<C ? ? , ? C ?

?
4

.………………… 9 分

由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2sin ? 2 A ?

? ?

π? π? 1 ? ? ? 3 ? 4 ,? sin ? 2 A ? ? ? . 6? 6? 2 ?
, 2A ?

又? A 为 ?ABC 的内角,

π π 13π ? 2A ? ? 6 6 6

π 5π ? 6 6 ,

?A?

π . 3

………………… 11 分

? c ? 2 2 由正弦定理,得

b c b 2 2 ? ? ? ? ? ? b=4sin ( + ) ,…… 13 分 sin B sin C sin(? ? A ? C ) 4 3 2 2
b ? 4( 21 2 3 ? )? 2? 6. 2 2 2 2
… … 14 分

18.解:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.

? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.8, ? 由题意知 ? ,目标函数 z=x+0.5y. x ? 0 , ? ? ? y ? 0.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分 (含边界)即可行域. …………………… 作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行 于直线 l 0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z, z ? R, 7分

……………………

4分

与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距离最大,即 z 有最大值 …………………… 10 分 M 点是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的交点. 解方程组 ?

? x ? y ? 10, 得 x=4,y=6 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8,

…………………… 12 分

此时 z ? 1 ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元). ?7 ? 0 ? 当 x=4,y=6 时 z 取得最大值. 答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的前提下,使可能的盈利最大。 …………………… 14 分 19. (1)由已知得 令

f ?( x) ? ?e ? x ? e ,

……………

1分

f ?( x) ? 0得x ? ?1;令 f ?( x) ? 0得x ? ?1.

因此,函数 f (x)在 ? ??, ?1 上单调减函数,在 ?1, ?? ? 上是单调增函数, 当 x=-1 时, f ? x ? 的有极小值也是最小值, f ? x ?min ? 0 (2)令 g ( x) ? ……………

?

?

……5 分 6分

f ( x) ? ax ?1 ? e? x ? (e ? a) x ?1,

则 g ?( x) ? ?e? x ? (e ? a) ,

g (0) ? 0 .
?x

……………………

8分

(a)当 e ? a ? 0 ,即 a ? e 时, g ?( x) ? ?e 因此当 x ? 0 时,都有 g ( x) ?

? (e ? a) ? 0 ,g(x)在 ? ??,0? 是减函数,

g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 ? 0, f ( x) ? ax ? 1 ;
……………… 10 分

(b)当 a ? e 时,令 g ?( x) ? 0得x ? ? ln(e ? a) ;令 g ?( x) ? 0得x ? ? ln(e ? a) , 因此函数 g ( x)在? ??, ? ln(e ? a)? 上是减函数,在 ? ? ln(e ? a), ??? 上是增函数. 由于对所有 x ? 0 都有

f ( x) ? ax ? 1,即 g ( x) ? g (0) ? 0 成立,

因此 ? ln(e ? a) ? 0 , e ? a 所以 e ? 1 ? a ? e .

? 1 , a ? e ?1, 又a ? e ,
………………… 13 分

综上所述,a 的取值范围是 ?e ?1, ??? . 20. 解:⑴由 0 ? a ?

……………… 14 分

1 1 知 f ( x) 图像开口向上的抛物线,对称轴 x= ? ? ?1 2 2a

所以 f ? x ? 在?-1,1?上是增函数 ,故当 sin x ? 1 时 f ( x ) 取得最大值为 即 f (1) ? a ? 1 ?

5 , 4

5 1 ,? a ? 4 4

……………………3 分

⑵? 对于任意的 x ? R ,总有| f (sin x cos x) | ? 1 ,

1 1 1 2 2 2 1 1 则命题转化为 ?t ?[? , ] ,不等式 | f (t ) |? 1 恒成立, 2 2 当 t ? 0 时, f (t ) ? 0 使 f (t ) ? 1 成立;
令 t ? sin x cos x ? sin 2x ?[? , ] ,
2 ? 1 1 ?1 1 ? 1 ? a? 2 ? ?? ? ? ? t t ?t 2? 4 ? 当 t ? 0 时,有 ? 2 1 1 ?1 1 ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t2 t ?t 2? 4 ?

……………………4 分





1 ??????????..7 分 2 1 1 1 1 1 1 1 ?t ?[? ,0) ? (0, ]? ? 2或 ? ?2 ,则 ( ? )2 ? ? 2 ,故要使①式成立, 2 2 t t t 2 4 1 1 2 1 则有 a ? 2 ,又 ?( ? ) ? ? ?2 ,故要使②式成立,则有 a ? ?2 ,由题 a ? 0 . t 2 4
对于任意的 t ?[? ,0) ? (0, ] 恒成立; 综上, a ?[?2,0) ? (0,2] 为所求。
3n

1 2

……………………9 分

(3)由题意, ?
i ?n

3n i 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ?? ……………………10 分 f (i ) i ? n i ? 1 n ? 1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1

令 g (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1
1 1 1 1 ? ? ??? n?2 n?3 n?4 3n ? 4

则 g (n ? 1) ?

g (n ? 1) ? g (n) ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? 0 3n ? 4 3n ? 3 3n ? 2 n ? 1

? g (n) 在 n ? N* 时单调递增,? g (n) ? g (1) ?


13 ?1 . 12

1 1 1 1 , ? ? ??? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1
1 (2n ? 1) ? 2 ,综上,原结论成立. n ?1

? g (n) ?

????????14 分


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