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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:3.1.3空间向量的数量积运算]


第三章

3.1

第 3 课时

一、选择题 1.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,则 ①(a· b)c-(c· a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b· a)c-(c· a)b 不与 c 垂直; ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的是( A

.①② C.③④ [答案] D [解析] 根据数量积的定义及性质可知:①③错误,②④正确.故选 D. 2.若 a、b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] a· b=|a||b|?cos〈a,b〉=1?〈a,b〉=0° ,即 a 与 b 共线,反之不成立,因 为当 a 与 b 共线反向时,a· b=-|a||b|. 3.如图,正四面体 ABCD 中,E 是 BC 的中点,那么( → → → → A.AE· BC<AE· CD → → → → B.AE· BC=AE· CD → → → → C.AE· BC>AE· CD → → → → D.AE· BC与AE· CD不能比较大小 [答案] C → → 1 → → → → [解析] ∵AE· BC= (AB+AC)· (AC-AB) 2 1 → → = (|AB|2-|AC|2)=0, 2 → → → → → AE· CD=(AB+BE)· CD → → → 1→ → =AB· (BD-BC)+ BC· CD 2 ) ) ) B.②③ D.②④

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

1→ → → → → → =|AB|· |BD|· cos120° -|AB|· |BC|cos120° + |BC|· |CD|cos120° <0. 2 → → → → ∴AE· BC>AE· CD. 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列命题: → → → → ①(AA1+AD+AB)2=3AB2; → → → ②A1C· (A1B1-A1A)=0; → → ③AD1与A1B的夹角为 60° . 其中正确命题的个数是( A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] 选 D. 5.已知|a|=1,|b|= 2,且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( A.60° C.135° [答案] D [解析] ∵a-b 与 a 垂直,∴(a-b)· a=0, ∴a· a-a· b=|a|2-|a|· |b|· cos〈a,b〉 =1-1· 2· cos〈a,b〉=0, ∴cos〈a,b〉= 2 . 2 B.30° D.45° ) → → 根据数量积的定义知:①②正确,AD1与A1B的夹角为 120° ,∴③不正确,故 ) B.2 个 D.0 个

∵0° ≤〈a,b〉≤180° ,∴〈a,b〉=45° . 6.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么|a+3b|( A. 7 C. 13 [答案] C [解析] |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a· b+9b2 =|a|2+6|a||b|cos<a,b>+9|b|2, ∵|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60° , ∴|a+3b|2=13,∴|a+3b|= 13. 二、填空题 7.设|m|=1,|n|=2,2m+n 与 m-3n 垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则〈a,b〉= B. 10 D.4 )

__________. [答案] 0° [解析] ∵(2m+n)⊥(m-3n), ∴(2m+n)· (m-3n)=0,化简得 m· n=-2. 又∵|a|= a2= ?4m-n?2= 16+4+16=6, |b|= b2= ?7m+2n?2= 49+16-56=3, a· b=(4m-n)· (7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m· n=18, a· b 18 所以 cos〈a,b〉= = =1, 〈a,b〉=0° . |a||b| 6×3 → → 8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则A1B· B1C=__________. [答案] a2 → → → → [解析] A1B· B1C=A1B· A1D → → → → =|A1B|· |A1D|· cos〈A1B,A1D〉 = 2a× 2a×cos60° =a2.

三、解答题 9.已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,求〈a,b〉 . [解析] (a+3b)· (7a-5b) =7|a|2-15|b|2+16a· b=0, (a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a· b=0, 解之得,|b|2=2a· b=|a|2, a· b 1 ∴cos〈a,b〉= = ,∴〈a,b〉=60° . |a|· |b| 2 10.如图所示,已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,AC=BD,E、F 分别是 AD、BC 的 中点,试用向量方法证明 EF 是 AD 与 BC 的公垂线.

[解析] ∵点 F 是 BC 的中点,

→ 1 → → ∴AF= (AB+AC). 2 → → → 1 → → 1→ 1 → → → ∴EF=AF-AE= (AB+AC)- AD= (AB+AC-AD). 2 2 2 → → → → 又|AC|=|BD|=|AD-AB|, → → → → →2 ∴AC2=AD2-2AD· AB+AB → → → → → →2 同理AB2=CD2=AD2-2AC· AD+AC . 由①代入②可得 → → → → →2 → → →2 AB2=AD2-2AC· AD+AD -2AB· AD+AB , → → → → ∴2AD2-2AD· (AC+AB)=0, → → → → ∴AD· (AC+AB-AD)=0. →1 → → → ∴AD·(AB+AC-AD)=0. 2 → → → → ∴AD· EF=0.∴EF⊥AD. → → 同理可得EF⊥BC.∴EF 是 AD 与 BC 的公垂线. ① ②

一、选择题 → → → → → → 11.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB· AC=0,AC· AD=0,AB· AD=0, 则△BCD 是( ) B.锐角三角形 D.不确定

A.钝角三角形 C.直角三角形 [答案] B → → → → → → [解析] BD=AD-AB,BC=AC-AB,

→ → → → → → → → → → → → →2 BD· BC=(AD-AB)· (AC-AB)=AD· AC-AD· AB-AB· AC+|AB| → =|AB|2>0, → → BC· BD → → ∴cos∠CBD=cos〈BC,BD〉= >0, → → |BC|· |BD| ∴∠CBD 为锐角,同理,∠BCD 与∠BDC 均为锐角, ∴△BCD 为锐角三角形. 12. 已知 PA⊥平面 ABC, 垂足为 A, ∠ABC=120° , PA=AB=BC=6, 则 PC 等于( A.6 2 B.6 )

C.12 [答案] C → → → → [解析] ∵PC=PA+AB+BC,

D.144

→ → → → → → ∴PC2=PA2+AB2+BC2+2AB· BC=36+36+36+2×36cos60° =144. → ∴|PC|=12. → 13.(2014· 湖北省襄阳五中月考)在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量BA1与 向量 AC 所成的角为( A.60° C.90° [答案] D → → [解析] 由条件知,|BA1|= 2a,|AC|= 2a, → → → → → → BA1· AC=(AA1-AB)· (AB+AD) → → →2 → → → → =AA1· AB-|AB| +AA1· AD-AB· AD → → → =-|AB|2-AB· AD=-a2, → → - a2 BA1· AC 1 → → ∴cos〈BA1,AC〉= = =- . 2 → → 2 a· 2a |BA|· |AC| → → ∴向量BA1与AC所成的角为 120° ,故选 D. 二、填空题 14.已知|a|=2 2,|b|= [答案] 3π 4 2 ,a· b=- 2,则〈a,b〉=__________. 2 ) B.150° D.120°

a· b 2 [解析] cos〈a,b〉= =- , |a|· |b| 2 3π ∴〈a,b〉= . 4 → → → 15.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 1,设AB=a,AD=b,AA′=c,则

→ → → → (1)AC′· DB′=__________;cos〈AC′,DB′〉=__________; → → (2)BD′· AD=__________. [答案] (1)1 1 3 (2)1

→ → [解析] (1)AC′· DB′=(a+b+c)· (a-b+c) =a2+c2+2a· c-b2=1, → → |AC′|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a· b+2a· c+2b· c=3,∴|AC′|= 3, → → |DB′|2=(a-b+c)2=a2+b2+c2-2a· b+2a· c-2b· c=3,∴|DB′|= 3, → → AC′· DB′ 1 → → ∴cos〈AC′,DB′〉= = . 3 → → |AC′|· |DB′| → → (2)BD′· AD=(b+c-a)· b=|b|2+b· c-b· a=1. 三、解答题 16.如图所示,在?ABCD 中,AD=4,CD=3,∠D=60° ,PA⊥ 平面 ABCD,PA=6,求线段 PC 的长. → → → [分析] 把求线段 PC 的长转化为求|PC|,再用已知向量PA、AD、 → → DC表示PC即可. → → → → [解析] ∵PC=PA+AD+DC, → → → → ∴|PC|2=(PA+AD+DC)2 → → → → → → → → → → → =|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA· AD+2AD· DC+2DC· PA=62+42+32+2|AD||DC|cos120° =61-12=49. → ∴|PC|=7,即 PC=7. → → 17.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 D1C1 的中点,试求A1C1与DE所成 角的余弦值.

→ → → [分析] 在正方体 AC1 中, 要求A1C1与DE所成角的余弦值, 可以考虑利用公式 cos 〈A1C1,

→ → A1C1· DE → DE〉= 进行求解. → → |A1C1||DE| → → → [解析] 设正方体的棱长为 1,AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a· b=b· c= c· a=0. 1 → → → → → → → → 1 → ∵A1C1=AC=AB+AD=a+b,DE=DD1+D1E=DD1+ D1C1=c+ a, 2 2 1 1 1 1 1 → → ∴A1C1· DE=(a+b)· (c+ a)=a· c+b· c+ a2+ a· b= a2= . 2 2 2 2 2 → → 又∵|A1C1|= 2,|DE|= 1 5 12+? ?2= , 2 2

1 → → 2 A1C1· DE 10 → → ∴cos〈A1C1,DE〉= = = , 10 → → 5 |A1C1||DE| 2× 2 10 → → ∴A1C1与DE所成角的余弦值为 . 10


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