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高考数学(文)一轮复习专题训练:立体几何(含答案)


高三数学文一轮复习专题突破训练 立体几何
一、选择、填空题 1、 (2016 年全国 I 卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径.若该几何体的体积是 28? ,则它的表面积是

3
(A) 17? (C) 20? 面的表面积为 (A) 12 ? (C) ?? (B) (B) 18? (D) 28?

2、(2016 年全国 II 卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球

32 ? 3

(D) ??

A , ? / / 平面 CB1D1 ,? ? 平面 3、(2016 年全国 I 卷)平面 ? 过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点

ABCD ? m , ? ? 平面 ABB1 A1 ? n ,则 m , n 所成角的正弦值为
(A)

3 2 3 3

(B)

2 2
1 3

D α A B

C

(C)

(D)

D1 A1 B1

C1

4、 (2016 年全国 II 卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π

(B)24π

(C)28π

(D)32π

5、(2016 年全国 III 卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为

(A) 18 ? 36 5

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

6、(2016 年全国 III 卷)在封闭的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB ? BC ,

AB ? 6 , BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是
(A)4π (B)

9? 2

(C)6π

(D)

32? 3

7、(2015 年全国 I 卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底 部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米 有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

8、(2015 年全国 I 卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径 为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为

16 ? 20? ,则 r ? ( )

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

9、 (广东省 2016 届高三 3 月适应性考试) 某几何体的三视图如图所示, 图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直且相等,则该几何体的体积是( )

A.

20 3

B.

C. 8 ?

? 6

16 3

D. 8 ?

? 3

10、 (广东佛山市 2016 届高三二模)
? 已知 A 、 B 、 C 都在半径为 2 的球面上,且 AC ? BC , ?ABC ? 30 ,球心 O 到平面 ABC 的

距离为1,点 M 是线段 BC 的中点,过点 M 作球 O 的截面,则截面面积的最小值为( A.



3? 4

B.

3? 4

C. 3?

D. 3?

11、(广东广州市 2016 届高三二模)如图, 网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 (A) 8 ? 6? (B) 4 ? 6? (C) 4 ? 12? (D) 8 ? 12 ?

12、(广东深圳市 2016 届高三二模)设 l , m 是两条不同的直线,? 是一个平面,下列命题正确的是 ( ) B.若 l ? ? , l // m ,则 m ? ? D.若 l // ? , m // ? ,则 l // m

A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 m // ? , m ? ? ,则 l // m

13、(广东珠海市 2016 届高三二模)某几何体三视图如图所示,则该几何体的最短的棱 长度是( ) A.1 B.

2

C.

3

D. 2

14、 (揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试) 已知棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个面 A1B1C1 D1 在一半球底面上,且 A、B、C、D 四个顶点都在此半球面上,则此半球的体积为 (A) 4 6? (B) 2 6? (C) 16 3? (D) 8 6?

15、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A、

4 3

B、

2 3

C、

1 3

D、2

16、 (清远市 2016 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如图所示,正视图为直角三角形、侧视 图为等边三角形,俯视图为直角梯形,则该几何体的体积等于 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3

二、解答题 1、(2016 年全国 I 卷高考)如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平 面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连结 PE 并延长交 AB 于点 G. (I)证明:G 是 AB 的中点; (II)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积.

P

A G

E D B C

2、(2016 年全国 II 卷高考) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E 、 F 分别在

AD , CD 上, AE ? CF , EF
交 BD 于点 H ,将 ?DEF 沿 EF 折到 ?D ' EF 的位置. (Ⅰ)证明: AC ? HD ' ; (Ⅱ)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D? ? ABCEF 体积. 4

3 、( 2016 年全国 III 卷高考)如图,四棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABCD , AD ? BC ,

AB ? AD ? AC ? 3 , PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2 MD , N 为 PC 的中点.

(I)证明 MN ? 平面 PAB ; (II)求四面体 N ? BCM 的体积. 4、(2015 年全国 I 卷)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

5、 (广东省 2016 届高三 3 月适应性考试)如图所示,在直三棱柱 ABC ? DEF 中,底面 ABC 的棱

AB ? BC ,
且 AB ? BC ? 2 .点 G 、 H 在侧棱 CF 上,且 CH ? HG ? GF ? 1 . (1)证明: EH ? 平面 ABG ; (2)求点 C 到平面 ABG 的距离.

F G H C A D

E

B

6 、( 广 东 佛 山 市 2016 届 高 三 二 模 ) 如 图 , 在 直 四 棱 柱 A B C D ?
? ?B A D?6 0 , AB ?

1

, A1 B1 C中 1D

B ,D B?C . C D

(1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 A 1BD ; (2)若 BC ? CD , AB ? AA 1?A 1 BD 的体积. 1 ? 2 ,求三棱锥 B

D1 A1 B1 D A B
7、 (广东广州市 2016 届高三二模) 如图, 在多面体 ABCDM 中, △ BCD 是等边三角形, △ CMD 是等腰直角三角形,

C1

C

?CMD ? 90? ,平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,点 O 为 CD 的中点,
连接 OM . (Ⅰ) 求证: OM ∥平面 ABD ; (Ⅱ) 若 AB ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积.

A M B C O D

8、(广东深圳市 2016 届高三二模)如图,平面 ABCD ? 平面 ADEF ,四边形 ABCD 为菱形,四 边形 ADEF 为矩形, M 、 N 分别是 EF 、 BC 的中点, AB ? 2 AF , ?CBA ? 60 . (1)求证: DM ? 平面 MNA ;
?

(2)若三棱锥 A ? DMN 的体积为

3 ,求点 A 到平面 DMN 的距离. 3
M E A D

F

B N C

9、(广东珠海市 2016 届高三二模) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是等腰梯形,其中 AB // CD , AB ? 且

1 CD ? 3 , 2

?BCD ? 60?



E



CD






P

PA ? PB ? PC ? PD ? 4 . ⑴ 求证: AD ? PE . ⑵ 求四棱锥 P ? ABCD 的体积
D E C

A

B

10、(惠州市 2016 届高三第三次调研)

? 如 图 , 已 知 等 腰 梯 形 ABCD 中 , A D / / B C, A B
A

A E? B D ? M ,将 ?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE .
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 B1DM ; (Ⅱ)若 B1C ? 10 ,求棱锥 B1 ? CDE 的体积

1 AD ? 2 D

B? C2, 是 E BC 的 中 点 , B1

M B E

C A
M E

D

C

11、 (揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试)如图 4,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 中点. (Ⅰ)求证:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)若四边形 CB B1C1 是正方形,且 A 1D = 求多面体 CAC 1 1BD 的体积.
B A A1

5,

D C 图4 图3 B1 C1

12、(韶关市 2016 届高三上学期调研)如图,四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1, AD ? 2 , E 是 AD 的中点, BE 与 AC 交于点 F , GF ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: AF ? 面 BEG ; (Ⅱ) 若 AF ? FG ,求点 E 到平面 ABG 距离.
B F D G

C

E 13、(湛江市 2016 年普通高考测试(一))如图,三棱柱 ABC- A A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,AB1⊥平面 A1CD,AC⊥BC,D 为 AB 中点。 (I)证明:CD⊥平面 AA1B1B; (II)若 AA1=1,AC=2,求三棱锥 C1-A1DC 的体积。

14、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))如图 3,正方形 ABCD 的边长为 2 2 , E 、 F 分 别是 DC 和 BC 的中点, H 是正方形的对角线 AC 与 EF 的交点, N 是正方形两对角线的交点,现 沿 EF 将 ?CEF 折起到 ?PEF 的位置,使得 PH ? AH ,连结 PA,PB,PD(如图 4). (Ⅰ)求证: BD ? AP ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? BDP 的高.

15、(珠海市 2016 届高三上学期期末) 如图,四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 为平行四边形,且 AC ? BD ? O ,

P

PA ? PC , PB ? BD ,平面 PBD ? 平面 PAC (I)求证 PB ? 面 ABCD (II)若 ?PAC 为正三角形,?BAD ? 60? ,且四棱锥 P ? ABCD 的体积为

6 ,求侧面 ?PCD 的面积. 6

A O B

D

C

第 19 题图

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】A

1 【解析】原几何体是一个球被切掉左上角的 后所得的几何体(如图所示), 8

7 4? r 28? 7 ? 其体积是球的体积 ,即 ? ,故球的半径 r ? 2 ; 8 8 3 3
3

7 其三视图表面积是球面面积 和三个扇形面积之和,即 8
7 1 S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17? ,故选 A. 8 4
2、【答案】A 【解析】因为正方体的体积为 8,所以正方体的体对角线长为 2 3 ,所以正方体的外接球的半径为

3 ,所以球面的表面积为 4? ? ( 3)2 ? 12? ,故选 A.
3、【答案】A 【解析】如图所示:∵ ?∥平面CB1 D1 ,若设平面 CB1 D1 ? 平面 ABCD ? m1 , 则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线),因此 ?CD1B1 ? 故选 A. 4、【答案】C 【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为 S ? 28? ,故选 C. 5、【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

S ? 2 ? 3? 6 ? 2 ? 3? 3 ? 2 ? 3? 3 5 ? 54 ? 18 5 ,故选 B.
6、【答案】B

7、【答案】B

【解析】 试题分析:设圆锥底面半径为 r,则
1 16 ,所以米堆的体积为 ? 2 ? 3r ? 8 = r ? 4 3 1 1 16 320 320 ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = 4 3 3 9 9

考点:本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 8、【答案】B

【解析】 试题分析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径 1 都为 r,圆柱的高为 2r,其表面积为 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解 2
得 r=2,故选 B. 9、A 10、【答案】B 【解析】∵ AC ? BC ,∴ ?ACB ? 90 , ∴圆心 O 在平面的射影为 AB D的中点,
?

1 AB ? OB 2 ? OD 2 ? 1 ,∴ AB ? 2 . 2 ? ∴ BC ? AC cos30 ? 3 , 当线段 BC 为截面圆的直径时,面积最小,
∴ ∴截面面积的最小值为 ? ? ( 11、A 12、B 13、【答案】B.

C A D B

3 2 3? . ) ? 2 4

O

【解析】解:由三视图可知该几何体是四棱锥,利用勾股定理可求出棱长分别为 2 ,2, 5 , 3 等,故选 B 14、A 15、B 16、A 二、解答题 1、

(II)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影. 理由如下:由已知可得 PB ? PA , PB ? PC ,又 EF / / PB ,所以 EF ? PA,EF ? PC ,因此

EF ? 平面 PAC ,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影.
连结 CG ,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形 ABC 的中心. 由(I)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD ?

2 CG. 3
2 1 PG, DE ? PC. 3 3

DE ? 平面 PAB , 由题设可得 PC ? 平面 PAB , 所以 DE / / PC , 因此 PE ?

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA ? 6 ,可得 DE ? 2, PE ? 2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF ? PF ? 2. 所以四面体 PDEF 的体积 V ?

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3

2、试题解析:(I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又由 AE ? CF 得

AE CF ? ,故 AC / / EF . AD CD

由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. . (II)由 EF / / AC 得

OH AE 1 ? ? . DO AD 4

由 AB ? 5, AC ? 6 得 DO ? BO ?

AB2 ? AO2 ? 4.

所以 OH ? 1, D?H ? DH ? 3. 于是 OD? ? OH ? (2 2) ? 1 ? 9 ? D?H , 故 OD? ? OH .
2 2 2 2 2

由(I)知 AC ? HD? ,又 AC ? BD, BD ? HD? ? H , 所以 AC ? 平面 BHD?, 于是 AC ? OD?. 又由 OD? ? OH , AC ? OH ? O ,所以, OD? ? 平面 ABC.

EF DH 9 ? 得 EF ? . AC DO 2 1 1 9 69 . 五边形 ABCFE 的面积 S ? ? 6 ? 8 ? ? ? 3 ? 2 2 2 4
又由 所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ? 3、

1 69 23 2 ? ?2 2 ? . 3 4 2

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , N 为 PC 的中点, 所以 N 到平面 ABCD 的距离为

1 PA . 2

....9 分

取 BC 的中点 E ,连结 AE .由 AB ? AC ? 3 得 AE ? BC , AE ? 由 AM ∥ BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故 S ?BCM ? 所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM

AB2 ? BE2 ? 5 .

1 ? 4? 5 ? 2 5 . 2 1 PA 4 5 ? ? S ?BCM ? ? . .....12 分 3 2 3

4、【答案】(I)见解析(II) 3+2 5

试题解析:(I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD, 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC⊥平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,可得 AG=GC=

3 x x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt DAEC 中,可得 EG=

3 x. 2

由 BE⊥平面 ABCD,知 DEBG 为直角三角形,可得 BE=

2 x. 2
6 3 6 .故 x =2 x = 24 3

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ? BE 从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以△EAC 的面积为 3, DEAD 的面积与 DECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 5、解:

1 1 3 2

(Ⅰ)因为 ABC ? DEF 是直三棱柱,所以 FC ? 平面 ABC ,而 AB ? 平面 ABC , 所以, FC ? AB . 又? AB ? BC , BC ? FC ? C .

? AB ? 平面 BCFE ,又? EH ? 平面 BCFE , ? AB ? EH .
由题设知 ?EFH 与 △BCG 均为直角三角形,

? EF ? 2 ? FH , BC ? 2 ? CG , ? ?EHF ? 45? , ?BGC ? 45? .
? 设 BG ? EH ? P ,则 ?GPH ? 90 ,即 EH ? BG .

又 AB ? BG ? B ,? EH ? 平面 ABG . (Ⅱ)? AB ? BC ? 2 , AB ? BC , ? S ?ABC ?

………6 分

? CG ? 平面 ABC ,?VG ? ABC

1 AB ? BC ? 2 … . 2 … 1 4 ? S ?ABC ? CG ? . 3 3

由(1)知 AB ? BG , CG ? 2 ? BC , BG ?

BC2 ? CG2 ? 22 ? 22 ? 2 2 ,

? S?ABG ?

1 AB ? BG ? 2 2 . 2

设点 C 到平面 ABG 的距离为 h ,则

1 2 4 ?VC ? ABG ? S?ABG ? h ?? 2h ? VG ? ABC ? , 3 3 3

?h ? 2 .
即点 C 到平面 ABG 的距离为 2 . 6、【解析】(1)证明:∵ AB ? BD, ?BAD ? 60? , ∴ ?ABD 为正三角形,∴ AB ? AD . ∵ CB ? CD , AC 为公共边, ∴ ?ABC ? ?ADC . ∴ ?CAB ? ?CAD ,∴ AC ? BD . ∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 是直四棱柱, ∴ AA1 ? 平面 ABCD ,∴ AA1 ? BD . ∵ AC ? AA1 ? A ,∴ BD ? 平面 ACC1 A1 . ∵ BD ? 平面 A 1 BD ? 平面 ACC1 A 1. 1BD ,∴平面 A (2)∵ AA1 ∥ BB1 ,∴ VB1 ? A1BD ? VA1 ?BB1D ? VA?BB1D , 由(1)知 AC ? BD . ∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 是直四棱柱, ∴ BB1 ? 平面 ABCD ,∴ BB1 ? AC . ∵ BD ? BB1 ? B ,∴ AC ? 平面 BB1D . 记 AC ? BD ? O , ………12 分 … …

1 1 1 2 3 , S?BB1D ? AO ? ? ( ? 2 ? 2) ? 3 ? 3 3 2 3 2 3 ∴三棱锥 B1 ? A1BD 的体积为 . 3
∴ VA? BB1D ? 7、(Ⅰ)证明:∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,点 O 为 CD 的中点, ∴ OM ? CD . ………………………………………1 分 ? CMD BCD CMD ? ∵ 平面 平面 ,平面 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD , A ∴ OM ? 平面 BCD .………………………………2 分 ∵ AB ? 平面 BCD , M ∴ OM ∥ AB .………………………………………3 分 ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , B D H ∴ OM ∥平面 ABD .………………………………4 分 O (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , C ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 过 O 作 OH ? BD ,垂足为点 H , ∵ AB ? 平面 BCD , OH ? 平面 BCD , ∴ OH ? AB . ………………………………………6 分 ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B , ∴ OH ? 平面 ABD . ………………………………………7 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形,
?

? ∴ BD ? 2 , OD ? 1 , OH ? OD ? sin 60 ?

3 .………………………………9 分 2

∴ VA? BDM ? VM ? ABD

………………………………………10 分 ………………………………………11 分

1 1 ? ? ? AB ? BD ? OH 3 2

1 1 3 3 . ? ? ? 2? 2? ? 3 2 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

………………………………………12 分

解法 2: 由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形, ∴ BD ? 2 , OD ? 1 . ………………………………………6 分 连接 OB , 则 OB ? CD , OB ? BD ? sin 60 ? 3 . ……………………………7 分 ∴ VA?BDM ? VM ? ABD ? VO? ABD ? VA?BDO ………………………………………10 分 ………………………………………11 分
?

1 1 ? ? ? OD ? OB ? AB 3 2

1 1 3 . ? ? ?1? 3 ? 2 ? 3 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

………………………………………12 分

8、【解析】(1)证明:连接 AC ,在菱形 ABCD 中,
? ∵ ?CBA ? 60 且 AB ? AC ,

∴ ?ABC 为等边三角形. ∵ N 是 BC 的中点, ∴ AN ? BC , AN ? BC . ∵ ABCD ? 平面 ADEF , AN ? 平面 ADEF , ABCD ? 平面 ADEF ? AD , ∴ AN ? 平面 ABEF . ∵ DM ? 平面 ADEF ,∴ AN ? DM . ∵矩形 ADEF 中, AD ? 2 AF , M 是的中点, ∴ ?AMF 为等腰直角三角形,∴ ?AMF ? 45 ,
? ? ? 同理可证 ?DME ? 45 ,∴ ?DAM ? 90 ,∴ DM ? AM .

∵ AM ? AN ? N , AM ? 平面 MNA , AN ? 平面 MNA , ∴ DM ? 平面 MNA . (2)设 AF ? x ,则 AB ? 2 AF ? 2 x , 在 Rt ?ABN 中, AB ? 2 x , BN ? x ,

M E A D

F H B N C

?ABN ? 60? ,∴ AN ? 3x .
1 ? 2 x ? 3x ? 3x 2 . 2 ∵ ABCD ? 平面 ADEF , FA ? AD , ABCD ? 平面 ADEF ? AD ,∴ FA ? 平面 ABCD . 设 h 为点 M 到平面 ADN 的距离,则 h ? FA ? x .
∴ S ?ADN ?

1 3 3 ? 3x 2 ? x ? x , 3 3 3 ∵ VM ? ADN ? VD ? AMN ? ,∴ x ? 1 . 3 作 AH ? MN 交 MN 于点 H . ∵ DM ? 平面 MNA ,∴ DM ? AH . ∴ AH ? 平面 DMN , 即 AH 为求点 A 到平面 DMN 的距离,
∴ VM ? ADN ? V?CDF ? h ? ∵在 Rt ?MNA 中, MA ? 2 , AN ? 3 ,∴ AH ?

1 3

30 . 5

∴点 A 到平面 DMN 的距离为

30 . 5

9、【解析】 ⑴证明:连接 EB ? ABCD 为等腰梯形, E 为 CD 中点, ? BE ? AD ? BC ,所以 ? EBC 为等腰三角形,又

?BCD ? 60? ,故 ? EBC 为等边三角形. ? BE ? BC
PD ? PC , E 为 CD 的中点, PE ? CD , E ? E B ,BE ? BC ? B , 由 BE ? BC ,PB ? PC ,PE ? PE , 得 ? PEB 全等于 ? PEC , 知P 故 PE ? ABCD , AD ? ABCD ,得 AD ? PE . …………6 分
⑵ 因 为 PC ? 4 , EC ? 3 , 所 以 PE ? 7 , S ABCD ?

1 3 27 (3 ? 6) ? 3? 3 , 2 2 4
…………12 分

1 27 9 VP ? ABCD ? ? 7 ? 3? 21 3 4 4

10、【解析】(I) 连接 DE,由题意可知四边形 ABED 和 AECD 是平行四边形, 又 AB=AD,所以 ABED 是菱形 故 BM ? AE , DM ? AE. (2 分) 即 B1 M ? AE , DM ? AE. (4 分)

又因为 DM ? B1M ? M , MD 、 B1 M ? 平面 B1 MD ,所以 AE ? 平面 B1 MD .(5 分) 由题可得 AE∥CD,所以 CD ? 平面B 1 DM (6 分)

(Ⅱ) 连接 CM,由(Ⅰ)得 AB=AE=BE=2 ,所以 ?B1 AE 为等边三角形 ,

? B1M ? 3
又 CM ?

(7 分)

DM 2 ? CD2 ? 7 , B1C ? 10
(9 分) (10 分)

? B1M 2 ? CM 2 ? B1C 2 ,即 B1 M ? MC
MC ? AE ? M ,? B1M ? 平面 CDE 又 B1 M ? AE ,

1 1 AE ? DM ? ? 2 ? 3 ? 3 (11 分) 2 2 1 1 ?VB1 ?CDE ? S?CDE ? B1 M ? ? 3 ? 3 ? 1 (12 分) 3 3 S ?CDE ?
11、(I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,------------------4 分 ∵BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,------------5 分 ∴BC1∥平面 A1CD. -----------------------------6 分 【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,-----1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ A1D / / BD1 ∴四边形 BD A1D1 为平行四边形 -----------------------------------2 分
A D1 C B B1 C1 A1

∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

D

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. -------------------------------6 分】 (Ⅱ) ? AD +A =A1D 1A = 5 又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又 AD ? BC ? B
2 2 2

\ A1 A^ A D , -------------------------------------7 分 \ A1 A ^ BC ,

\ A1 A ^ 面 ABC -------------------------------------------9 分

(法一)∴所求多面体的体积 V ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? ACD ? VB? A1B1C1 -----------------------10 分

1 1 ? AA1 ? S?ABC ? ? AA1 ? S?ACD ? ? BB1 ? S?A1B1C 3 3
D

A

A1 E C H C1 B1

B

?

1 1 1 3 2 ? AA1 ? S ?ABC ? ? 2 ? ? ?2 ? 3 2 2 2 2

即所求多面体 CAC 1 1BD 的体积为 3 .----------------12 分 【(法二)过点 A1 作 A1 H ? B1C1 于 H , ∵平面 BB1C1C ? 平面 A1 B1C1 且平面 BB1C1C ? 平面 A1 B1C1 ? B1C1 ∴ A1 H ? 平面 BB1C1C ,----------------------------------------------------------10 分 ∴所求多面体的体积 V ? VA1 ? ACD ? VA1 ? A1CC1 ? S?BCD ? AA1 ? S?BCC1 ? A1H

1 3

1 3

1 1 3 1 1 ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? ? 4 ? 3 ? 3 .------------------------------------------12 分】 3 2 4 3 2
12、证法 1: ∵四边形 ABCD 为矩形,∴ ?AEF ∽ ?CBF , ∴

AF EF AE 1 ? ? ? CF BF BC 2

……………1 分

又∵矩形 ABCD 中, AB ? 1, AD ?

2 ,∴ AE ?
6 2

2 , AC ? 3 2

在 Rt ?BEA 中, BE ?

AB 2 ? AE 2 ?

∴ AF ?

2 6 1 3 , BD ? BE ? AC ? 3 3 3 3
2 2

……………2 分

在 ?ABF 中, AF ? BF ? (

3 2 6 ) ? ( ) 2 ? 1 ? AB 2 3 3
……………4 分 ∴ AC ? GF ∴ AF ? 平面 BEG ……………5 分 ……………6 分

? ∴ ?AFB ? 90 ,即 AC ? BE

∵ GF ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD 又∵ BE ? GF ? F , BE, GF ? 平面 BCE

证法 2:(坐标法)证明 K AC ? K BE ? ?1,得 AC ? BE ,往下同证法 1. (2)在 Rt ?AGF 中, AG ?

AF 2 ? GF 2 ? (

3 2 3 6 ) ? ( )2 ? 3 3 3

在 Rt ?BGF 中, BG ?

BF 2 ? GF 2 ? (

6 2 3 ) ? ( ) 2 ? 1 ………… ……………8 分 3 3

在 ?ABG 中, AG ?

6 , BG ? AB ? 1 3

∴ S ?ABG ?

1 6 30 5 1 6 6 ………………………………10 分 ? ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? 2 3 6 6 2 3 6

设点 E 到平面 ABG 的距离为 d ,则

1 1 S ?ABG ? d ? S ?ABF ? GF , 3 3

………………………………11 分

1 2 3 ? ? 1? S ABF ? GF 2 2 3 ? 30 ? ∴d ? 10 S ?ABG 5 6
13、

………………………………12 分

14、 (Ⅰ)证明: ∵ E 、 F 分别是 CD 和 BC 的中点, ∴EF//BD. 又∵ AC ? BD ,∴ AC ? EF , 故折起后有 PH ? EF . 又 (2 分) 所 以 (1 分)

PH ? AH



PH ?





ABFED .

(3 分) (4 分)

又∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PH ? BD , ∵ AH ? PH ? H , AH , PH ? 平面 APH , ∴ BD ? 平面 APH , 又 AP ? 平面 APH ,∴ BD ? AP

(5 分) (6 分)

(Ⅱ)解:∵正方形 ABCD 的边长为 2 2 , ∴ AC ? BD ? 4 , AN ? 2, NH ? PH ? 1 , PE ? PF ∴ ?PBD 是等腰三角形,连结 PN ,则 PN ? BD , PN ? ∴ ?PBD 的面积 S?PBD ? (7 分)

NH 2 ? PH 2 ? 2
(8 分)

1 1 BD ? PN ? ? 4 ? 2 ? 2 2 2 2

设三棱锥 A ? BDP 的高为 h ,则三棱锥 A ? BDP 的体积为

1 2 2h VA? BDP ? S?PBD ? h ? 3 3
由(Ⅰ)可知 PH 是三棱锥 P ? ABD 的高,∴三棱锥 P ? ABD 的体积:

(9 分)

1 1 1 1 1 4 VP ? ABD ? S?ABD ? PH ? ? AB ? AD ? PH ? ? ? 2 2 ? 2 2 ?1 ? (11 分) 3 3 2 3 2 3
∵ VA? BDP ? VP? ABD ,即

2 2h 4 ? ,解得 h ? 2 ,即三棱锥 A ? BDP 的高为 2 . (12 分) 3 3

15、(I)证明:由于四边形 ABCD 为平行四边形,所以 O 为 AC 的中点;连接 PO

? PA ? PC ? AC ? PO ? 平面 PBD ? 平面 PAC ,

———1 分

又? 平面 PBD ? 平面 PAC =PO , AC ? 平面 PAC

? AC ? 面 PBD ? AC ? PB

P

—————4 分

又? PB ? BD ,且 AC ? BD ? O , AC、BD ? 面ABCD

? PB ? 面 ABCD

—————6 分
D O B C

(II)解:由(I)知 AC ? 面 PBD ,所以 AC ? BD ,可知底面 ABCD 为菱形; A 设 AB ? BC ? a ,又因为 ?BAD ? 60? ,所以 BD ? a , AC ? 3a 因为 ?PAC 为正三角形,所以 PC ? 3a —————7 分

由(I)知 PB ? BC ,从而 ?PBC 为直角三角形,? PB ?

2a —————8 分

1 1 1 6 VP ? ABCD ? S ABCD PB ? ? 3a 2 2a ? 解得: a ? 1 ———9 分 3 3 2 6
P

所以 PC ? 3 、 CD ? 1 、 PB ?

2
—————10 分

? PD ? PB2 ? BD2 ? 3

A O B

D


C

取 CD 的中点 E ,连接 PE ,可知 PE ? CD

PE ? PC 2 ? CE 2 ?

11 1 11 S PCD ? CD?PE ? 2 2 4

—12 分


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