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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第九章 平面解析几何 第6课


数学

R B(理)

§9. 6 双曲线
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线 .这两个定点 叫做双曲线的 焦点 ,两焦点的距离叫做双曲线的

焦距 . 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为 常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是 两条射线 ; (3)当 a>c 时,P 点不存在.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 - =1(a>0, a2 b2 b>0) y2 x2 - =1(a>0, a2 b2 b>0)
知识回顾 理清教材

标准方程

图形

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率

知识回顾 理清教材
x≥ a 或 x≤-a, y∈ R x∈R,y≤-a或y≥a 对称轴: 坐标轴 对称中心: 原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) a b y = ± x y= ± x b a

c e= a , e∈ (1,+∞ ),其中 c= a2+b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 |A1A2|= 2a ; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 |B1B2|= 2b ; a 叫做双曲线的半实轴长, b 叫做双曲线的半虚轴长
2 2 a + b c=
2

实虚轴 a、 b、 c 的关系
基础知识

(c>a>0, c>b>0)
思想方法 练出高分

题型分类

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) √ (4)√ (5)√

解析

A C 1 2
2 3

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程

x2 y2 x2 y2 【例 1】 (1)已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)和椭圆 + = a b 16 9 1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍, 则双曲线的方程为______________.
思维启迪 x2 y2 设双曲线方程为 2- 2=1,求双曲线方程,即求 a、 a b

b,为此需要关于 a、b 的两个方程,由题意易得关于 a、b 的两 个方程;也可根据双曲线的定义直接确定 a、b、c;根据双曲线 的定义求轨迹方程.(注意条件)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程

x2 y2 x2 y2 【例 1】 (1)已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)和椭圆 + = a b 16 9 1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍, x2 y2 - =1 4 3 则双曲线的方程为______________ .
x2 y2 解析 椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0),离心 16 9 7 x2 y2 x2 y2 率为 e= .由于双曲线 2- 2=1 与椭圆 + =1 有相同的焦点, 因 4 a b 16 9 此 a2+b2=7. a2+b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , a a a 24 2 x y 2 2 2 所以 a=2,b =c -a =3,故双曲线的方程为 4 - 3 =1.
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题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程

(2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的

y2 x2 - =1 2 4 双曲线方程为_______________ .
x2 2 解析 设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 2 x2 2 22 -y =k,将点(2,-2)代入得 k= -(-2)2=-2. 2 2

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4
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题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程

(3)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为 __________________.
解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件,

得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,

即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程

(3)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为
2 y x2- 8 =1(x≤-1) __________________.

又根据双曲线的定义, 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离小),

其中 a=1,c=3,则 b2=8.
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2- 8 =1(x≤-1).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程

(3)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为
2 y x2- =1(x≤-1) 8 __________________ .

思维升华

求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系

数法.待定系数法具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线 标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系, 求出 a,b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标 x2 y2 准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ≠0), a b 再由条件求出 λ 的值即可.利用定义时,要特别注意条件“差的 绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的一支.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
x2 y2 跟踪训练 1 (1)(2012· 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10, a b 点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 20 5 5 20 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 80 20 20 80
解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
x2 y2 ∵a2-b2=1 的焦距为 10,∴c=5= a2+b2. ① b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, a 2b ∴ a =1,即 a=2b. ② x2 y2 由①②解得 a=2 5,b= 5,则 C 的方程为20- 5 =1,故应选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

( A )

题型分类·深度剖析
5 跟踪训练 1 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 13 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 x2 y2 A. 2- 2=1 4 3 x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 x2 y2 B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12 ( A )

(2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2||=8.

由双曲线的定义知:a=4,b=3.
x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为42-32=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
【例 2】 (1)(2013· 浙江)如图,F1,F2 是椭圆 C1: x2 2 +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别 4 是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 3 A. 2 B. 3 C. 2 ( 6 D. 2 )

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
【例 2】 (1)(2013· 浙江)如图,F1,F2 是椭圆 C1: x2 2 +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别 4 是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 ( D ) 3 e,可以求出 a 6 思维启迪 求圆锥曲线的离心率 ,c 的关系式,进而求 A. 2 B. 3 C. D. 2 2
出 e.

x2 y2 解析 |F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1. a b ∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a,∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a.
在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90° , ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
c 3 6 即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2, ∴a= 2,∴e=a= = 2 .故选 D. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
x2 2 (2)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦 a → → 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( ) A.[3-2 3,+∞) 7 C.[- ,+∞) 4 B.[3+2 3,+∞) 7 D.[ ,+∞) 4

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
x2 2 (2)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦 a → → 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( ) A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 思维启迪 在圆锥曲线中求某一量的值或范围,一定要注意圆锥曲线 C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4
2 x ∴双曲线方程为 -y2=1, 解析 由条件知 a2+1=22=4,∴a2=3, 3 → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+2,y),

本身的 x,y 的取值范围.

x2 ∵y = -1, 3 2 x 4 2 4 32 7 → → 2 2 2 ∴OP· FP=x +2x+y =x +2x+ 3 -1=3x +2x-1=3(x+4) -4.
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
x2 2 (2)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦 a → → 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( B ) A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 → →7 又 ∵ x ≥ 3( P 为右支上任意一点 ) , ∴OP FP 3+2 3. C.[- ,+∞) D· . [≥ ,+∞ ) 故选 B. 4 4
思维升华 在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所构成的直角三 角形是值得关注的一个重要内容; 双曲线的离心率涉及的也比较多. 由 c 于 e= 是一个比值,故只需根据条件得到关于 a、b、c 的一个关系式, a 利用 b2=c2-a2 消去 b,然后变形求 e,并且需注意 e>1.同时注意双曲 线方程中 x,y 的范围问题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
x2 y2 跟踪训练 2 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0, a b 5 b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( ) 2 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=± x 2 x2 y2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂 a b → → 线,垂足为点 A,与另一条渐近线交于点 B,若FB=2FA,则此 双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 ( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
c 5 + 解析 (1)由 e=a= 知,a=2k,c= 5k(k∈R ), 2 b 1 2 2 2 2 由 b =c -a =k 知 b=k. 所以a=2. 1 即渐近线方程为 y=± 2x.故选 C. → → (2)如图,∵FB=2FA,
∴∠2=∠3. ∴A 为线段 BF 的中点, 又∠1=∠2,∴∠2=60° , b ∴a=tan 60° = 3,∴e2=1+(b)2=4,∴e=2. a
答案 (1)C (2)C
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题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知双曲线 C:x2-

y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交 点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知双曲线 C:x2-

y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交 点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类

本题主要考查直线与双曲线的 位置关系,解题关键是联立方 程用根与系数的关系求解.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知双曲线 C:x2- 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不

y2=1 及直线 l:y=kx-1.

同的交点, 2 2 ? ?x -y =1, 有两个不同 (1)若 l 与 C 有两个不同的交 则方程组? ? ?y=kx-1

点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类

的实数根,
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
2 ? ?1-k ≠0, ∴? 2 2 ? ?Δ=4k +8?1-k ?>0,

解得- 2<k< 2且 k≠± 1.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
解析 思维升华 已知双曲线 C:x2- 双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交 思维启迪

【例 3】

y2=1 及直线 l:y=kx-1.

点时,k 的取值范围是(- 2,-1)

∪(-1,1)∪(1, 2). (1)若 l 与 C 有两个不同的交 (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

点,求实数 k 的取值范围;

直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为
? ?x1+x2= -2k2, 1-k ? ∴? -2 ? x1x2= 2. ? 1 - k ?
思想方法 练出高分

(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, (1-k2)x2+2kx-2=0. O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知双曲线 C:x2-
当 A, B 在双曲线的一支上且|x1|>|x2| 时,

y2=1 及直线 l:y=kx-1.

1 (1)若 l 与 C 有两个不同的交 S△OAB = S△OAD - S△OBD = 2 (|x1| - |x2|) 1 点,求实数 k 的取值范围; =2|x1-x2|; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, 当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2

O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类

时,
1 S△OAB = S△ODA + S△OBD = 2 (|x1| + |x2|) 1 =2|x1-x2|.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知双曲线 C:x2-

y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交

1 ∴S△OAB= |x1-x2|= 2, 2 ∴(x1-x2)2=(2 2)2,

-2k 2 8 即( )+ =8,解得 k=0 或 1-k2 1-k2 点,求实数 k 的取值范围; 6 k=± 2 . (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, 又∵- 2<k< 2,且 k≠± 1,

O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类

6 ∴当 k=0 或 k=± 2 时,△AOB 的 面积为 2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线与双曲线的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知双曲线 C:x2- (1)研究直线与双曲线位置关系问题
的通法:将直线方程代入双曲线方 程,消元,得关于 x 或 y 的一元二 次方程.当二次项系数等于 0 时, 直线与双曲线相交于某支上一点, 次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和
弦斜率的关系问题,但需要检验.

y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交 点,求实数 k 的取值范围;

(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, 这时直线平行于一条渐近线;当二 O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长 为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取 值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m), 求 m 的取值范围.
解 x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 x2 2 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长 为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取 值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m), 求 m 的取值范围.
?1-3k2≠0, ? 2 Δ = 36 ? 1 - k ?>0, ? ? 6 2k 由题意知?xA+xB= 2<0, 1-3k ? ? -9 ?xAxB= 2>0, 1 - 3 k ?
思想方法 练出高分

得,(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.
3 解得 3 <k<1.
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跟踪训练 3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长 为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取 值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m), 求 m 的取值范围. 3 ∴当 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3 6 2k (3)由(2)得:xA+xB= , 1-3k2 2 2 ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2)=k(xA+xB)+2 2= . 1-3k2 3 2k 2 ∴AB 的中点 P 的坐标为( , ). 1-3k2 1-3k2
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长 为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取 值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m), 求 m 的取值范围.

1 设直线 l0 的方程为 y=-kx+m, 4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= 2. 1-3k 3 ∵ 3 <k<1,∴-2<1-3k2<0. ∴m<-2 2.∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).
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题型分类·深度剖析
易错警示系列11 忽视“判别式”致误
2

y2 典例:(12 分)已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线 2 交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列11 忽视“判别式”致误
2

y2 典例:(12 分)已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线 2 交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要 方法, 在解决直线与圆锥曲线相交的问题时, 有时不需要考虑 判别式, 致使有的考生思维定势的原因, 任何情况下都没有考 虑判别式,导致解题错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列11 忽视“判别式”致误
2

y2 典例:(12 分)已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线 2 交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

易 错 分 析


规 范 解 答

温 馨 提 醒

设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0),
2分 3分

若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意.
设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),

即 y=kx+1-k.
y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① x - =1, ? 2 ?

6分

x1+x2 k?1-k? ∴x0= 2 = . 2-k2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列11 忽视“判别式”致误
2

y2 典例:(12 分)已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线 2 交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒
8分

k?1-k? 由题意,得 =1,解得 k=2. 2-k2
当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0.

Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.

11分

∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点.
12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列11 忽视“判别式”致误
2

y2 典例:(12 分)已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线 2 交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度 不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与 双曲线是否相交的判断,从而导致错误, 因为所求的直线是基于假设存 在的情况下所得的.
(2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出 AB 的斜率,进而求方 程;也可以设斜率 k,利用待定系数法求方程.

(3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

x2 y2 1.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的 a b x2 y2 双曲线的方程可设为a2-b2=t (t≠0).

2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时, 只要令双曲线的标准方程中 “1”为“0” 就得到 x2 y2 x2 y2 两渐近线方程, 即方程a2-b2=0 就是双曲线a2-b2 =1 (a>0,b>0)的两条渐近线方程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中的 a,b, c 大小关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2

失 误 与 防 范

=a2+b2.

2 .双曲线的离心率 e∈(1 ,+ ∞) ,而椭圆的离心率 e∈(0,1).
x2 y2 b 3. 双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的渐近线方程是 y=± x, a b a y2 x2 a a2-b2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± bx.

基础知识

题型分类

思想方法

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思想方法·感悟提高

4. 若利用弦长公式计算, 在设直线斜率时要注意说明斜

失 误 与 防 范

率不存在的情况.

5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当 直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切 时,直线与双曲线仅有一个交点.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 1.(2013· 北京)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线 a b 方程为 A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 B.y=± 2x 2 D.y=± x 2 ( B )

解析 由 e= 3,知 c= 3a,得 b= 2a.
b ∴渐近线方程为 y=± x,y=± 2x. a
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5
6 7 8 9 10

π x2 y2 2.(2013· 湖北)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 4 cos θ sin θ y2 x2 与 C2: 2 - 2 =1 的 ( D ) sin θ sin θtan2θ A.实轴长相等 C.焦距相等
解析

B.虚轴长相等 D.离心率相等

2 2 sin θ + cos θ 1 2 双曲线 C1:e1= =cos2θ, cos2θ

2 2 2 sin θ + sin θ tan θ 1 2 2 双曲线 C2:e2= =1+tan θ=cos2θ, sin2θ

∴C1,C2 离心率相等.
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5
6 7 8 9 10

3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂 直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 ( B ) C.2 D.3 x2 y2 设双曲线的标准方程为 a2-b2=1(a>0,b>0),由于

解析

直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线 l 的方程 2 4 x2 y2 c b 为 x=c 或 x=-c, 代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2, ∴y a b a a c2-a2 b2 2b2 2b2 b2 =±a ,故|AB|= a ,依题意 a =4a,∴a2=2,∴ a2 = e2-1=2,∴e= 3.
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x2 y2 x2 y2 4.以椭圆 + =1 的右焦点为圆心,且与双曲线 - = 169 144 9 16 1 的渐近线相切的圆的方程是 A.x2+y2-10x+9=0 C.x2+y2+10x+9=0 ( A ) B.x2+y2-10x-9=0 D.x2+y2+10x-9=0

20 解析 由于右焦点(5,0)到渐近线 4x-3y=0 的距离 d= =4, 5
所以所求的圆是圆心坐标为(5,0),半径为 4 的圆.即圆的 方程为 x2+y2-10x+9=0.
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x2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是 a b 该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) ( ) D.(2,1+ 2) b2 解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, ),B(-c, a b2 → → - a ),E(a,0), 因为△ABE 是锐角三角形,所以EA · EB>0,

b2 b2 → → 即EA· EB=(-c-a, a )· (-c-a,- a )>0,
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x2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是 a b 该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) ( B ) D.(2,1+ 2)

整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0,
∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1,

∴e∈(1,2),故选 B.
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6. 已知双曲线的渐近线方程为 x± 2y=0, 且双曲线过点 M(4, 3), x2 2 -y =1 4 则双曲线的方程为____________.

x 解析 ∵双曲线过点 M(4, 3),M 在 y= 下方, 2 ∴双曲线焦点在 x 轴上, x2 y2 b 1 设双曲线方程为 2- 2=1,又 = , a b a 2 x2 y2 因此设 a=2k,b=k(k>0),∴4k2-k2=1, x2 2 代入 M(4, 3)解得 k=1,a=2,b=1, ∴方程为 4 -y =1.
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x2 y2 4 7.已知双曲线 - =1 的离心率是 3,则 n=_____. n 12-n
解析 根据双曲线方程得 n(12-n)>0,∴0<n<12,

∴a2=n,b2=12-n,c2=a2+b2=12,

c 12 则双曲线的离心率 e=a= = 3,∴n=4. n

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x2 y2 8.(2013· 湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个 a b 焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 的最小内
3 角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________ .
解析 不妨设|PF1|>|PF2|,

则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a,

∴|PF1|=4a,|PF2|=2a.
又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30° ,
由正弦定理得,∠PF2F1=90° ,∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= 2a = 3.
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9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的 圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积.
(1)解 ∵离心率 e= 2,
2 2 可设其方程为 x - y =λ(λ≠0), ∴双曲线为等轴双曲线,

则由点(4,- 10)在双曲线上,

可得 λ=42-(- 10)2=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6.
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专项基础训练
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9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的 圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积.
(2)证明 ∵点 M(3,m)在双曲线上,

∴32-m2=6,∴m2=3,
又双曲线 x2-y2=6 的焦点为 F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m)
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5
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9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的 圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积.
=(-3)2-(2 3)2+m2=9-12+3=0,

∴MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. 1 (3)解 S ?F1MF =2×4 3×|m|=6.
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10.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同 的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由.

解 (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程
2x2-y2=1 后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①

依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,
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10.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同 的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由.

?k2-2≠0, ? 2 2 ?Δ=?2k? -8?k -2?>0, ? 2k 故?- 2 >0, k - 2 ? ? 2 ?k2-2>0. ?
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10.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同 的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由.
解得 k 的取值范围是-2<k<- 2. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), ? ?x1+x2= 2k 2, 2-k ? 则由①式得? 2 ?x · . 1 x2= 2 ? k -2 ?
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10.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同 的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由.
假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲 线 C 的右焦点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.

整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.
基础知识 题型分类 思想方法


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A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同 的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由.

6 把②式及 c= 2 代入③式化简得 5k2+2 6k-6=0. 6+ 6 6- 6 解得 k=- 5 或 k= 5 ?(-2,- 2)(舍去), 6+ 6 可知存在 k=- 5 使得以线段 AB 为直径的圆经过双
曲线 C 的右焦点.
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专项能力提升
3 4 5 6

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B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( D ) 3+1 5+1 A. 2 B. 3 C. D. 2 2 x2 y2 解析 设双曲线方程为 a2 - b2 = 1(a>0 ,

b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方 b b b b 程为 y=ax,而 kBF=-c,∴ · (- )=-1, a c 整理得 b2=ac.

∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 e= 2 或 e= 2 (舍去),故选 D.
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专项能力提升
3 4 5 6

2.(2013· 重庆)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O, 所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取 值范围是 ?2 3 ? ? ? A.? ,2? ? 3 ?
解析
?2 3 ? ? ? B.? ,2? ? 3 ? ?2 3 ? ? ? C.? ,+∞? ? 3 ? ?2 3 ? ? ? D.? ,+∞? ? 3 ?

( A)

由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)

对称.又由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐 b 1 b2 近线的倾斜角范围是大于 30° 且小于等于 60° , 即 tan 30° < ≤tan 60° , ∴ < 2 a 3 a c 2 c2 b2 4 2 3 2 ≤3.又 e =( ) = 2=1+ 2,∴ <e2≤4,∴ <e≤2,故选 A. a a a 3 3

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专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 3.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 a b 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲 线的离心率是 A.4+2 3 B. 3-1 3+1 C. 2 ( D ) D. 3+1

解析 因为 MF1 的中点 P 在双曲线上, |PF2|-|PF1|=2a,
△MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a,

c 2 所以 e= = = 3+1,故选 D. a 3-1
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B组

专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 4.(2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上 9 16 的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则

44 . △PQF 的周长为________

解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.
∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,

因此△PQF 的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.
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B组

专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P a b 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最 大值为________.
解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=3a,|PF2|=3a.
在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 2 得 cos∠F1PF2= = - e. 8 2 8 8 2·a·a 3 3
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专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P a b 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最
5 3 大值为________ .

要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值,
5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e=3,

5 即 e 的最大值为3.
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B组

专项能力提升
3 4 5 6

4 6.已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线 5 以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线 上一点 P,连接 BP 交椭圆于点 M,连接 PA 并延长交椭圆于 → =MP → ,求四边形 ANBM 的面积. 点 N,若BM

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B组 专项能力提升
3 4 5 6



2 2 ? a - b 4 2 2 ? x y =5, a 则根据题意知双曲线的方程为 2- 2=1 且满足? a b ?2 a2+b2=2 34, ? 2 ? ?a =25, 解方程组得? 2 ? ?b =9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9

x2 y2 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

(2)由(1)得 A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,

→ → 设 M(x0,y0),则由BM=MP得 M 为 BP 的中点,

所以 P 点坐标为(2x0-5,2y0).
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1 2

B组 专项能力提升
3 4 5 6

将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,
2 2 ? x0 y0 ?25+ 9 =1, 得? 2 2 ? 2 x - 5 ? 4 y 0 0 ? - 9 =1, ? 25

消去 y0,得 2x2 0-5x0-25=0.

5 3 3 解之,得 x0=-2或 x0=5(舍去).∴y0= 2 .
5 3 3 当 P 为(-10,3 3)时, 由此可得 M(-2, 2 ),∴P(-10,3 3).

3 3 直线 PA 的方程是 y= (x+5), -10+5
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B组 专项能力提升
3 4 5 6

3 3 x2 y2 即 y=- (x+5),代入 + =1, 5 25 9
得 2x2+15x+25=0.
5 所以 x=- 或-5(舍去), 2

5 ∴xN=- ,xN=xM,MN⊥x 轴. 2 1 3 3 ∴S 四边形 ANBM=2S△AMB=2×2×10× 2 =15 3.

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