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2007年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷


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2007 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷
(9 月 23 日上午 8:30~10:30) 一、选择题(每题 6 分,共 36 分) 1、若点 P(x,y)在直线 x+3y=3 上移动,则函数 f(x,y)= 3 ? 9 的最小值等于(
x y



(A) 5 (

27 4

1

)

5

(B) 7 (

27 9

1

)

7

(C) 7 (

16 9

1

)

7

(D) 3 ( ) 3
2

5

1

2、满足 y ?

x?3 ?

( x ? 2007 的正整数数对(x,y)



(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在 3、设集合 M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M ? N 使对任意的 x∈M,都有
x ? f ( x ) ? xf ( x ) 是奇数,则这样的映射 f 的个数是(

) (D)11 )

(A)45 4、设方程
x sin( 19
2 2007 ?

(B)27
? y cos( 19
2 2007 ?

(C)15
? 1 所表示的曲线是(

)

)

(A)双曲线 (B)焦点在 x 轴上的椭圆 (C)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确 5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是 偶数,则称这个数为“奇和数” 。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200 6、设 a 1 ? 6 , a n ?1 ? [
5 4 an ? 3 4 a n ? 2 ]( n ? N ) ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数。则
2 ?

a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 2007 的个位数字为(

) (C)3 (D)4
x ? 3y ? 2z ? 0
2 2 2

(A)1 (B)2 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

1、已知三个正整数 x,y,z 的最小公倍数是 300,并且 ? 解(x,y,z)= 。
2 2

?

?2 x ? 3 y ? z

? 0

,则方程组的

2、已知关于 x 的实系数方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 和 x ? 2 mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面 上对应的点共圆,则 m 的取值范围是
? ? ? ? ? ?


? ? ? ?
? ?

3、设平面上的向量 a , b , x , y 满足关系 a ? x ? y , b ? 2 x ? y ,又设 a 与 b 的模为 1,且互
?

?

相垂直,则 x 与 y 的夹角为



4、设函数 f 0 ( x ) ? | x |, f 1 ( x ) ? | f 0 ( x ) ? 1 |, f 2 ( x ) ? | f 1 ( x ) ? 1 | ,则函数 f 2 ( x ) 的图象与 x 轴
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所围成图形中的封闭部分的面积是 。 5、已知单位正方体 ABCD—EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q、P。若△PQG 与△BDE 相截 得到的线段 MN 长度为 y,设 AQ=x(0≤x≤1) ,则 y 的最小值写成关于 x 的函数关系式 是 。 6、 a1, 2, a2007 均为正实数, 设 a ?, 且 的最小值是 。
1 2 ? a1 ? 1 2 ? a2 ? ???? 1 2 ? a 2007 ? 1 2

, a 1 a 2 ? ? ? a 27 则 0

三、 (20 分)已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且满足 abc= 2 ( a ? 1)( b ? 1)( c ? 1). (1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若 a>1,b>1,c>1,求出△ABC 周长的最小值。 四、 (20 分)已知⊙O1 与⊙O2 相交于两不同点 A、B,点 P、E 在⊙O1 上,点 Q、F 在⊙O2 上, 且满足:EF 为两圆的公切线,PQ∥EF,PE 与 QF 相交于点 R。证明:∠PBR=∠QBR。

五、已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 过定点 A(1,0) ,且焦点在 x 轴上,椭圆与曲线|y|=x 的交点为

B、C。现有以 A 为焦点,过点 B、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为 M(m,0) 。 当椭圆的离心率 e 满足
2 3 ? e ? 1 时,求实数 m 的取值范围。
2

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参考答案 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. (A)
3? x

f ( x) ? 3 ? 9
x

y

?3 ?9
x x 1? 2 3 x

3

?3 ?3
x 1? 2 3 x

2 (1?

x 3

)

?3 ?3
x

2?

2 3

x

解:
? 1 2
1 4

?3 ?
x

1 2

?3 ? 3

?3

?3

1?

2 3

x

? 5?5

1 2

?3 ?
x

1 2

?3 ?3
x

1?

2 3

x

?3

1?

2 3

x

?3

1?

2 3

x

=5 ?

5

?3

3

? 5?(

27 4

1

) ,等号当且仅当
5

1 2

?3 ? 3
x

1?

2 3

x

,即 x ?

3 5

(1 ? log

3

2 ) 时成立,

故 f(x,y)的最小值是 5 ? ( 2、 (B)

27 4

1

)5

解 : 设 a ? x ? 3 , b ? x ? 2007 , 其 中 a , b 均 为 自 然 数 , 则 y=a+b ,
2 2

b ?a
2

2

? ( b ? a )( b ? a ) ? 2004 ? 2 ? 3 ? 167 。因为 b+a 与 b-a 有相同的奇偶性,且
2

b+a>b-a,所以 ?

? b ? a ? 1002 ? b?a ? 2

或?

? b ? a ? 334 ? b?a ? 6

解得 ?

? a ? 500 ? b ? 502

或?

? a ? 164 ? b ? 170

3、 (A) 解:当 x=-2 时,x+f(x)+xf(x)=-2-f(-2)为奇数,则 f(-2)可取 1,3,5,有三 种取法;当 x=0 时,x+f(x)+xf(x)=f(0)为奇数,则 f(0)可取 1,3,5,有 3 种取 法;当 x=1 时,x+f(x)+xf(x)=1+2f(1)为奇数,则 f(1)可取 1,2,3,4,5,有 5 种取法。由乘法原理知,共有 3×3×5=45 个映射。 4、 (C) 解: 19
2007

? 19 ? (19 )
2 2007 ?

1003

? 19 ? ( 360 ? 1)
?

1003

? 19 ( 360 n ? 1)( n ? N )
? 2007

?

于是, sin( 19
?

) ? sin( 360 ? 19 n ? 19 ) ? sin 19 ,同理 cos( 19
?

) ? cos 19 。

?

?

因为 cos 19 ? sin 19 ? 0 ,故应选(C) 5、 (A)
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解:设三位数是 a 1 a 2 a 3 ,则 a 1 a 2 a 3 + a 3 a 2 a 1 ? 100 ( a 1 ? a 3 ) ? 10 ( a 2 ? a 2 ) ? ( a 1 ? a 3 ) 。 若 a 1 ? a 3 不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以 a 1 ? a 3 =11,13,15,17。 因 11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以 a 1 , a 3 取值有 4 A 2 种可能; 因 13=9+4=8+5=7+6,所以 a 1 , a 3 取值有 3 A 2 种可能; 因 15=9+6=8+7,所以 a 1 , a 3 取值有 2 A 2 种可能; 因 17=9+8,所以 a 1 , a 3 取值有 A 2 种可能; 由于 a 2 ? a 2 不能进位,所以 a 2 只能取 0,1,2,3,4。 因此,满足条件的数共有:5( 4 A 2 + 3 A 2 + 2 A 2 + A 2 )=100(个) 6、 (B) 解:由 a 1 ? 6 ? 5 ? 2
an ? 5 ? 2
n ?1

2

2

2

2

2

2

2

2

1 ?1

? 1, a 2 ? 11 ? 5 ? 2

2 ?1

? 1,? ? ?, 猜想:

? 1 。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略)

于是,当 n>1 时, a n ? 1(mod 10 ). 故 a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 2007 ? 6 ? 2006 ? 2 (mod 10 ) 因此,应选(B) 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. (20,60,100) 解:记方程组中的两个方程为(1)(2) , ,消去 x 得
5 y ? 8 yz ? 3 z
2 2

? 0 ,即 ( 5 y ? 3 z )( y ? z ) ? 0

所以 5 y ? 3 z ? 0 , 或
y ? z ? 0,

(3) (4)

由(1)(3)得 y ? 3 x , z ? 5 x ,即 x:y:z=1:3:5,于是,由已知条件,必有 x=20, 、 y=60,z=100; 由(1) ,得 x=-y=-z,与已知条件矛盾。 (4) 2.{m|-1<m<1 或 m=-3/2} 解:易知方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 1 ? i , x 2 ? 1 ? i .
2

当 ? ? 4 m ? 4 ? 0 , ? 1 ? m ? 1 时, 即 方程 x ? 2 mx ? 1 ? 0 有两个共轭的虚根 x 3 , x 4 ,
2 2

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且 x 3 , x 4 的实部为 ? m ? 1 ,这时 x1 , x 2 , x 3 , x 4 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它 们共圆。 当 ? ? 4 m ? 4 ? 0 ,即 m ? ? 1 或 m ? 0 时,方程 x ? 2 mx ? 1 ? 0 有两个不等的实根
2 2

x 3 , x 4 ,则 x 1 , x 2 对应的点在以 x 3 , x 4 对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为 ( x ? x 3 )( x ? x 4 ) ? y
2

? 0 , x ? y ? ( x3 ? x4 ) x ? x3 x4 ? 0 , x3 ? x4 ? ?2 m , x3 x4 ? 1 即 将
2 2

及 x 1 , x 2 对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得 m ? ? 故 m 的取值范围是{m|-1<m<1 或 m=-3/2} 3、 ? ? arccos(
10 10
a ?b 3
?

3 2



)

解 : 由 已 知 , 得 x ?
x? y
?

,y ?

b ? 2a 3

, 设 x 与 y 的 夹 角 为 ? , 则

?

?

cos ? ?

| x |?| y |

?

?

? ?

10 10

,所以 ? = ? ? arccos(

10 10

)

4、 7 解:函数 y ? f 2 ( x ) 的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为
S 梯形 ABCD ? S ? CDE ?
6 2 6 3? x

1 2

(2 ? 6) ? 2 ?

1 2

? 2 ?1 ? 7

5、 y ?

?

y D2 A 1E 1 C B 2 3 x

解:当 AQ=x 时,设 GQ 与面 BDE 交于 点 N,作 NM⊥BD 于点 M,联结 QM 交直 线 BC 于点 P ,取点 P 为点 P,知此时
' '

-3 -2 -1 O

y=|MN|最小。 建立如图 1 的空间直角坐标系,则 Q(0,x,1)且△BDE 所在平面上的点(x,y,z)满足 x+y=z,故可令 N ( x 0 , y 0 , x 0 ? y 0 ) 。 由点 N 在 QG 上,知在(0,1)内存在λ 使 QN=λ QG。 代入消去λ 得 2 x 0 ? y 0 ? 1, x 0 ( x ? 1) y 0 ? x . 从而, x 0 ?
, y0 ? 3? x 3? x 1? x 1? x 2 , , ). 于是, N ? ( 3? x 3? x 3? x
第 5 页 共 8 页

z A BG Q Q M Q P D Q N C

1? x

1? x

H EB Q G FG Q 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com G Q x Q

y

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而点 M 在 BD 上,故可令 M ( x 1 ,1 ? x 1 ,1). 由 MN ? BD ? 0 ,知 x 1 ?
3 1? x ( ). 2 3? x
6 2 ? 6 3? x .

于是, y ? | MN |?

6 1? x ( ) ? 2 3? x

6、 4012

2007

解:设 x i ?
a 1 a 2 ? ? ? a 2007 ? 2
2007

2 2 ? ai

,则 a i ? 2 ?

1 ? xi xi

,且 ? x i ? 1 ,所以
i ?1

2007

?

1 x 1 x 2 ? ? ? x 2007
1 x 1 x 2 ? ? ? x 2007
2007

? ( x 2 ? x 3 ? ? ? ? ? x 2007 ) ? ( x 1 ? x 3 ? ? ? ? ? x 2007 ) ? ? ? ( x 1 ? x 2 ? ? ? ? ? x 2006 )

? 2

2007

?

? 2006 ? 2006 x 2 x 3 ? ? ? x 2007 ? 2006 ? 2006 x 1 x 3 ? ? ? x 2007 ? ? ? 2006 ? 2006 x 1 x 2 ? ? ? x 2006

=2

2007

? 2006

? 4012

2007

三、满分 20 分 解: (1)不妨设整数 a≥b≥c,显然 c≥2。 若 c≥5,这时
1 a ? 1 b ? 1 c ? 1 5 .

由 abc ? 2 ( a ? 1)( b ? 1)( c ? 1) ,可得
1 2 ? (1 ? 1 a )( 1 ? 1 b )( 1 ? 1 4 3 )? ( ) 。 c 5

矛盾。 故 c 只可能取 2,3,4。 当 c=2 时, ab ? ( a ? 1)( b ? 1) ,有 a ? b ? 1 . 又 a≥b≥2,故无解。 当 c=3 时, 3 ab ? 4 ( a ? 1)( b - 1) ,即 ( a ? 4 )( b ? 4 ) ? 12 又 a≥b≥3,故
?a ? 4 ? 6 ?a ? 4 ? 4 ? a ? 4 ? 12 或? 或? ? ?b ? 4 ? 2 ?b ? 4 ? 3 ? b?4 ?1

解得 ?

? a ? 16 ?b ? 5

或?

? a ? 10 ?b ? 6

或?

?a ? 8 ?b ? 7

能构成三角形的只有 a=8,b=7,c=3。
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当 c=4 时,同理解得 a=9,b=4 或 a=6,b=5。 能构成三角形的只有 a=6,b=5,c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为 4,5,6 或 3,7,8 (2)由 abc ? 2 ( a ? 1)( b ? 1)( c ? 1) ,可得
(1 ? )?[ 1 a 3 ) ? (1 ? 1 b ) ? (1 ? 1 c ) ]
3

1 2

? (1 ?

1 a

)( 1 ?

1 b

)( 1 ?

1 c

所以,

1 a

?

1 b

?

1 c

? 3?

2
3

2

( 又 a ? b ? c )(

1 a

?
9

1 b

?

1 c
?

) ? 9 ,则有
9 3? 2
3

a?b?c ?

1 a

?

1 b

?

1 c

?

33 2
3

2 ?1

2
3

故△ABC 的周长最小值为
3

33 2 2 ?1

,当且仅当 a ? b ? c ?

2

3

2 ?1

时,取得此最小值。

四、满分 20 分 证明:如图 2,设⊙O1 的半径为 r1, BR ? EQ ? Z , BG ? EP ? X , BH ? FQ ? Y ,
PQ ? EO 1 ? N 1 , PQ ? FO ? N2, ? M 2, ? b.

2

A P O1 G X M1 E N1 Z O2 B M2 F Y H N2 Q

BG ? EO 1 ? M 1 , BH ? FO EM ? FM ? a , EN

2

1

2

1

? FN

2

易知 EG ?
a b EX EG a b

2 r1 a , EP ?
a b

2 r1 b

EX ?

EP ?

?

2 r1 a 。

R



?

由△EGX∽△BPX,知

EX EG

?

BX BP

?

a b

同理,

BY BQ

?

a b

。故

BX BP

?

BY BQ

,即

BP BQ

?

BX BY

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由 PQ∥XY,知 五、满分 20 分
PZ ZQ ? BX BY ? BP BQ

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,所以∠PBR=∠QBR

解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a=1,c= 1 ? b , e ?
2

1? b

2



2 3

? e

2

? 1 ,∴ 0 ? b ?

3 3

,由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y=x(x≥0)

的交点,就必过椭圆与射线 y=-x(x≥0)的交点
? y ? x( x ? 0) ? 2 解方程组 ? 2 ,得 x ? y ? y x ? 2 ?1 ? b ?

b 1? b
2

∵ b ? (0,

3 3

) ,∴ 0 ? x ?

1 2

设抛物线方程为: y ? ? 2 p ( x ? m ), p ? 0 , m ? 1
2

又∵

p 2

? m ? 1 ,∴ y 1 2
2

2

? 4 (1 ? m )( x ? m ), m ? 1

y ? x, x ? (0,
2

) 得 x ? 4 ( m ? 1 ) x ? 4 m ( m ? 1) ? 0 1 2 )

令 f ( x ) ? x ? 4 ( m ? 1) x ? 4 m ( m ? 1), ( m ? 1, 0 ? x ? ∵ f ( x ) 在 ( 0 , ) 内有根且单调递增。
2
f ( 0 ) ? ? 4 m ( m ? 1) ? 0 1 f( ) ? ? 2 ( m ? 1) ? 4 m ( m ? 1) ? 0 ? 2 4 ? ? ? 1

1

∴?

∴?3 ?
? ?

? ?

m ? 1或 m ? 0 2 3? 2 ? m ? 4 4

故1 ? m ?

3? 4

2

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