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高中数学必修4第二章平面向量课件


平面向量基本定理

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1、向量加法的平行四边形 法则 2、共线向量的基本定理

设e1、 2 是同一平面内的两个不共 e
线的向量,a 是这一平面内的任一向量,

e 我们研究 a 与 e1、 2 之间的关系。
e1
研究 a

e2

/>
OC = OM + ON = 即 a=

?1OA ?1e1 ?2e2 . +
A

+

?2OB
C

e1

M a

a
N
e2

e2
O

e1

B

平面向量基本定理 如果e1 e2 是同一平面内的两个不 、 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数 ?1 ?2使 、 e e a = ?1 1 + ?2 2

我们把不共线的向量e1 e 叫做表 、 2 这一平面内所有向量的一组基底。

思考
(1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M C M A O a N B

a O N
E

思考

(2)若基底选取不同,则表示同一
向量的实数?1、 2 ? 是否相同? (可以不同,也可以相同) M C F OC = OF + OE B a OC = 2OA + OE A

OC = 2OB + ON

O

N

E

特别的,若 a = 0 ,则有且只有 :

?1= ?2 = 0
可使 0 =

?若 ?1与?2中只有
一个为零,情况会 是怎样?

?1e1 + ?2e2 .

特别的,若 a与 e1(e2)共线,则有

?2 =0( 1 =0),使得: ? a = ?1e1 + ?2e2 .

例3: 已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 +3 e2

C
e2

B

A
e1 2.5e ?
1

3e2

· O

例4
且 AB ? a , ? b,用a、 AD b表示MA MB、 、 ? 、 MC MD

如图所示,平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 , M

D M
A B

C

例5、 如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的 中点. C D M 请大家动手, 在图中确一组 基底,将其他向 量用这组基底表 A N B 示出来。

解析: 设AB = e1 ,,AD = e2 ,则有:
1 1 DC = 2AB = 2e1

BC = BD + DC 1= (AD–AB)+DC 1 = e2 - e1 2 e1= - 2 e1 + e2 + MN = DN-DM D M 1 =(AN-AD)- 2 DC =

C

=

1 2 e1 1 e1 4

e2 e2 .

1 4 e1

A

N

B

评析 能够在具体问题中适当地选取 基底,使其他向量能够用基底来表 示,再利用有关知识解决问题。

例5

ABCD中,E、F分别是DC和AB

的中点,试判断AE,CF是否平行?
D E C

A

F

B

解:设AB= a,AD= b. E D ?E、F分别是DC和 AB的中点, ?AE= AD+1 DE A F = b+ 2 a 1 CF= CB+ BF = -b - 2a ?AE= - CF ?AE与CF共线,又无公共点 ? AE,CF平行.

C

B

思考

设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: A、B、D三点共线 ?

?AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.

由于BD = CD – CB
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = ?(a – 4b ) 2 = ? 由向量相等的条件得 k = 4?

?k =

8.

此处可另解: 则需 2a + kb =

? (a

– 4b )

即(2 -

?)a

+(k - 4 ? = 0 )b

?

2 -? = 0 k – 4?= 0

?k =

8.

课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理学 中的力的分解模型来理解,它说明在同一

平面内任一向量都可以表示为不共线向量
的线性组合,该定理是平面向量坐标表示 的基础,其本质是一个向量在其他两个向

量上的分解。

评析 本题在解决过程中用到了两向量共 线的充要条件这一定理,并借助平面向 量的基本定理减少变量,除此之外,还

用待定系数法列方程,通过消元解方程
组。这些知识和考虑问题的方法都必须

切实掌握好。

2. 在实际问题中的指导意义在于找

到表示一个平面所有向量的一组基底
(不共线向量 e1 与 e2),从而将问题 转化为关于 e1 e2的相应运算。 、

思考 在梯形ABCD中,E、F分别时AB、CD 的中点,用向量的方法证明:
1 (AD+BC) 2

EF//AD//BC,且EF =

二、向量的夹角: ? ? ? 两个非零向量b , a b ? ? ?AOB ? ? 叫做向量 ? O a ? a 和 b 的夹角.注意:同起点 夹角的范围: (0? ? ? ? 180? ) B
? O b B

B A

? a

A
?

? ?0

? B b

? a
O
?

? b

? ?

A

O

a
A

? ? 180

? ? 90?

例3:如图,等边三角形中,求
(1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。
C
'

C
120
0

注意:同起点

A

60

?

B

P48

交流与探究
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点, ??? ? ??? ? ? ? ?? ? 若OA a,OB=b,则OM ? =
o

? 1 ? ( ? b a ) 2
M

A

B

已知点M 是三角形AOB的边AB的中点, ??? ? ??? ? ? ? ?? ? 1 ? ? ( ?b a ) 若OA a,OB=b,则OM ? =
变式探究:
(1)若P是AB靠近A的三等分点, ?? ? 则OP ?

2

?? ?? ? ? (2)若AP=t AB , ?? ? 则OP ?

?? 2 ? 1 ? ? OP ? a+ b 3 3
A

o

P M

B

?? ? ? ? OP ? 1 t) tb (- a+

小结

作业


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