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概率统计期中试题及答案


一、填空题 1、 设 A,B 为两个随机事件, P(A)=0.5, P(A∪ B)=0.7, 若 A 与 B 互斥, 则 P(B)= 0.2 。

2、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,则这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 13/21 。

3 、 三 个 人 进 行 射 击 , 令 Ai 表 示 “ 第 i 人 击 中 目

标 ” , 则 至 少 有 两 人 击 中 目 标 为

A1 A2? A1 A ? 3

A2 。 A3

4、 四人独立的破译密码,他们能译出的概率分别为 1/5 , 1/4 ,1/3 ,1/6 , 则密码能被译出的概率 2/3 。 5、在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,求击中目标 的次数 X 的分布及最有可能击中次数为 6、设(X, Y)的联合概率分布列为 B(5,0.6) ;3

。 1 2/20 3/20 2 6/20 1/20

Y X -1 2

-1 5/20 3/20

则 Z=max(X,Y)的分布列为 Z p -1 1 2
率为 3/4,他 。 2/3 。

1/4 1/10 13/20

7、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概 连续射击直到命中为止,则射击次数为 3 的概率是 3/64 8、 已知 (X, Y)的联合概率密度 f ( x, y ) ? ?

?4 xe ?2 y , 0 ? x ? 1, y ? 0 , 则 EX = 其它 ? 0

9、若随机变量 X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且 X 与 Y 相互独立。设 Z=2X-Y+5,则 Z ~ N(-2,25) 。 10、设随机变量 X,Y 是相互独立的,且 X 和 Y 的分布分别为:

X 0 1 2 3 p 1/2 1/4 1/8 1/8 Y -1 0 1 p 1/3 1/3 1/3 则 P( X ? Y ? 2) = 1/6


二、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的两倍,第 二、第三厂家相等,且第一、第二、第三厂家的次品率依次为 2%,2%,4%。在市场上随
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机购买一件商品,问(1)该件商品为正品的概率是多少?(2)若该件商品为次品,则它是 第一厂家生产的概率为多少? 解:设任购一件商品,它恰好来自第 i 家厂生产的事件记为 Ai,i=1、2、3;设该商品恰好 是次品事件记为 B。 (1) P( B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? P( A3 ) P( B | A3 )

?

2 1 1 1 ? 0.02 ? ? 0.02 ? ? 0.04 ? ? 0.025 4 4 4 40

P(B) ? 1 ? P(B) ? 0.975
(2) P( A1 | B) ?

P( A1B) P( A1 ) P( B | A1 ) ? P( B) P( B)
2 / 4 ? 0.02 ? 0.4 0.025

?

x ?1 ?0 ? 0.4 1 ? x ? 2 三、已知离散型随机变量 X 分布函数为: F ? x ? ? ? 。求: 0.8 2 ? x ? 4 ? x?4 ?1 (1)X 的分布律; (2)EX、DX。 (3) P( X ? 3 | X ? 1)
解: (1) X 的分布律为: X P 1 0.4 2 0.4 4 0.2

(2)EX=1?0.4+2?0.4+4?0.2=2;EX2=1?0.4+4?0.4+16?0.2=5.2

DX ? EX 2 ? ( EX ) 2 ? 5.2 ? 4 ? 1.2
(3) P( X ? 3 | X ? 1) ?

2 P( X ? 3, X ? 1) P( X ? 2) 0.4 ? ? ? P( X ? 1) P( X ? 2) ? P( X ? 4) 0.4 ? 0.2 3

七、某教师总是早上 6 点准时出门去车站赶 6 点 15 分准时发车的校车上班,已知他到达车 站需用时 X(分钟)服从 N(12,4)。本学期他每周要去学校四次,问至少有三次能赶上校车 的概率是多少? x 0 .5 1 .5 1 2 解:设 4 次中能赶上校车的次数为 Y。 Φ ?x? 0.692 0.841 0.933 0.977 则 Y 服从 B(4,p) 其中, p ? P(0 ? X ? 15) ? P(

0 ? 12 X ? 12 15 ? 12 ? ? ) ? ?(1.5) ? ?(?6) 2 2 2

? ?(1.5) ? ?(6) ? 1 ? 0.933
3 3 4 4 P(Y ? 3) ? C4 p (1 ? p) ? C4 p ? 4 ? (0.933 ) 3 ? (1 ? 0.933 ) ? (0.933 ) 4 ? 0.975412

八、 (15 分)设随机向量(X,Y)联合密度为

? Ae?2( x ? y ) , f (x, y)= ? ?0,

x ? 0, y ? 0 ; 其它.
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(1) 确定常数 A; (2)求 P{ 0<X≤1,0<Y≤2}; (3)判断 X,Y 是否独立,并说明理由。 解: (1)由 1=

? ?
??

??

??

??

f ( x, y)dxdy ??
?? ??

??

0

?

??

0

Ae?2( x? y ) dxdy ? A? e?2 x dx ? ? e?2 y dy
0 0

??

??

1 1 = A(? e?2 x )(? e?2 y 2 2 0
(2)P{ 0<X≤1,0<Y≤2}= = (?e
?2 x 1 0

)?
0

A , 可得 A=4。 4
1 2 0 0

? ? 4e
0 0
2 0

2

1

? (2 x ? 2 y )

dxdy ? ? 2e?2 x dx ? ? 2e?2 y dy

)(?e?2 y ) ? (1 ? e?2 )(1 ? e?4 ).

(3)因(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘概率密度分别为 fX (x)= ?

?2e ?2 x , ?0,

x ? 0; 其它.



fY (y)= ?

?2e?2 y , ?0,

y?0 ; 其它.



则对于任意的 ( x, y) ? R 2 , 均成立 f (x, y)= fX (x)* fY (y),所以 X 与 Y 独立。

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