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高三数学期末复习解答题2


高三期末综合题(二)
? ? 3? ? 1.已知: A 、 B 、 C 三点坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos ? , sin? ) , ? ? ? , ?。 ?2 2 ?
1)若 AC ? BC ,求角 ? ; (2)若 AC ? BC ? ?1,求

(1)求直线 l 的方程; (2)若直线 l 经过点 F2

并与椭圆 G 在 x 轴上方的交点为 P ,且 cos ?F1 PF2 ? 程.

7 ,求 ?PF1 F2 内切圆的方 25

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan ?

4.已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)( a ? 0) 2 . 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1 C 1 的 所 有 棱 长 都 相 等 , 且 A1 A ? 底 面 ABC , D 为 CC 1 的 中 点 , (Ⅰ) a ? e 时,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

AB1与A1B相交于点O连结OD
(Ⅰ)求证: OD ∥ 平 面ABC (Ⅱ)求证: AB1 ? 平面 A1 BD .

f ( x) 1 ,若 x1 , x2 ? ( ,1), x1 ? x2 ? 1 ,求证: x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 4 . e x

3.已知函数 y ? log a ( x ? 3) ? 6 ( a ? 0 , a ? 1 )的图象恒过定点 M ,椭圆 G :

x2 y 2 ? ?1 (a ? b ? 0) 的左, 右焦点分别为 F 直线 l 经过点 M 且与⊙ C : F2 , x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 1, a 2 b2
相切.

5.已知某种钻石的价值 υ(万元)与其重量 ω (克拉)的平方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 35 万元. (Ⅰ)写出 υ 关于 ω 的函数关系式; (Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石,求价值损失的百分率; (Ⅲ)请猜想把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为多少时价值损失的百分率最大?(直接写出结果,

不用证明)(注:价值损失的百分率=

原有价值 ? 现有价值 ×100%;在切割过程中的重量损耗忽略不计) 原有价值

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点. a2 b2 3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4,求椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2 1 (2)设点 P 是(1)中所求得的椭圆上的动点, Q(0, ), 求 | PQ | 的最大值 。 2
6.设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

参考答案 1.解: (1) AC ? (cos ? ? 3, sin? ) , BC ? (cos ? , sin? ? 3) 由 AC ? BC ,得 (cos ? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? (sin ? ? 3) 2

5? ? ? 3? ? ∴ sin ? ? cos ? ,即 tan ? ? 1 ,∵ ? ? ? , ? ,∴ ? ? 4 ?2 2 ?
(2) AC ? BC ? cos ? (cos ? ? 3) ? sin? (sin ? ? 3) ? ?1 ,∴ sin ? ? cos ? ?

2 3

4 5 ∴ 2 sin ? ? cos ? ? ? 9 9 2 2 sin ? ? sin 2? 2 sin ? (sin ? ? cos ? ) 5 ? ? 2 sin ? ? cos ? ? ? sin ? 1 ? tan ? 9 1? cos ? 1 2. (1) 、∵CE∥ BB1 ,CE= BB 2 CE∥ CD ,CE=CD
∴ 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? ∴OD∥EC (2) 、CE⊥AB,CE⊥ BB1 ∴CE⊥面 AB1 ∴OD⊥ AB1 ∵ A1B ⊥ AB1
s H F D E B G C

7 24 ,得 sin ? ? . 25 25 4 4 3 又由直线 l 的斜率为 k ? ? ,得 sin ? ? , cos ? ? . 3 5 5 24 3 7 4 4 ? ? ? ? . 于是 sin ?PF1 F2 ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 25 5 25 5 5 10 有 ?PF1F2 ? ? , ?F1 PF2 是等腰三角形,点 P 是椭圆的上顶点.易知 P (0, ) . 3
(Ⅱ)设 ?F1PF2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则由 cos ? ? 于是 ?PF1 F2 内切圆的圆心 D 在线段 PO 上.设 D(0, m) ,内切圆半径为 r .则 0 ? m ?

10 ,r ?m 3

3m ? 10 5 ? r ? m ,解得 m ? . 4 5 5 25 2 2 故 ?PF1 F2 内切圆的方程为 x ? ( y ? ) ? . 4 16
由点 D 到直线 l 的距离 d ? 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的定义,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用, 考查学生的计算能力,属于中档题.

0?a? 2 ; 4. (Ⅰ) y ? 3x ? 2 ; (Ⅱ) (Ⅲ)详见解析.
【解析】 试题分析: (Ⅰ)将 a ? e 代入,求导即得; (Ⅱ) f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x ? x ,即 2 ln ax ? 1 ? x 在 x ? 0 上恒 成立 . 不等式恒成立的问题,一般有以下两种考虑,一是分离参数,二是直接求最值 . 在本题中,设 2 u ' ( x) ? ? 1 ? 0, x ? 2 u ( x) ? 2 ln ax ? 1 ? x ,则 x ,这里面不含参数 a 了,求 u ( x) ? 2 ln ax ? 1 ? x 的最大值比
2

e

A

较容易了,所可直接求最大值.(Ⅲ)本题首先要考虑的是,所要证的不等式与函数 什么关系?待证不等式可作如下变形:

g ( x) ?

f ( x) ? x ln x x 有

x1x2 ? ( x1 ? x2 )4 ? ln( x1x2 ) ? 4ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 4ln( x1 ? x2 ) , 最 后 这 个 不 等 式 与
g ( x) ? f ( x) ? x ln x x 有联系吗?我们再往下看.

∴ AB1 ⊥面 A1BD 【解析】略 3. (1) x ? 2 ? 0 ,或 4 x ? 3 y ? 10 ? 0

5 2 25 (2) x ? ( y ? ) ? 4 16
2

g ?( x) ? 1 ? ln x ? 0, x ?

1 1 ( ,??) e ,所以在 e 上 g ( x) 是增函数.

【解析】 试题分析: (Ⅰ)易知定点 M (?2,6) ,⊙ C 的圆心为 C (?1,3) ,半径 r ? 1 . ①当 l ? x 轴时, l 的方程为 x ? 2 ? 0 ,易知 l 和⊙ C 相切. ②当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y ? 6 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 6 ? 0 ,

1 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 因为 e ,所以 g ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ln( x1 ? x 2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 x ? x2 ln x1 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) x1 即 从这儿可以看出,有点联系了.

4 ? 1 ,解得 k ? ? . 2 2 3 k ?1 k ?1 于是 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 .综上,得直线 l 的方程为 x ? 2 ? 0 ,或 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 .
圆心 C (?1,3) 到 l 的距离为 d ? . 由 l 和⊙ C 相切,得

k ?3

k ?3

ln x 2 ?
同理 所以

x1 ? x 2 ln( x1 ? x 2 ) x2 , x1 ? x 2 x1 ? x 2 x x ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x 2 ) x2 x1 x 2 x1 ,

ln x1 ? ln x 2 ? (

2?
与待证不等式比较,只要

x1 x 2 ? ? 4, x 2 x1 问题就解决了,而这由重要不等式可证,从而问题得证.

2 2 ? ? 试题解析: (Ⅰ)f ( x) ? x ln(ex) ? x (1 ? ln x), f ( x) ? 2x(1 ? ln x) ? x ? 3x ? 2x ln x ,f (1) ? 1, f (1) ? 3 ,

所以切线为: y ? 1 ? 3( x ? 1) 即 y ? 3x ? 2 .
2

3分

(Ⅱ) f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x , f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x ? x ,即 2 ln ax ? 1 ? x 在 x ? 0 上恒成立 2 u ' ( x) ? ? 1 ? 0, x ? 2 u ( x ) ? 2 ln ax ? 1 ? x x 设 , , x ? 2 时,单调减, x ? 2 单调增, 所以 x ? 2 时, u ( x) 有最大值. u (2) ? 0,2 ln 2a ? 1 ? 2 , 所以

1 2 3 a) + k ( a)2 价值损失为 4 4 1 3 2 2 2 k a 一[ k ( a) + k ( a) ] 4 4 价值损失的百分率为 1 3 ka 2 ? [k ( a )2 ? k ( a )2 ] 4 4 ? 0.375 ? 37.5% ks5*u ka 2 答:价值损失的百分率为 37.5%. (Ⅲ)重量比为 1∶1 时,价值损失的百分率达到最大。
k(

0?a?

e 2 .

6. (1)方程为 8分

x2 y 2 ? ? 1 ,焦点 F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? (2) 5 4 3

x ?1 ? ln x . 2 x ?1 1 e x ?1 1 1 x?2 ? ln x ,则 g ?( x) ? ? ? ? ln x ? g (2) ? ? ln 2 ? ln 令 g ( x) ? ,所以 g ( x) ? 2 2 x 2x 2 2 2 e e 所以 ln a ? ln . ?0?a? 2 2 1 f ( x) 1 1 g ( x) ? ? x ln x g ?( x) ? 1 ? ln x ? 0, x ? ( ,??) (0, ) g ( x ) e ,所以在 e x (Ⅲ) 当 a ? 1 时, , 上 是增函数, e
法二、 2 ln ax ? 1 ? x 可化为 ln a ? 上是减函数. 1 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 因为 e ,所以 g ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ln( x1 ? x 2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 x ? x2 x ? x2 ln x1 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) ln x 2 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) x x 1 2 即 ,同理 . x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 x 2 ln x1 ? ln x 2 ? ( ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? (2 ? ? ) ln( x1 ? x 2 ) x2 x1 x 2 x1 所以 x x 2 ? 1 ? 2 ? 4, x 2 x1 又因为 当且仅当“ x 1 ? x 2 ”时,取等号. 1 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 e 又 , ln( x1 ? x 2 ) ? 0 ,

【解析】 试题分析: (1)将点的坐标代入椭圆方程可得到 a , b 的关系式,利用椭圆定义可求得 a 值,从而得到椭圆 方程; (2) 利用两点间距离公式求得 | PQ | 的表达式, 借助于 P 在椭圆上将表达式转化为用 x 表示的函数式, 求得函数最值 试题解析: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆定义得 2a=4,即 a=2

?3? ? ? ? 3? 1 2 A?1, ? ? ? 2? ? 1 2 2 2 b 又点 ? 2 ? 在椭圆上。因此 2 得 b ? 3, 于是 c ? 1 。 x2 y2 ? ?1 3 所以椭圆的方程为 4 ,焦点 F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0?。
x2 y2 4 x2 ? 4 ? y2 ? ?1 3 3 (2)设 P?x, y ? 则 4 ,所以

2

1? 4 1 1 17 ? PQ ? x ? ? y ? ? ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? 2? 3 4 3 4 ? 1 ?? ?5 2 3? ? 3? y ? ? 2? ? 3 y?? ? ? 3 ? y ? 3 2 时, PQ max ? 5. 又 ,? 当
2 2

2

(2 ?
所以

x1 x 2 ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? 4 ln( x1 ? x 2 ) x 2 x1 ,所以 ln x1 ? ln x 2 ? 4 ln( x1 ? x 2 )
4

考点:1.椭圆定义与方程;2.两点间距离;3.函数求最值 ,

所以: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) . 14 分 考点:1、导数的应用;2、不等式的证明. 5.
350000 350000 2 ? ,得: v ? 9 9 (Ⅱ)设这颗钻石的重量为 a 克拉,由(Ⅰ)可知,按重量比为 l∶3 切割后的价值为

解: (Ⅰ)依题意设 v=kω2 又当 ω=3 时, v =35,即 k ?



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