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1-1.1.1集合的含义与表示


1.1.1 集合的含义与表示 一、【教学目标】
重点:集合的含义与表示方法. 难点:新概念及相应新符号的区别;表示集合时方法的恰当选择. 知识点:集合的相关概念;列举法、描述法. 能力点:培养学生抽象概括能力. 教育点:体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:列举法、描述法的特点. 训练点:集合元素的三个性质;用列举法和描述法表示集合. 考试点:列举法、描述法

的格式;含参数问题的求解. 易错易混点:忽视集合元素的互异性要求. 拓展点:实数有大小,集合间是否也有“大小”.

二、【引入新课】
1.在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 自然数的集合,有理数的集合,不等式 x ? 3 的解的集合,到定点的距离等于定长的点的集合?? 2.你能否举出我们身边集合的例子? 自己所在的班级、学校、家庭等等. 【设计意图】创设让学生运用集合语言表达与交流的机会,结合学生已有知识经验,启发学生思考.

三、【探究新知】
探究一:集合的含义 1. 请你认真阅读以下例子,回答以下问题: ①1~10 以内所有的素数(质数); ②我国古代的四大发明; ③所有的正方形; ④到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; ⑤方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根.
2

思考 1:以上例子的研究对象分别是什么?可以确定吗? 思考 2:请你尝试概括出以上实例的共同特征 ? 【设计意图】让学生分析背景例子的共同特征,概括出元素和集合的含义,培养学生的归纳概括能力. 2.集合的含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写 的拉丁字母 A, B, C ?表示,集合中的元素用小写的拉丁字母 a , b , c ?表示. 探究二:集合元素的性质 思考 1:“方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根”构成一个集合,分别判断 2 和 5 是否在这个集合中?
2

2 是方程的实数根,故在这个集合中;5 不是方程的实数根,故不在这个集合中.

①确定性: 给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中 ,要么不在这个集合 中. 思考 2:“方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根”构成一个集合,这个集合有几个元素?
2

有两个元素,互不相同. ②互异性: 一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
1

思考 3:全体高一(17)班同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化? 由此说明什么? 没有变化,说明集合元素的无序性. ③无序性:集合中的元素和顺序无关. 思考 4:由实数 1、2 组成的集合记为 M,由实数 2、1 组成的集合记为 N,这两个集合中的元素相同吗? 元素相同,因此集合相同. 【设计意图】通过具体例子引导学生明确集合元素的确定性、互异性和无序性,培养学生抽象概括能力. 问题:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由. (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. (1)中元素很明确有 4,6,8,10 可以组成集合;(2)中元素“小河流”不明确故不能组成集合. 【设计意图】引导学生体会集合元素的“确定性”与“互异性”,进一步巩固组成集合的元素的特点. 探究三:元素与集合的关系 思考 1:如果用集合表示“1~10 以内所有的素数”,那么 3,4,5,6 这四个元素哪些在集合 A 中?哪些 不在集合 A 中? 3 和 5 在集合 A 中,4 和 6 不在集合 A 中. 思考 2:如果用集合 A 表示高一(1)班学生组成的集合,用 a 表示高一(1)班的一位同学,b 是高一(2) 班的一位同学,那么 a,b 与集合 A 分别有什么关系? 由此看见元素与集合之间有什么关系? a 在集合 A,b 不在集合 A. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a ? A ;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作 a ? A . 【设计意图】引导学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. 探究四:常用数集及其记法 1.引导学生回忆数集扩充过程,阅读课本第 3 页的表格中的内容,自学常用数集及其记法. 2.常用数集及其记法: N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合); N*或 N+:正整数集; Z :整数集(全体整数的集合); Q:有理数集(全体有理数的集合); R:实数集(全体实数的集合). 3.完成课本习题 1.1A 组第 1 题. 【设计意图】通过先自学再对比学习常用数集,帮助学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用. 探究五:集合的表示方法 思考:我们可以用自然语言如:“方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根”来描述一个集合,除此之外还可以
2

用什么方式表示这个集合? 还可以表示为{1,2},也就是说把元素一一列举出来. 1.列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号 “{}”括起来. 例 1:请你尝试用列举法表示下列集合. (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

(3)由 1~20 以内的所有素数组成的集合. 活动:学生先尝试用列举法表示例 1 的集合,并思考归纳列举法的特点. 解:(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A ,那么 A ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} .
2

(2)设方程 x ? x 的所有实数根组成的集合为 B ,那么 B ? {0,1} .
2

(3)设由 1~20 以内的所有质数组成的集合为 C ,那么 C ? {2,3,5,7,11,13,17,19} . 归纳列举法特点:大括号不能缺失,元素无序,元素之间用“,”隔开; a 与{ a }不同. 【设计意图】通过例 1 引导学生归纳列举法的特点,学会用列举法表示集合,进一步体会元素的确定性、 互异性和无序性. 练习 1: 课本习题 1.1A 组第 3 题 【设计意图】通过练习进一步巩固列举法,帮助学生学会用列举法表示集合. 思考: (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? 答案很多比如:所有大于 1 小于 9 的偶数组成的集合. (2)你能用列举法表示不等式 x - 7 ? 3 的解集吗?如何表示? 不能. 分析:不等式 x - 7 ? 3 的解集中所含元素有共同特征: x ? R,且 x ? 7 ? 3 ,即 x ? 10 ,所以可以表示为

D ? ? x ? R x ? 10? . 称之为描述法.
【设计意图】通过问题(1)体会列举法与自然语言的相互转化,借助问题(2)让学生体会用描述法表示 集合的必要性. 2.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素 的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 例 2.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

(2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. 活动:学生先尝试描述法表示例 2 的集合,并思考归纳描述法的特点;然后用列举法表示,讨论各自的特 点和适用对象,确定如何选择适当的集合表示方法. 解 : ( 1) 设方 程 x ?2 ? 0 的实 数 根为 x , 并 且 满足 x ?2 ? 0 , 因 此, 用描 述 法表示 为
2 2

A ? {x ? R | x2 ? 2 ? 0} .
方程 x ? 2 ? 0 有两个实数根 2, ? 2 ,因此用列举法表示为 A ? { 2, ? 2} .
2

(2)设大于 10 小于 20 的整数为 x ,满足条件 x ? Z , 且10 ? x ? 20 ,因此,用描述法表示为

B ? {x ? Z | 10 ? x ? 20} .
大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为

B ? {11,12,13,14,15,16,17,18,19}
【设计意图】通过例 2 引导学生归纳描述法的特点,学会根据各自的特点选用合适的方法表示集合.

四、【理解新知】
1.区分 a 与 {a} : {a} 表示一个集合,该集合只有一个元素, a 表示这个集合的一个元素;

3

2.在用列举法表示集合时,一定不能犯如用 实数集 或 ?R? 这一类错误,因为大括号已经包含了“所有” 的意思; 3.用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,从而准确的理解集合的意义. 比如:(1) {( x, y) | y ? x2 ? 1} 中的元素是点. (2) {x | y ? x2 ? 1} 中的元素是实数,是函数自变量的取值范围. (3) { y | y ? x2 ? 1} 中的元素是函数值,也是实数,但是与上例不同,表示函数值的取值范围. 【设计意图】引导学生归纳整理新知 ,强调易错易混点,为下一步应用新知作必要的铺垫.

?

?

五、【运用新知】
1.设集合 A 只含一个元素 a ,则下列各式正确的是( A ) A. a ? A B. a ? A C. 0 ? A D. a ? A 2.试选择适当的方法表示下列集合: (1) 由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

(2) 由小于 8 的所有素数组成的集合; (3) 一次函数 y ? x ? 3与y ? ?2 x ? 6 的图像的交点组成的集合; (4)不等式 4x ? 5 ? 3 的解集. 解:(1){-3,3};(2){2,3,5,7};(3){(1,4)};(4) {x | x ? 2} . 【设计意图】通过课本练习进一步巩固列举法和描述法,体会两种表示法各自的特点和适用对象. 例 3.已知集合 A 是由三个元素 a ? 2 , 2a ? 5a ,12 组成的,且 -3 ? A ,求 a .
2

解: ∵ -3 ? A ,则 -3 ? a ? 2 或 -3 ? 2a ? 5a ,∴ a ? ?1 或 a ? ?
2 2

3 . 2

当 a ? ?1 时, a ? 2 ? ?3 , 2a ? 5a ? ?3 ,不符合集合中元素的互异性,故 a ? ?1 应舍去. 当a ? ?

3 7 3 2 时, a ? 2 ? ? , 2a ? 5a ? ?3 ,∴ a ? ? . 2 2 2

【设计意图】培养学生分析解决问题的能力,体会分类讨论的思想方法. 练习 3:集合 A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R}中只有一个元素,求 a . 解:当 a ? 0 时,原方程变为 2 x ? 1 ? 0 ,此时 x ? ?

1 2 ,符合题意;当 a ? 0 时,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 为 2

, 一元二次方程, ? ? 4 ? 4a ? 0,即a ? 1 原方程的解为 x ? ?1 ,符合题意;
故当 a ? 0 或 a ? 1 时,原方程只有一个解,此时 A 中只有一个元素. 变式:集合 A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R}中至少有一个元素,求 a .
2

变式:集合 A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R}中至多有一个元素,求 a .
2

【设计意图】反馈学生掌握集合概念的情况,进一步巩固本节知识.
4

思考: (1)结合以上实例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时,各自的特点和适用的对象. (2)自己举出几个集合的例子,并分别用自然语言、列举法和描述法表示出来. 【设计意图】让学生反思总结本节学习,体会不同语言的特点,启发学生关注知识间的联系与区别.

六、【课堂小结】
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学方法? 知识: 1、集合的含义. 2、集合元素的三个性质. 3、常见数集的专用符号. 4、集合的两种常用表示方法. 思想: 抽象概括、分类讨论的数学思想方法. 【设计意图】引导学生自主归纳总结知识,形成知识网络,养成良好的学习习惯.

七、【布置作业】
1.阅读教材 P 2 ?P 5 2.书面作业 (1)必做题:课本习题 1.1 A 组 2,4 (2)选做题: ①下列几组对象可以构成集合的是( D ) A.充分接近 ? 的实数的全体 B.善良的人 C.某学校高一年级所有聪明的同学 D.高一年级所有身高在 1.7 m 以上的人 ②下列四个说法中正确的个数是( A ) ①集合 N 中最小数为 1; ③若 a ? N , b ? N ,则 a ? b 的最小值为 2; A.0 B.1 C.2
2

②若 a ? N ,则 ?a ? N ; ④所有小的正数组成一个集合. D.3

③由 a , 2 ? a ,4 组成一个集合 A , A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是( C ) A.1 B.-2 C.6 ④下列说法正确的是( C ). A.不等式 2 x ? 5 ? 3 的解集表示为 {x ? 4} B.所有偶数的集合表示为 {x | x ? 2k} C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x 2 ? 4 ? 0 实数根的集合表示为 {(?2, 2)} ⑤若集合 A ? {?1,3} ,集合 B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ,求实数 a , b .( a ? ?2, b ? ?3 ) 3.预习任务: 实数有大小,集合间是否也有“大小”?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如何表 示? 【设计意图】作业 1 是引导学生立足课本先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的必做题,是 为了让学生掌握基本的知识的同时规范解答步骤 .选做题难度递进 ,供学有余力的同学 ,加深理解,提高解 题的能力.预习作业的安排是为了培养学生预习的习惯,为下一节课的学习打下必备的基础. D.2

八、【教后反思】
亮点: 1. 注意用学生熟悉的例子引入新课,学生乐意接受; 2. 教学中充分关注学生的学习方式的改进,注重引导学生阅读教科书,通过自主学习、思考、交流、讨
5

论、 概括出新知识, 熟悉新符号.以便培养学生主动学习的习惯, 提高阅读与理解、 合作与交流的能力. 3. 教学中借助网络平台,充分结合学生已有知识经验,通过大量的实例抽象出集合的含义; 4. 教学中注重对符号进行对比分析,加强训练;在例题和练习的处理过程中引导学生分析归纳特点,针 对不同问题选择适当的表示法;用描述法表示集合时,及时纠正学生把集合连同元素一起放在花括号 内的错误,以便准确地用描述法表示集合. 弱项: 学生对于新的知识的接受能力不同,个别学生课堂掌握的并不太好.本人认为可以采用分类教学的方法, 课下各别辅导,巩固所学知识.

九、【板书设计】 1.1.1 集合的含义与表示
一、集合的相关概念 1.集合的含义 2. 集合元素的性质 3. 集合与元素的关系: 4. 常见数集的记法 二、集合的表示 1.列举法: 格式: 例 1 解:(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A ,那 么 A ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} . (2) 设方程 x ? x 的所有实数根组成的集合 为 B , 那么
2

2.描述法: 格式: 例 2 解: (1)设方程 x ? 2 ? 0 的实数根为 x ,
2

并且满足 x ? 2 ? 0 ,因此,用描述法表示为
2

A ? {x ? R | x2 ? 2 ? 0} .
方程 x ? 2 ? 0 有两个实数根 2, ? 2 ,因此
2

用列举法表示为 A ? { 2, ? 2} . (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x ,满足条件

x ? Z , 且10 ? x ? 20 ,因此,用描述法表示为
B ? {x ? Z | 10 ? x ? 20} .
大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16, 17,18,19,因此,用列举法表示为

B ? {0,1}.
(3) 设由 1 ~ 20 以内的所有质数组成的集合为 C , 那么

B ? {11,12,13,14,15,16,17,18,19}
例3 变式: 变式: 课堂小结:

C ? {2,3,5,7,11,13,17,19} .
练习

6


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