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2014年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测


2014 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. 1. 设 a,b 为实数,若复数 A. a ? 3, b ? 1
1+2i ? 1 ? i (其中 i 为虚数单位),则( a ? bi

) D. a ? 1, b ? 3 )

3 1 B. a ? , b ? 2 2
? ?

1 3 C. a ? , b ? 2 2
1 ? ? 0? ,则 S ? T =( x ?3 ?

2. 已知 S ? ?x | y ? log 2 (8 ? 2 x ? x 2 )? , T ? ? x | A. ? x | x ? ?2? B.

? x | x ? 3? C. ? x | 3 ? x ? 4? D. ?x | -2 ? x ? 3?
) B. a ? ? , b ? ? , ? / / ? D. a ? ? , b / / ? , ? ? ?
3 3

3. 设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( A. a ? ? , b / / ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? / / ?

4. 某几何体的三视图及部分数据如图所示, 则此几何体的体积是( A.
3 2

) B. 3
1

正(主)视图

侧(左)视图 第 4 题图

C.2

D.3

俯视图

5.若曲线 f ( x) ? x sin x ? 1 在 x ? 直,则实数 a 等于( A.-2 ) B.-1

?
2

处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂

C.1

D.2 )

6.已知 a ? 0, b ? 0 ,且满足 2 ? a ? 2b ? 4 .那么 a2 ? b2 的取值范围是(

4 16 4 16 A. ( , ) B. ( ,16) C. (1,16) D. ( , 4) 5 5 5 5 7.公比不为 1 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 ?3a1 , ?a2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 ,则
S 4 =(

) B. 0 C.7 D.40

A. ?20

8.已知 F1 (?c, 0) , F2 (c,0) 分别是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,双曲线 C1 和 a 2 b2

圆 C2 : x2 ? y 2 ? c2 的一个交点为 P ,且 2?PF1 F2 ? ?PF2 F1 ,那么双曲线 C1 的离心率为( A.
5 2

)

B. 3

C. 2

D. 3 ? 1
??? ? ??? ? ??? ?

9. 如图,AB 是圆 O 的直径, 点 C、 D 在圆 O 上,?CBA ? 60? ,?ABD ? 45? ,CD ? xOA ? yBC ,
D

则 x ? y 的值为( A. ? C.
2 3
3 3

) B.
1 3
A

O
C

B

D. ? 3

第 9 题

图 10.用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四 位数的个数为( A.54 ) B. 72 C.90 D. 108

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. 11.抛物线 y 2 ? 12 x 上到焦点的距离等于 9 的点的横坐标是 .

? ? 12. 将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象先向左平移 个单位, 然后将所得图象上所有点的横坐标变 3 6
为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为 13.某程序框图如图所示,则程序运行后输出的 S 值为 .
开始
i=1,S=0 i=i+1 S=S+i2 否 S=S-i2 是



14.设 ( x ? 2)(2 x ? 3)10 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? ? ? a11 ( x ? 2)11 , 则 a1 +a3 +a5 +a7 +a9 +a11 = .

15.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x) ? e x (1 ? x) ; ②函数 f ( x) 有 2 个零点; ③ f ( x) ? 0 的解集为 (?1,0) ? (1, ??) ; ④ ?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 . 其中所有正确的命题序号是 .
i<5?


i是奇数?


输出S

第 13 题图
结束

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 . (Ⅰ )求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ )若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足
b sin(2 A ? C ) ? 3, ? 2 ? 2cos( A ? C ) ,求 f ( B) 的值. a sin A

17. (本小题满分 12 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同 的 2 个红球和 4 个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。 (Ⅰ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅱ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

18(本题满分 13 分)如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD, AC⊥ AD. 底面 ABCD 为梯形, AB∥ DC, AB⊥BC,PA=AB=BC=3,点 E 在棱 PB 上,且 PE=2EB. P (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 PCB; E (Ⅱ)求证:PD∥平面 EAC; A B (Ⅲ)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.
D
第 18 题图

C

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x . (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值.

20. (本题满分 13 分)已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为
2 ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2

3 的椭圆 C 过点( 2 , 2

(Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜 率依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.

21. (本题满分 13 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ?1an ?1 ? an an ?1 ? an 2 ? n ? N ? , n ? 2 ? . (Ⅰ)求证: {
an +1 } 是等差数列; an
an x n ?1 , f ? x ? =g1 ( x) ? g 2 ( x) ? g3 ( x) ? ? ? g n ( x) ,求 f ( x) 的解析式; ? n ? 1?!

(Ⅱ)设 g n ( x) ?

(Ⅲ)求证:对 ?n ? N? ,不等式 f ? 2? ?

3 gn ? 3? 恒成立. n

马鞍山市 2014 届高三第一次教学质量检测 理科数学试题参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A
1+310 2

8 D

9 A

10 D

二、填空题: (11). 6 三、解答题: 16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2(sin 2 x ? cos 2 x) (12). y ? sin x (13). 10 (14). (15). ③④

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ……………………………………………………(6 分) ? f ( x)的最大值是2 (Ⅱ)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) sin A cos( A ? C ) ? cos Asin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) 化简得 sin C ? 2sin A ,由正弦定理得: c ? 2a ,…………………………(8 分)
又 b ? 3a, 由余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3a 2 ? 4a 2 ? 4 3a 2 cos A ? cos A ?
? A?

?

…………………………………………………………(10 分) 3 2 ? 5? ? f ( B) ? f ( ) ? 2sin ? 1 …………………………………………………(12 分) 3 6 17. 解: (Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,
6

?

,B ?

?

,C ?

?

3 2

1 个是黑球”为事件 C ,“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出 的 2 个球均为黑球”为事件 D 。 由于事件 C , D 互斥,且 P(C ) ?
1 1 1 2 C32 C2 C3 ? C4 C4 4 1 , ? ? P ( D ) ? ? ? 2 2 2 2 15 C4 C6 C4 C6 5

故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为
P(C ? D) ? P(C ) ? P( D) ? 4 1 7 ? ? ……………………………………(5 分) 15 5 15

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0, 1 , 2, 3。
P(? ? 0) ?
2 C32 C4 C1C1 C 2 1 1 7 ? 2 ? , P(? ? 1) ? , P(? ? 3) ? 1 2 3 ? 2 ? 2 C4 C6 5 C4 C62 30 15

从而 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

3 。 10

? 的分布列为:

?
P

0
1 5

1
7 15

2
3 10

3
1 30

? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1?

1 5

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3 ? ? ………………………………(12 分) 15 10 30 6

P

18. 解析: (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABCD, ∴PA⊥BC. 又 AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB. 又 BC ? 平面 PCB,
D
A

E B

M

C

∴平面 PAB⊥平面 PCB.…………………………………(4 分) π (Ⅱ)∵PC⊥AD,在梯形 ABCD 中,由 AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC= , 4 π ∴∠DCA=∠BAC= ,又 AC⊥AD,故△DAC 为等腰直角三角形, z 4 ∴DC= 2AC= 2( 2AB)=2AB. 连接 BD,交 AC 于点 M,则 DM DC = =2. MB AB
A P E B

PE DM 连接 EM,在△BPD 中, = =2,∴PD∥EM, EB MB D 又 PD ? 平面 EAC , EM 平面 EAC , ? /

M

y

C

x

∴PD∥平面 EAC.…………………………………………(8 分) (Ⅲ)以 A 为坐标原点,AB,AP 所在直线分别为 y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标 系.则 A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E (0,2,1) → → 设 n1=(x,y,1)为平面 AEC 的一个法向量,则 n1⊥AC,n1⊥AE, → → ∵AC=(3,3,0),AE=(0,2,1), ∴? 1 1 ?x ? y ? 0 解得 x= ,y=- , 2 2 2 y ? 1 ? 0 ?

1 1 ? ∴n1=? ?2,-2,1?.

→ → 设 n2=(x′,y′,1)为平面 PBC 的一个法向量,则 n2⊥BC,n2⊥BP,
? x? ? 0 → → 又BC=(3,0,0),BP=(0,-3,3),∴ ? ??3y ? ? 3 ? 0 ??? ? (取 PB 中点为 F,连接 AF 可证 AF 为平面 PBC 的一个法向量。 )

解得 x′=0,y′=1,∴n2=(0,1,1).

∵cos〈n1,n2〉=

n1 · n2 3 = , |n1||n2| 6 3 ..………………………(13 分) 6

∴平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 注:以其他方式建系的参照给分。 19. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x , ∴函数的定义域为 (0, ??) . ∴ f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x ?(2 x ? 1)(ax ? 1) . ? 2ax ? (a ? 2) ? ? x x x

∵ f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)(a ? 1) ? 0 , ∴ a ? ?1 .
1 当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 2

∴ x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. ∴ a ? ?1 .…………………(6 分) (Ⅱ)∵ a ? a ,∴ 0 ? a ? 1.
2

f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ?? x x x

∵ x∈ (0, ??) , ∴ ax ? 1 ? 0 ,
1 1 ∴ f ( x) 在 (0, ) 上递增;在 ( , ??) 上递减, 2 2

①当 0 ? a ?

1 2 时, f ( x) 在 [a , a] 单调递增, 2

∴ f max ( x) ? f (a) ? ln a ? a3 ? a 2 ? 2a ;

1 ? a? ? 1 2 1 1 ? 2 ②当 ? ,即 ? a ? 时, f ( x) 在 (a 2 , ) 单调递增,在 ( , a) 单调递减, 1 2 2 2 2 ?a 2 ? ? ? 2

1 a a?2 a ∴ f max ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 ? ? ? ? 1 ? ln 2 ; 2 4 2 4

③当

2 1 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [a 2 , a] 单调递减, ? a 2 ,即 2 2

∴ f max ( x) ? f (a 2 ) ? 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a 2 .……………………………(12 分) 20. 解: (Ⅰ)由题 意可设椭圆方程为
?c 3 ? ? ?a ? 2 ?a 2 则? , 解得 ? , ?b ? 1 ? 2 ? 1 ?1 ? ? a 2 2b 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

所以,椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

……………………………………(5 分)

(Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P( x , y ), Q( x , y ) ,
1 1 2 2

由 ? x2

? y ? kx ? m ? 消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4

则 ? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 , 且x ?x ?
1 2

4(m2 ? 1) ?8km , . x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
1 2 1 2 1 2

故 y y ? (kx ? m)(kx ? m) ? k 2 x x ? km( x ? x ) ? m2 .
1 2

因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列, 所以,
y2 y1 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?8k 2 m2 ? ? ? k 2 ,即 ? m2 ? 0 , x2 x1 x1 x2 1 ? 4k 2

又 m ? 0 ,所以 k 2 ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2
2 2

由于直线 OP , OQ 的斜率存在,且△>0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 .
1 1 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S ?OPQ ? d ? PQ ? m ? x1 ? x2 ? m2 (2 ? m2 ) , 2 2

所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1) .………………………………………………(13 分) 21. 解:由 an ?1an ?1 ? an an ?1 ? an ?
2

an ?1 an a a ? ? 1 ? n ?1 - n =1 an an -1 an an -1

故?

? an ?1 ? ? 是公差是 1 的等差数列. ? an ?

……………………………………

(4 分)

(Ⅱ)

an ?1 ? n ? 1, an

an ?

an an ?1 a ? ?????? 2 ? a1 = n ? ? n ? 1? ? ... ? 2 ?1 ? n ! …………………… (6 分) an ?1 an ? 2 a1
an x n ?1 n ?1 = nx ? n ? 1?!

因为 g n ? x ? ?

所以,当 x ? 1 时,
f ? x ? ? f ?1? ? 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ? n ? n ? 1? 2

………………… (7 分)

当 x ? 1 时, f ? x ? ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ... ? nx n ?1 ……….(1)

?1? ? x 得 xf ? x ? ? x ? 2x

2

? 3x3 ? ... ? ? n ? 1? x n ?1 ? nx n ……(2)

?1? ? ? 2? : ?1 ? x ? f ? x ? ? 1 ? x ? x2 ? ... ? xn?1 ? nxn
=
? f ? x? ? 1 ? xn ?

1 ? xn ? nx n 1? x

?1 ? x ?

2

nx n 1? x

……………………… (9 分)

? n(n ? 1) , x ?1 ? ? 2 综上所述: f ( x) ? ? n n ? 1 ? x ? nx , x ? 1 ? (1 ? x)2 1 ? x ?

…………………

(10 分)

(Ⅲ)因为 x ? 1 ? f ? 2 ? ?

1 ? 2n

?1 ? 2 ?

2

?

n2n ? ? n ? 1? 2n ? 1 1? 2



3 g n ? 3? ? 3n , n

易验证当 n ? 1, 2 ,3 时不等式成立

…………… 11 分

假设 n ? k ? k ? 3? ,不等式成立,即 3k ? ? k ? 1? 2k ? 1 两边乘以 3 得: 3k ?1 ? 3 ? k ? 1? 2k ? 3 ? k ? 2k ?1 ? 1 ? 3 ? k ? 1? 2k ? k ? 2k ?1 ? 2 又因为 3 ? k ? 1? 2k ? k ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 3k ? 3 ? 2k ? ? 2 ? ? k ? 3? 2k ? 2 ? 0 所以 3k ?1 ? k ? 2k ?1 ? 1 ? 3 ? k ? 1? 2k ? k 2k ?1 ? 2 ? k ? 2k ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时不等式成立.故不等式恒成立. ………………… (13 分)


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