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专题四——图表信息综合问题


图表信息综合问题
一、考点导析 信息题就是根据图表、图形、图象等给出的数据信息,通过整理、分析和处理等手段去 解决实际问题的一类题,注重考查学生的阅读理解能力和对图表信息的分析处理能力. 二、中考动向 图象信息题是指由图象(表)来获取信息,从而达到解题目的的题型,这类题型来源广 泛,形式灵活,突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查.是近几年中考的热点,分值 在 15 分左右. 本专题就近几年各省市中考题中常见的图表信息试题进行探究. 三、点例解析 题型 1:利用图表信息探究规律 【考例 1】 (2006 资阳)在很小的时候,我们就用手指练习过 数数. 一个小朋友按如图 4-1 所示的规则练习数数,数到 2006 时对应的指头是 .(填出指头的名称,各指 头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指). 【点拨】解题关键在于探索隐藏在图中的规律. 【略解】每 8 个数为一组,
2006 =250?6,从大拇指开始按 8

图 4-1

图示的规律数 6 是无名指, ∴2006 对应的指头是无名指. 【拓展 1】 (2007 湖北)图 4-2 所示图案是由边长为 1 个 单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成.依此规律, 第 5 个图案中小正方形的个数为 . 【答案】41 例 1· (2011·徐州) 如图,每个图案都由若干个棋子摆 成.依照此规律,第 n 个图案中棋子的总个数可用含 n 的代数式表示为 __________

第1个

第2个 图 4-2

第3个

第1个 第2个 第3个 第4个 (1) 学生观察图形,获取有关信息; (2)引导学生分析问题,把获取的信息整理,加工; (3) 建立函数关系式模型,解决问题。 跟踪训练· (2011·株洲)如图,第(1)个图有 1 个黑球;第(2)个图为 3 个同样大小球叠 成的图形,最下一层的 2 个球为黑色,其余为白色;第(3)个图为 6 个同样大小球叠成的 图形,最下一层的 3 个球为黑色,其余为白色;? ;则从第( n )个图中随机取出一个球, 是黑球的概率是 .

1

· · ·

(1)

(2)

(3)

(4)

(1) 学生小组讨论,解决问题 (2) 全班反馈,得出答案 (3) 小结:同学们,你们认为怎么做图表信息型问题?大致有几个步骤?
题型 2:图象信息与统计概率 【考例 2】 (2007 杭州)第 15 中学九年级学生在社会实践中,调查了 500 位杭州市民某天 早上出行上班所用的交通工具,结果用图 4-3 所示的扇形统计图表示.(1)请你将这个统计 图改成用折线统计图表示的形 式; (2)请根据此项调查,对城 市交通给政府提出一条建议. 【点拨】 (1)利用图表信息分别 求出乘坐各种交通工具的人数, 再用折线统计图表示出来; ( 2) 答案不唯一. 【略解】 (1)如右图; 图 4-3 (2)诸如“公交优先”或“宣 传步行有利健康”等. 【拓展 2】 (2007 南京)某养鸡场分 3 次用鸡蛋孵化出小鸡,每次孵化所用的鸡蛋数、每 次的孵化率(孵化率 ?

孵化出的小鸡数 ?100% )分别如图 4-4 中图 1,图 2 所示: 孵化所用的鸡蛋数

(1)求该养鸡场这 3 次孵化出的小鸡总数和平均孵化率; (2)如果要孵化出 2000 只小鸡,根据上面的计算结果,估计该养鸡场要用多少个鸡蛋? 【略解】 (1)该养鸡场这 3 次孵化出的小鸡总数为 40 ? 82.5%? 50 ? 78%? 60 ? 80% ? 120(只) . 孵化所用的鸡蛋数统计图 鸡蛋数/个 70 60 50 40 30 20 10 0 60 孵化率 90% 80% 70% 60% 50% 40% 图 4-4 孵化率统计图 78% 80%

40

50

82.5%

第1次

第2次 图1

第3次

批次

第1次

第2次 图2

第3次

批次 这

3 次的平均孵化率为

120 (2) 2000 ? 80% ? 2500 (个) .?估计该养鸡 ?100% ? 80% . 40 ? 50 ? 60

2

场要用 2500 个鸡蛋.

例 2· (2011·盐城)为迎接建党 90 周年,某校组织了以“党在我心中”为主题的电子
小报制作比赛,评分结果只有 60,70,80,90,100 五种.现从中随机抽取部分作品, 对其份数及成绩进行整理,制成如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息,解答下列问题: 作品份数条形统计图
份数 48 36 24 12 0 6 60 70 80 90 100 成绩/分 24 12 36

作品成绩扇形统计图
100分 10% 90分 30% 80分 % 70分 20% 60分 %

(1)求本次抽取了多少份作品,并补全两幅统计图; (2)已知该校收到参赛作品共 900 份,请估计该校学生比赛成绩达到 90 分以上 (含 90 分)的作品有多少份? ①学生观察统计图,获得信息;②根据据获得的信息解决问题。

跟踪训练· (2011?福州)在结束了 380 课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划
安排 60 课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图 1~图 3) , 请根据图表提供的信息,回答下列问题:

(1)图 1 中“统计与概率”所在扇形的圆心角为____________度; (2)图 2、3 中的 a=__________,b=____________; (3)在 60 课时的总复习中,唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容 题型 3:图象信息与方程不等式 【考例 3】 (2006 乐山)经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容: 他共用 116 元钱从市场上批发 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 了红辣椒和西红柿共 44 公斤 批发价(元/公斤) 4 1.2 1.6 到菜市场去卖, 当天卖完. 请 零售价(元/公斤) 5 1.4 2.0 你计算出小熊能赚多少钱?
3

茄子 1.1 1.3

【点拨】利用图表数据建立方程组求解. 【略解】设小熊在市场上批发了红辣椒 x 公斤,西红柿 y 公斤. 根据题意,得 ?
? x ? y ? 44 , ?4x ? 1.6y ? 116

解这个方程组,得 x=19,y=25.25×2+19×5-116=29(元). ∴他卖完这些西红柿和红辣椒能赚 29 元钱. 【拓展 3】根据图 4-5 给出的信息,求每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格.

图 4-5 【略解】设 T 恤衫 x 元/件,矿泉水 y 元/瓶,则 ?
?2x ? 2y ? 92 ? x ? 44 解之得 ? , ? x ? 3y ? 50 ?y ? 2

∴T 恤衫 44 元/件,矿泉水 2 元/瓶. 题型 4:图象信息与函数 【考例 4】 (2006 泸州) “五一黄金周”的某一天,小 ↑S(千米) 180· 刚全家上午 8 时自驾小汽车从家里出发,到距离 180 120 千米的某著名旅游景点游玩,该小汽车离家的距离 · S(千米)与时间 t (时)的关系可以用图 4-6 所示的折线 60· 表示.根据图象提供的有关信息,解答下列问题: → 8 10 14 15 t(时) (1)小刚全家在旅游景点游玩了多少小时? 图6 (2)求出返程途中 S(千米)与时间 t (时)的函数关系 图 4-6 式,并求出自变量 t 的取值范围. 【点拨】(1) 图象中水平线所对应的时间就是游玩时间.(2)从图象中找出 s 与 t 的两组对 应值,建立函数关系求解. 【略解】 (1)4 小时; (2)设小汽车离家的距离 S 与时间 t 之间的关系式为 s=kt+b,则 ?
?14k ? b ? 180 , ?15k ? b ? 120

解得 k=-60,b=1020, ∴S 与 t 之间的关系式为 s=-60t+1020 (14≤t≤17) . 【拓展 4】 (2006 内江)一辆汽车由内江匀速驶往成都,如图 4—7 所示的图象中,能大致反 映汽车距离成都的路程 s(千米)和行驶时间 t(小时)的关系的是( ) t(小时) t(小时) t(小时) t(小时)

O

A

s(千米)

O

B

O
图 4 -7

C

s(千米)

O

D

s(千米)

【答案】D 小结:解图象信息题的关键是“识图”和“用图” .解这类题的一般步骤是: (1)观察图象, 获取有效信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等) ; (2)对已获信息进 行加工、整理,理清各变量之间的关系; (3)选择适当的数学工具,通过建模实现信息的转

4

换以解决问题.

练习:已知 A、B 两地的路程为 240 千米,某经销商每天都要用汽车或火车将 x 吨保鲜品
一次性由 A 地运往 B 地,受各种因素限制,下一周只能采用汽车和火车中的一种进行 运输,且须提前预订. 现在有货运收费项目及收费标准表,行驶路程 S(千米)与行驶时间 t(时)的函数 图象(如图 13 中①) ,上周货运量折线统计图(如图 S(千米) 13 中②)等信息如下: 货运收费项目及收费标准表 运输工具 汽车 火车 运输费单价 元/(吨?千米) 2 1.6 冷藏单价 元/(吨?时) 5 5 固定费用 元/次 200 2280 200 120 O 火车 汽车

2 t(时) 图 13①
24

⑴汽车的速度为__________千米/时, 火车的速度为_________千米/时; (2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别 为 y 汽(元)和 y 火(元) ,分别求 y 汽、y 火与 x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围)及 x 为何值时 y 汽>y 火;

货运量(吨) 25 24 23 22 21 20 19 18 17 23 22

22 20 17 19

周一周二周三周四周五周六周日 时间 图 13 ②

(总费用=运输费+冷藏费+固定费用) ⑶请你从平均数、折线图走势两个角度分析,建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具, 才能使每天的运输总费用较省?

(五)应用类图表信息题 例 5· (2011·盐城)26.(本题满分 10 分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
信息 1: 甲、 乙两种商品的进货单价之和是 5 元; 信息 2:甲商品零售单价比进货单价多 1 元, 乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元. 请根据以上信息,解答下列问题: (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元? (2)该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件.经调查发现,甲、乙两种商品零 售单价分别每降 0.1 元,这两种商品每天可各多销售 100 件.为了使每天获取更大的利润, 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m 元. 在不考虑其他因素的条件下,当 m 定 为多少时, 才能使商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少? 六、中考真题 1. (2007 眉山)下表是 2006 年眉山市各区、县的人口统计数据: 区 县 东坡区 83 仁寿县 160
5

信息 3:按零售单价购买 甲商品 3 件和乙商品 2 件, 共付了 19 元.

彭山县 33

洪雅县 34

青神县 20

丹棱县 16

人口数(万人)

则眉山市各区、县人口数的极差和中位数分别是( ). A.160 万人,33.5 万人 B.144 万人,33.5 万人 C.144 万人,34 万人 D.144 万人,33 万人 答案:B 2. (2006 乐山)某市民政部门“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动,发行彩 票 10 万张(每张彩票 2 元) ,在这些彩票中,设置如下奖项:如果花 2 元钱购买 1 张彩票, 那么所得奖金不少于 50 元的概率是( ) A.
1 2000 3 500

B. D.

1 500 1 200

奖金(元) 数量(个)

1000 10

500 40

100 150

50 400

10 1000

2 10000

C.

答案:C 3.(2006 重庆)免交农业税,大大提高了农民的生产积极性,镇政府引导农民对生产的耨 中土特产进行加工后, 分为甲、 乙、 丙三种不同包装推向市场进行销售, 其相关信息如右表: 春节期间,这三种不同 质量(克/袋) 销售价 (元/袋) 包装成本费用(元/袋) 的包装的土特产都销售 甲 400 4.8 0.5 了 1200 千克,那么本次 乙 300 3.6 0.4 销售中,这三种包装的 丙 200 2.5 0.3 土特产获得利润最大是 ( ) A. 甲 B. 乙 C.丙 D. 不能确定 答案:C 4.(2007 宜宾)2006 年的夏天,某地旱情严重.该地 10 号、15 号的人日均用水量的变化情况如图 4—8 所 示.若该地 10 号、 15 号的人均用水量分别为 18 千克和 15 千克, 并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量低 于 10 千克时,政府将向当地居民送水.那么政府应开 始送水的号数为( ) A.23 B.24 C.25 D.26 图 4—8 答案:B 5.(2007 南充)据四川省统计信息网《2007 年 1 季度四川民营经济发展状况分析》 ,2007 年 1 季度四川民营经济增加值分类统计 组 别 增加值(亿元) 如下表.根据此表作出的扇形统计图如 A 第一产业 146.50 B 图. 请判断扇形统计图中对应组别名称: 第二产业 521.39 A 对应 ,B 对 C 应 ,C 对 . 第三产业 315.94 答案:第一产业,第三产业,第二产业; 6. (2007 绵阳)如图 4-9 所示的函数图象反映的过程是:小 明从家去书店, 又去学校取封信后马上回家, 其中 x 表示时间, y 表示小明离他家的距离,则小明从学校回家的平均速度为 _________千米∕小时. 答案:6 7. (2007 眉山)黄金周长假推动了旅游经济的发展.图 4-10 是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图. 图 4—9
6

(1)根据图中提供的信息.请你写出两条结论; (2)根据图中数据,求 2002 年至 2004 年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百 分率(精确到 0.1) 略解: (1)○ 1 历年春节 旅游收入低于“五一”和 “十一” 旅游收入.○ 2 黄 金周旅游收入呈上升趋 势.(2)设平均每年增长 的百分率为 x.则 300 2 (1+x) =400,解得 x1= ?1 ? x2=-1x= ?1 ?
2 3或 3

2 3 (舍).∴ 3
2 3 ≈15.5%.即 3

平均每年增长的百分率 为 15.5% 图 4-10 8. (2007 宜宾)今年 4 月 18 日,是全国铁路第六次大提速的第一天,小明的爸爸因要出差,于是去火车站查询列车 的开行时间.下面是小明的爸爸从火车站带回家的最新时刻表: 2007 年 4 月 18 日起××次列车时刻表 始发点 发车时间 上午 8∶20 终点站 到站时间 次日 12∶20

A站

B站

小明的爸爸找出以前同一车次的时刻表如下: 2006 年××次列车时刻表 始发点 发车时间 下午 14∶30 终点站 到站时间 第三日 8∶30

A站

B站

比较了两张时刻表后,小明的爸爸提出了如下两个问题,请你帮小明解答: (1)现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时? (2)若该次列车提速后的平均时速为每小时 200 千米,那么,该次列车原来的平均时速为 多少?(结果精确到个位) 略解: (1)现在用时 28h,以前用时 42h,缩短了 14h.(2)设原来时速为 x 千米/时,则 200 ×28=42x,解之得:x≈133 千米/时.∴该次列车原来的平均时速 133 千米/时. 9. (2007 巴中)赵明暑假到光雾山旅游,从地理课上知道山区气温会随着海拔高度的增加 而下降,沿途他利用随身所带的登山表,测得以下数据: y(℃) 海拔高度 x(m) 400 500 600 700 ? 33.8 33.2 ? 32 31.4 30.8 30.2 ? 气温 y ( C ) 32.6 32 (1) 现以海拔高度为 x 轴, 气温为 y 轴建立平面直角 31.4 30.8 坐标系(如图 4-11) ,根据上表中提供的数据描出各 30.2 29.6
7

0

(米) 200 400 600 800 1000 x 图 4-11

点. (2)已知 y 与 x 之间是一次函数关系,求出这个关系式. (3)若赵明到达光雾山山巅时, 测得当时气温为 19.4 C ,请求出这里的海拔高度. 略解: (1)略; (2)设 y 与 x 的关系式为 y=kx+b,把 x=400,y=32;x=500,y=31.4 代入得
?400k ? b ? 32 ,解之得:k=-0.006,b=34.4,∴y 与 x 的函数关系式为 y=-0.006x+34.4, ? ?500k ? b ? 31.4
?

(3)当 y=19.4 时,x=2500m. 七、中考展望 1.某超市购进了一批不同价格的皮鞋,下表是该超市在近几年统计的平均数据,要使该超市 销售皮鞋收入最大,该超市应多购进( )皮鞋. A.160 元 B.140 元 皮鞋价(元) 160 140 120 100 C.120 元 D.100 元 销售百分率 60% 75% 83% 95% 答案:B 2.已知:如图 4-12 所示, △ABC 的顶点坐标分别为

A(?4, ? 3) , B(0, ? 3) , C (?2, 1) ,如将 B 点向右平移
2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1 点, 若设 △ABC 的面积为 S1 ,△ AB1C 的面积为 S 2 ,则 S1,S2 的大小关 系为( ) A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 P(Pa) 图 4-12 D.不能确定 lA 答案:B 2 2 3.如图 4-13,两个受力面积分别为 SA(m ) 、SB(m )(SA、SB 为常数)的物 lB 体 A、B,它们所受压强 P(Pa)与压力 F(N)的函数关系图象分别是射 O F(N) 线 lA、lB.则( ) A.SA=SB B. SA>SB C. SA<SB D. SA≤SB 图 4-13 答案:C 4.把正整数 1,2,3,4,5,??,按如图 4-14 所示的规律排列: 按此规律,可知第 n 行有 个正整数. n-1 1 答案:2 2,3, 5.小明参加“开心词典”答题的活动中,在回答第 4,5,6,7, 五道题时,被难住了,题目如下:如图 4-15 所示, 8,9,10,11,12,13,14,15, 图(1) 、 (2)两架天平两端都处于平衡状态. ? ? ? ? 请回答在第(3)图中,天平的右盘应放几个圆 球,才能使天平保持平衡,他打电话向你求助,你 图 4-14 能通过计算,并给他一个正确的答案吗?请说出你 的做法.

(1)

(2) 图 4-15

(3)

8

略解:设●为 x,▲为 y,■为 z,则 ?

?3x ? 2y ? z ? 5y ,解之得:2z=3x,∴右边放三个圆 ?2z ? x ? 4y

球即可. 6. 图 4-16 表示长沙市 2003 年 6 月份某一天的气温随时间变化的情况,请观察此图回答下 列问题:⑴ 这天的最高气温是_________℃; ⑵ 这天共有________个小时的气温在 3loC 以上; ⑶ 这天在________(时间)范围内温度在上升; ⑷ 请你预测一下,次日凌晨 1 点的气温大约是 _____. 答案: (1) 37, (2) 9, (3) 3 点~15 点, (4) 23℃~ 26℃均可. 7.某校初二年级全体 320 名学生在电脑培训前后 各参加了一次水平相同的考试,考分都以同一标 准划分成“不合格” 、 “合格” 、 ‘ “优秀”三个等级, 图 4-16 为了了解电脑培训的效果,用抽签方式得到其中 32 名学生的两次考试考分等级, 所绘制的统计图如图 4-17 所示.试结合图示信息回答下列问题: ⑴ 这 32 名学生培训前考分的中位数所在的等级是_____, 培训后考分的中位数所在的等级是_______; ⑵ 这 32 名学生经过培训,考分等级“不合格”的百分比 由_______下降到_______; ⑶ 估计该校整个初二年级中,培训后考分等级为“合格” 与“优 秀”的学生共有_______名; ⑷ 你认为上述估计合理吗?理由是什么? 图 4-17 答:_________.理由:_____________________. 答案: (1)不合格,合格; (2)75%,25%, (3)240, (4)合理,该样本是随机样本. 8.请看以下材料: (摘自《新华社》有关报道)请回答以下问题: 中国人均住房建筑面积 (1)制作出不同收入类型国家人均住房 世界人均住房建筑面积 建筑面积的条形统计图. (单位:平方米) (单位:平方米) (2)制作出我国不同年代人均住房建筑 1977 年 13.2 高等收入国家 45 面积的折线统计图. 1987 年 15.4 中高收入国家 30 (3)根据以上数据,说明我国人均住房 1997 年 19.4 中等收入国家 20 条件的现状及未来发展趋势. 2007 年 28.6 中低收入国家 18 低等收入国家 8 略解: (1) 、 (2)两小题见下两图; (3)从上表数据可以看出:我国人均住房建筑面积在近十年有了长足的发展,平均每年以 2 0.92(m )的速度增长,到 2007 年时,已接近中高等收入国家人均住房建筑面积,未来的 发展势头依然强劲,预计到 2020 年,将接近或达到高等收入国家人均住房建筑面积.(答案 仅供参考)

9

40 30 20 10

面积(m 2 ) 28.6 19.4 13.2 15.4

年代 1977 1987 1997 2007

9.在一次蜡烛燃烧实验中, 甲、 乙 两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间 x(h) 的关系如图 4-18 所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题: ⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ,从点燃到燃尽所用的时间分别是_ ____; ⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶当 x 为何值时, 甲、 乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等? 解:⑴30cm,25cm;2h,2.5h; ⑵设甲蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式为 y ? k1 x ? b1 , 由图可知,函数的图象过点(2,0) , (0,30) , ∴?

?2k1 ? b1 ? 0 ?b1 ? 30

解得 ?

?k1 ? ?15 y ? ?15 x ? 30 ?b1 ? 30

图 4-18

设乙蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式为 y ? k2 x ? b2 ,由 图可知,函数的图象过点(2.5,0) , (0,25) ,∴ ?

? 2.5k2 ? b2 ? 0 ?k2 ? ?10 解得 ? ?b2 ? 25 ?b2 ? 25

y ? ?10 x ? 25 ⑶由题意得 ? 15 x ? 30 ? ?10 x ? 25 ,解得 x ? 1,∴ 当甲、乙两根蜡烛燃烧 1h
的时候高度相等.

10


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