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两角和与差公式导学案


学案 21

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

导学目标:1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出 两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4. 熟悉公式的正用、逆用、变形应用.

自主梳理 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=_____________________________________________, cos(α-β)=_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α+β)=_____________________________________________, sin(α-β)=_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α+β)=_____________________________________________, tan(α-β)=_____________________________________________. π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+ ,k∈Z) 2 其变形为: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), cos φ= ? ?sin φ= 其中? b ? ?tan φ=a, , , 角 φ 称为辅助角.

自我检测 1.(2010· 福建)计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于( ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 2 π? 4 3 ? 7π? 2.已知 cos? ) ?α-6?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值是( 2 3 2 3 4 4 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 3.函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 的最小正周期是( ) π A. B.π C.2π D.4π 2 4.(2011· 台州月考)设 0≤α<2π,若 sinα> 3cosα,则 α 的取值范围是( ) π π π ? ? A.? B.? ?3,2? ?3,π? π 4π? ?π,3π? , C.? D. ?3 3 ? ?3 2 ? 5. (2011· 广州模拟)已知向量 a=(sinx, cosx), 向量 b=(1, 3), 则|a+b|的最大值为( A.1 B. 3 C.3 D.9

)

探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 1 求值: (1)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )] 2sin280° ; (2)sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3· cos(θ+15° ).

2cos 10° -sin 20° 变式迁移 1 求值:(1) ; sin 70° π π π π (2)tan( -θ)+tan( +θ)+ 3tan( -θ)tan( +θ). 6 6 6 6

探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值) π π 3π ? 3 例 2 已知 0<β< <α< ,cos? ?4-α?=5, 4 4 3π ? 5 sin? ? 4 +β?=13,求 sin(α+β)的值.

π 1 ? 变式迁移 2 (2011· 广州模拟)已知 tan? ?4+α?=2,tanβ=2. (1)求 tanα 的值; sin?α+β?-2sinαcosβ (2)求 的值. 2sinαsinβ+cos?α+β?

探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值) π α 1 2 例 3 已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sinα 的值; (2)求 β 的值.

变式迁移 3 (2011· 岳阳模拟)若 sinA= 值.

5 10 ,sinB= ,且 A、B 均为钝角,求 A+B 的 5 10

转化与化归思想的应用 例 (12 分)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|= 2 5 . 5

(1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若- <β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 2 13 【答题模板】 2 5 4 解 (1)∵|a-b|= ,∴a2-2a· b+b2= .[2 分] 5 5 又∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴a2=b2=1, a· b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),[4 分] 4 4 a2+b2- 2- 5 5 3 故 cos(α-β)= = = .[6 分] 2 2 5 π π 3 4 (2)∵- <β<0<α< ,∴0<α-β<π.∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= .[8 分] 2 2 5 5 5 π 12 又∵sinβ=- ,- <β<0,∴cosβ= .[9 分] 13 2 13 故 sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ 5 4 12 3 33 - ?= .[12 分] = × + ×? 5 13 5 ? 13? 65 【突破思维障碍】 2 5 本题是三角函数问题与向量的综合题,唯一一个等式条件|a-b|= ,必须从这个等 5 式出发,利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问,在第(2)问中需要把未知 角向已知角转化再利用角的范围来求,即将 α 变为(α-β)+β. 【易错点剖析】 |a-b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点,把未知角转化成已知角并利用角的范围 确定三角函数符号也是易错点. 1.转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包括:函数名称变换,角的变换, “1” 的变换,和积变换,幂的升降变换等等. 2.变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现哪种变换,也要掌握各个公式的 相互联系和适用条件. 3.恒等变形前需已知式中角的差异,函数名称的差异,运算结构的差异,寻求联系, 实现转化. 4.基本技巧:切割化弦,异名化同,异角化同或尽量减少名称、角数,化为同次幂, 化为比例式,化为常数.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) π? 4 3 ? 2π? 1.(2011· 佛山模拟)已知 sin? ) ?α+3?+sinα=- 5 ,则 cos?α+ 3 ?等于( 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 π? 2 3 ? 7π? 2.已知 cos? ) ?α+6?-sinα= 3 ,则 sin?α- 6 ?的值是( 2 3 2 3 2 2 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 π ? ? ? 3 . (2011· 宁波月考 ) 已知向量 a = ? ?sin?α+6?,1? , b = (4,4cosα - 3) ,若 a⊥b ,则 4π α+ ?等于( sin? ) 3? ?

3 1 3 1 B.- C. D. 4 4 4 4 4.函数 y=sinx+cosx 图象的一条对称轴方程是( ) 5π 3π A.x= B.x= 4 4 π π C.x=- D.x=- 4 2 5.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则 C 的大小为( π 5 A. B. π 6 6 π 5 π 2 C. 或 π D. 或 π 6 6 3 3 1 2 3 4 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 重庆)如图, A.-

)

5

图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C, 各段弧所在的圆经过同一点 P(点 α1 α2+α3 P 不在 C 上)且半径相等.设第 i 段弧所对的圆心角为 αi (i=1,2,3),则 cos cos - 3 3 α1 α2+α3 sin · sin =________. 3 3 3 π 1 <α<π?,tan(π-β)= ,则 tan(α-β)=________. 7.设 sinα= ? ? 5? 2 2 π π - , ?, 8. (2011· 惠州月考)已知 tanα、 tanβ 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根, 且 α、 β∈? ? 2 2? 则 tan(α+β)=__________,α+β 的值为________. 三、解答题(共 38 分) π π 33 5 0, ?,β∈? ,π?且 sin(α+β)= ,cosβ=- .求 sinα; 9.(12 分)(1)已知 α∈? ? 2? ?2 ? 65 13 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tanβ=- ,求 2α-β 的值. 2 7

10.(12 分)(2010· 四川)(1)①证明两角和的余弦公式 C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ;②由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 1 → → 3 (2)已知△ABC 的面积 S= ,AB· AC=3,且 cosB= ,求 cosC. 5 2

11. (14 分)(2011· 济南模拟)设函数 f(x)=a· b, 其中向量 a=(2cosx,1), b=(cosx, 3sin2x), x∈R. π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈? ?-3,3?,求 x;

(2)求函数 y=f(x)的单调增区间, 并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0, π]上的图象.

答案自主梳理 1.(1)cosαcosβ-sinαsinβ cosαcosβ+sinαsinβ (2)sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ tan α-tanβ a b (3) 2. 2 2 2 1-tanαtanβ 1+tanαtanβ a +b a +b2 自我检测 1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 课堂活动区 例 1 解题导引 在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角 尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一 名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切; (3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式. 如果满足则直接使用, 如果不满足需转化一下角或转换一 下名称,就可以使用. 解 (1)原式 ?1+ 3sin 10° ??· 2sin 80° =?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ?? ? ? cos 10° + 3sin 10° ? ?· 2 sin 80° =?2sin 50° ? +sin 10° · cos 10° ? ? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ?· 2cos 10° 2 2 =? ?2sin 50° ? +2sin 10° · cos 10° ? ? 2sin 10° sin 40° ? + =? cos 10° ?· 2cos 10° ?2sin 50° 2sin 60° = · 2cos 10° =2 2sin 60° cos 10° 3 =2 2× = 6. 2 (2)原式=sin[(θ+45° )+30° ]+cos(θ+45° )- 3· cos[(θ+45° )-30° ] 3 1 3 3 = sin(θ+45° )+ cos(θ+45° )+cos(θ+45° )- cos(θ+45° )- sin(θ+45° )=0. 2 2 2 2 2cos?30° -20° ?-sin20° 变式迁移 1 解 (1)原式= sin70° 3cos20° +sin20° -sin20° 3cos20° = = = 3. sin70° sin 70° π π π π π π (2)原式=tan[( -θ)+( +θ)][1-tan( -θ)· tan( +θ)]+ 3tan( -θ)tan( +θ)= 3. 6 6 6 6 6 6 例 2 解题导引 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一 些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有 确定,则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要学会拆角、拼角等技

巧. π ? ?π ? 3 cos? ?4-α?=sin?4+α?=5, π 3π ∵0<β< <α< , 4 4 π π 3π 3π ∴ < +α<π, < +β<π. 2 4 4 4 π ? 4 2?π ? ∴cos? ?4+α?=- 1-sin ?4+α?=-5, 3π ? 12 2?3π ? cos? ? 4 +β?=- 1-sin ? 4 +β?=-13. ?π ? ?3π ?? ∴sin[π+(α+β)]=sin? ??4+α?+? 4 +β?? π ? ?3π ? ?π ? ?3π ? =sin? ?4+α?cos? 4 +β?+cos?4+α?sin? 4 +β? 12 4 5 3 56 - ?- × =- . = ×? 5 ? 13? 5 13 65 56 ∴sin(α+β)= . 65 π 1+tanα ? 变式迁移 2 解 (1)由 tan? ?4+α?=2,得1-tanα=2, 1 即 1+tanα=2-2tanα,∴tanα= . 3 sin?α+β?-2sinαcosβ (2) 2sinαsinβ+cos?α+β? sinαcos β+cosαsinβ-2sinαcosβ = 2sinαsinβ+cosαcosβ-sin αsinβ -?sinαcosβ-cos αsinβ? -sin?α-β? = = cosαcosβ+sin αsinβ cos?α-β? tanα-tanβ =-tan(α-β)=- 1+tanαtanβ 1 1 - 3 2 1 =- = . 1 1 7 1+ × 3 2 例 3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下原 则: ①已知正切函数值,选正切函数; π? ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是? ?0,2?,选正、余弦皆可; π π? 若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为? ?-2,2?,选正弦较好. (2)解这类问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. α 1 解 (1)∵tan = , 2 2 α α α 2· ?=2sin cos ∴sinα=sin? 2 ? ? 2 2 解

α α α 1 cos 2tan 2× 2 2 2 2 4 = = = = . α α α 1 ? ?2 5 sin2 +cos2 1+tan2 2 2 2 1+?2? π 4 3 (2)∵0<α< ,sinα= ,∴cosα= . 2 5 5 π 又 0<α< <β<π,∴0<β-α<π. 2 2 7 2 由 cos(β-α)= ,得 sin(β-α)= . 10 10 ∴sinβ=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα 7 2 3 2 4 25 2 2 = × + × = = . 10 5 10 5 50 2 π 3 由 <β<π 得 β= π. 2 4 2 3 (或求 cos β=- ,得 β= π) 2 4 2sin 变式迁移 3 解 ∵A、B 均为钝角且 sinA= ∴cosA=- 1-sin2A=- 5 10 ,sinB= , 5 10

2 2 5 =- , 5 5 3 3 10 cos B=- 1-sin2B=- =- . 10 10 ∴cos(A+B)=cosAcos B-sin AsinB 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =- × - - × = .① 5 10 2 ? 10 ? 5 π π 又∵ <A<π, <B<π, 2 2 ∴π<A+B<2π.② 7π 由①②,知 A+B= . 4 课后练习区 1.D 2.D 3.B 4.A 5.A 1 2 2 6.- 7.- 8. 3 - π 2 11 3 π 5 ? 9.解 (1)∵β∈? ?2,π?,cosβ=-13, 12 ∴sinβ= .…………………………………………………………………………(2 分) 13 π π 又∵0<α< , <β<π, 2 2 π 3π 33 ∴ <α+β< ,又 sin(α+β)= , 2 2 65 ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? 33?2 56 =- 1-? ?65? =-65,…………………………………………………………(4 分) ∴sinα=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ 33 ? 5 ? ? 56? 12 3 - - - · = .…………………………………………………………(6 分) = · 65 ? 13? ? 65? 13 5 (2)∵tanα=tan[(α-β)+β]

1 1 - 2 7 tan?α-β?+tanβ 1 = = = ,……………………………………………………(8 分) 1 1 3 1-tan?α-β?tanβ 1+ × 2 7 ∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] 1 1 + 3 2 tan α+tan?α-β? = = =1.……………………………………………………(10 分) 1 1 1-tanαtan?α-β? 1- × 3 2 1 1 ∵α,β∈(0,π),tanα= <1,tanβ=- <0, 3 7 π π ∴0<α< , <β<π, 4 2 3π ∴-π<2α-β<0,∴2α-β=- .……………………………………………………(12 分) 4 10.(1)

①证明 如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使角 α 的始 边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3;角 -β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)), …………………………………………………………………………………………(2 分) 由|P1P3|=|P2P4|及两点间的距离公式, 得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2, 展开并整理得: 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsin β), ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sin αsinβ.……………………………………………………(4 分) π ? ②解 由①易得,cos? ?2-α?=sinα, π ? sin? ?2-α?=cos α. π ? sin(α+β)=cos? ?2-?α+β?? ?π ? ? =cos? ??2-α?+?-β?? π ? ?π ? =cos? ?2-α?cos(-β)-sin?2-α?sin(-β) =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.……………………………………………………(7 分) (2)解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c. 1 1 则 S= bcsinA= , 2 2 → → AB· AC=bccos A=3>0, π? ∴A∈? cosA=3sinA, ……………………………………………………………(9 分) ?0,2?, 2 2 又 sin A+cos A=1,

10 3 10 ,cosA= , 10 10 3 4 由 cosB= ,得 sinB= . 5 5 ∴sin A= 10 . 10 …………………………………………………………………………………………… (11 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= 分) 10 . 10 …………………………………………………………………………………………… (12 故 cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=- 分) (1)依题设得 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x π? =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin? ?2x+6?+1. π? 由 2sin? ?2x+6?+1=1- 3, π? 3 得 sin? ?2x+6?=- 2 .……………………………………………………………………(3 分) π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ . 3 3 2 6 6 π π π ∴2x+ =- , 即 x=- .………………………………………………………………(6 分) 6 3 4 π π π (2)- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π π 即- +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z), 3 6 π π ? 得函数单调增区间为? ……………………………………(10 分) ?-3+kπ,6+kπ? (k∈Z). 列表: π π π 2π 5π x 0 π 6 3 2 3 6 y 2 3 2 0 0 2 -1 描点连线,得函数图象如图所示: 11.解

…………………………………………………………………………………………(14 分)


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