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【人教版】高考数学总复习:第3章《三角函数、解三角形》【5】


? 第五节 ? 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 ? ? ? ? ? [主干知识梳理] ; cos αcos β+sin αsin β ; cos αcos β-sin αsin β ; sin αcos β+cos αsin β 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.C(α-β):cos(α-β)= 2.C(α+β):cos(α+β)= 3.S(α+β):si

n(α+β)= 4.S(α-β):sin(α-β)= sin α cos β -cos α sin β ; tan α +tan β 5.T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan α tan β tan α -tan β 6.T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan α tan β 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.S2α :sin 2α = 2sin α cos α ; 2. C2α : cos 2α = cos2α -sin2α = 2cos2α -1 = 1-2sin2α ; 2tan α 3.T2α :tan 2α = . 2 1-tan α 三、常用的公式变形 1.tan α ±tan β =tan(α± β)(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2.cos α = ,sin α = ; 2 2 2 3.1+sin 2α =(sin α +cos α )2, 1-sin 2α =(sin α -cos α )2, sin α ±cos α = ? 2sin? ?α ? π? ? ± ?. 4? [基础自测自评] 1.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为 2 A.- 2 3 C. 2 2 B. 2 D.1 ( ) B [原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23° 2 =sin(68°-23°)=sin 45°= .] 2 2.(2014· 郑州模拟)已知 ? π x∈? ?- 2 ? ? ? ,0?,cos ? 4 x=5,则 tan 2x= ( ) 7 A.24 24 C. 7 7 B.-24 24 D.- 7 2 3.已知 sin α = ,则 cos(π -2α)等于 3 5 A.- 3 1 C.9 1 B.-9 5 D. 3 ( ) B [cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1= 4 1 2× -1=- .] 9 9 ? π? 4 ? 4. (教材习题改编)若 cos α =-5, α 是第三象限角, 则 sin?α + ? 4? ? ? =________. 解析 3 由已知条件 sin α=- 1-cos α=-5, 2 ? π? ? sin?α+ ? ?= 4 ? ? 2 2 7 2 2 sin α+ 2 cos α=- 10 . 答案 7 2 - 10 5.若 ? tan? ?α ? π? ? 2 + ?=5,则 tan α =________. 4? 解析 ? π? ? ? tan α+1 2 tan?α+ ?= = , 4 ? 1-tan α 5 ? 即 5tan α+5=2-2tan α. 3 则 7tan α=-3,故 tan α=- . 7 答案 3 -7 ? ? ? ? [关键要点点拨] 1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”. “符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为

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