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北京市海淀区2014届高三上期中考试数学试题(理)及答案


海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 答案 2013.11
一、选择题 1、A 2、C 3、B 4、C 5、B 6、B 7、D 8、C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
9.2 10..2 11. a ? b ? c 12..

2π π , 3 6

13.. ? ? 2 14. 4; 6(3n ? 1)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.解:(Ⅰ)由 A ? 60? 和 S?ABC ? 所以 bc ? 6 , 又 3b ? 2c, 所以 b ? 2, c ? 3 . (Ⅱ)因为 b ? 2, c ? 3 , A ? 60? , 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 可得 ------------------------------------7 分 ------------------------------------9 分 ------------------------------------5 分

3 3 1 3 3 可得 bc sin 60? ? , ---------------------------2 分 2 2 2 --------------------------------------3 分

a 2 ? 22 ? 32 ? 6 ? 7 ,即 a ? 7 .
由正弦定理

a b 可得------------------------------------11 分 ? sin A sin B

7 2 ? ,------------------- --------- --------12 分 ? sin B sin 60
21 .------------------------------------13 分 7 π 16. 解:(I) f ( x) ? 3 cos4 x ? cos(4 x ? ) ------------------------------------2 分 2
所以 sin B ?

? 3 cos 4 x ? sin 4 x ------------------------------------4 分

π ? 2sin(4 x ? ) ------------------------------------6 分 3

π ,------------------------------------8 分 2 π π 4π π π (II)因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 4 x ? ? -----------------------------------10 分 6 4 3 3 3 3 π 所以 ? ? sin(4 x ? ) ? 1 -----------------------------------12 分 2 3 π 所以 ? 3 ? 2sin(4 x ? ) ? 2 , -----------------------------------13 分 3
f ( x ) 最小正周期为 T ?
所以 f ( x ) 取值范围为 [ ? 3,2] . 17.解:(I)由已知 AH ? 11 ? t , PH ? t ? 1 ------------------------------------14 分 ------- ------------------- -----------1 分

1 所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (11 ? t ) t ? 1, ?1 ? t ? 11 . ---------------------4 分 2 1 1 1 t ? 1 ? ? (11 ? t ) ? (II)解法 1. f '(t ) ? ? 2 2 2 t ?1 3(3 ? t ) ? -------------------------------------7 分 4 t ?1
由 f '(t ) ? 0 得 t ? 3 , 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表: -------------------------------------8 分

t
f '(t )
f (t )

(?1,3)
+ ↗

3 0 极大值

(3,11)
?

↘ -----------------------------------12 分

所以当 t ? 3 时,函数 f (t ) 取得最大值 8.

------------------------------- -----13 分

1 1 (11 ? t )2 (t ? 1), ?1 ? t ? 11 解法 2.由 f (t ) ? (11 ? t ) t ? 1 ? 2 2
设 g (t ) ? (11 ? t )2 (t ? 1), ?1 ? t ? 11 , -------------------------------------6 分

则 g '(t ) ? ?2(11 ? t )(t ? 1) ? (11 ? t )2 ? (t ? 11)(t ? 11 ? 2t ? 2) ? 3(t ? 3)(t ? 11) .-------7 分 函数 g (t ) 与 g '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
g '(t )
g (t )

(?1,3)
+ ↗

3 0 极大值

(3,11)
?

↘ ------------------------------------11 分

所以当 t ? 3 时,函数 g (t ) 取得最大值,

-----------------------------------12 分

所以当 t ? 3 时,函数 f (t ) 取得最大值

1 g (3) ? 8 .------------------------------------13 分 2

18.解:(I)由②可得 a1 ? a1 ? 22 , a1 ? a2 ? 23 由①可得 a1 ? 2 . (II)由②可得 a1 ? an ? 2n ?1 , 所以数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n . (III)由(II)可得 bn ? (an ? 1)2 ? 4n ? 2n?1 ? 1 ,

-------------------------------2 分 -------------------------------3 分 ------------------------------6 分 ------------------------------7 分

易得 {4n },{2n?1} 分别为公比是 4 和 2 的等比数列,------------------------------8 分 由等比数列求和公式可得 Sn ?

4(1 ? 4n ) 4(1 ? 2n ) 1 ? ? n ? (4n ?1 ? 16) ? 2n? 2 ? n .--13 分 1? 4 1? 2 3
, ------------------------------1 分 ------------------------- -----3 分 ------------------------------4 分 ----------------------------5 分 ------------------------------6 分

19.解:(I)因为 a ? 1 , 所以 f '( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2ln x

2 x2 ? 4 x ? 2 ( x ? 0) , x f (1) ? ?3 , f '(1) ? 0 , 所以切线方程为 y ? ?3 .
(II) f '( x) ?

2 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a 2( x ? 1)( x ? a) ? ( x ? 0) , x x

由 f '( x) ? 0 得 x1 ? a, x2 ? 1 ,

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 或 x? (1, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (a,1) 时 f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, a) 和 (1, ??) ,单调减区间是 (a,1) ; ---------------7 分 当 a ? 1 时,在 x? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;-----8 分 当 a ? 1 时,在 x ? (0,1) 或 x ? (a, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (1, a) 时 f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) 和 (a, ??) ,单调减区间是 (1, a ) . ---------------10 分 (III)由(II)可知 f ( x) 在区间 [1,e] 上只可能有极小值点, 所以 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最大值在区间的端点处取到,-------------------------12 分 即有 f (1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 0 且 f (e) ? e2 ? 2(a ? 1)e ? 2a ? 0 ,

e 2 ? 2e . 2e ? 2 20.解:(I)27,9,3;8,9,3;6,2,3.
解得 a ?

---------------------14 分

------ --------------------------------3 分 1 (II)若 ak 被 3 除余 1,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? ak ? 2, ak ?3 ? (ak ? 2) ; 3 1 1 若 ak 被 3 除余 2,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? (ak ? 1) , ak ?3 ? (ak ? 1) ? 1 ; 3 3

1 1 若 ak 被 3 除余 0,则由已知可得 ak ?1 ? ak , ak ?3 ? ak ? 2 ; 3 3 1 所以 ak ?3 ? ak ? 2 , 3 1 2 所以 ak ? ak ?3 ? ak ? ( ak ? 2) ? (ak ? 3) 3 3
所以,对于数列 {an } 中的任意一项 ak ,“若 ak ? 3 ,则 ak ? ak ?3 ”. 因为 ak ? N* ,所以 ak ? ak ?3 ? 1 . 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾!) 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 由递推关系易得 {1,2,3} ? A . -------------------------- -------------8 分 (III)集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值为 21. 由已知递推关系可推得数列 {an } 满足: 当 am ?{1,2,3} 时,总有 an ? an ?3 成立,其中 n ? m, m ? 1, m ? 2,? . 下面考虑当 a1 ? a ? 2014 时,数列 {an } 中大于 3 的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为 {bn } ,由(I)可得 b1 ? 6 或 9, 由(II)的证明过程可知数列 {bn } 的项满足:

bn ?3 ? bn ,且当 bn 是 3 的倍数时,若使 bn ?3 ? bn 最小,需使 bn?2 ? bn?1 ? 1 ? bn ? 2 ,
所以,满足 bn ?3 ? bn 最小的数列 {bn } 中, b3 ? 4 或 7,且 b3k ? 3b3k ?3 ? 2 , 所以 b3k ? 1 ? 3(b3( k ?1) ? 1) ,所以数列 {b3k ? 1} 是首项为 4 ? 1 或 7 ? 1 的公比为 3 的等比数列, 所以 b3k ? 1 ? (4 ? 1) ? 3k ?1 或 b3k ? 1 ? (7 ? 1) ? 3k ?1 ,即 b3k ? 3k ? 1 或 b3k ? 2 ? 3k ? 1 , 因为 36 ? 2014 ? 37 ,所以,当 a ? 2014 时, k 的最大值是 6, 所以 a1 ? b18 ,所以集合 A 重元素个数 Card ( A) 的最大值为 21.---------------13 分


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