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2014届高考数学总复习 第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版


第3讲

函数的奇偶性与周期性

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1. 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.

2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3. 了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简 单函数的周期性.

1个重要规律 奇、偶函数的定

义域关于原点对称.函数的定义域关于原

点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2种必会方法 1. 定义法:先求出定义域 ①关于原点对称,判断f(-x)与f(x)的关系得结论; ②不关于原点对称,则不具有奇偶性.

2. 图象法:首先作出f(x)的图象 ①关于原点对称,f(x)为奇函数;

②关于y轴对称,f(x)为偶函数;
③既不关于原点,也不关于y轴对称,不具有奇偶性. 3个必记结论 1. 若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a) =f(x),所以f(x)的周期T=2a.

1 1 2. 若f(x+a)= ,则f(x+2a)=f[(x+a)+a]= = f?x? f?x+a? f(x),所以f(x)周期T=2a. 1 3. 若f(x+a)=- ,同理由递推法可得2a是函数的一个周 f?x? 期.

课前自主导学

1. 函数的奇偶性 奇函数 偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 定义 都有________,那么 都有________,那么 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 图象 特点 关于______对称 关于______轴对称

奇偶函数的定义域有什么特点?它是函数具有奇偶性的什
么条件?

(1)下列函数中,所有奇函数的序号是________. ①f(x)=2x4+3x2;②f(x)=x3-2x; x2+1 1 3 ③f(x)= ;④f(x)=x +1;⑤y=x+ . x x (2)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则 a+b的值________.

2. 周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数

T,使得当x取定义域内的任何值时,都有____________,那么
就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个________,那么这个________就叫做它的最小正周期.

(1)已知函数f(x),对?x∈R,都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]

时,f(x)=4x-1,则f(-5.5)的值为________.
(2)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________.

1. f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 原点 称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 填一填:(1)②③⑤

y

想一想:提示:定义域关于原点对称.定义域关于原点对

1 1 (2)3 提示:a-1+2a=0,∴a=3, 1 又f(-1)=f(1),得b=0,∴a+b=3. 2. f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小的正数 填一填:(1)1 (2)-1

核心要点研究

例1

判断下列函数的奇偶性.
3

1 (1)f(x)=x - ; x (2)f(x)=x2-x3; (3)f(x)=log2(x+ x2+1); (4)y= 2x-1+ 1-2x;

?x2+2?x>0? ? (5)f(x)=?0?x=0? ?-x2-2?x<0? ? lg?1-x2? (6)f(x)= 2 . |x -2|-2



[审题视点]

先求出函数的定义域,若定义域关于原点对

称,再根据定义研究f(-x)与f(x)的关系,必要时需对解析式进 行化简,分段函数则要分段判断.

[解]

(1)定义域是{x|x∈R,且x≠0},关于原点对称,
3

1 1 3 且f(-x)=(-x) - =-x +x=-f(x), -x 故f(x)是奇函数.

(2)定义域是R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)2-(-x)3=x2+x3, 因此f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), 故f(x)是非奇非偶函数. (3)定义域是R,关于原点对称, 且f(-x)=log2(-x+ x2+1) 1 =log2 =-log2(x+ x2+1) x+ x2+1 =-f(x), 故f(x)是奇函数.

(4)由

?2x-1≥0 ? ? ?1-2x≥0 ?

1 得函数定义域为{ 2 },不关于原点对

称,函数是非奇非偶函数. (5)当x>0时,-x<0,f(x)=x2+2, f(-x)=-(-x)2-2=-x2-2=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(x)=-x2-2, f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-f(x); 当x=0时,f(-x)=0=-f(x), 所以对x∈R,均有f(-x)=-f(x),函数是奇函数.

(6)由 点对称,

?1-x2>0 ? ? 2 ?|x -2|≠2 ?

可得-1<x<1且x≠0,定义域关于原

lg?1-x2? lg?1-x2? lg?1-x2? 这时f(x)= 2 = =- x2 , 2 |x -2|-2 2-x -2 lg?1-x2? f(-x)=- x2 =f(x),故函数是偶函数.

(1)判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于

原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要
条件. (2)分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数 在整个定义域上的奇偶性.

(3)在分析f(-x)与f(x)的关系时,经常需要对f(x)的解析式进
行等价变形.

[变式探究]

[2012·上海高考]已知y=f(x)+x2 是奇函数,

且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________. 解:设h(x)=f(x)+x2为奇函数,

则h(-x)=f(-x)+x2,
∴h(-x)=-h(x),∴f(-x)+x2=-f(x)-x2, ∴f(-1)+1=-f(1)-1,∴f(-1)=-3, ∴g(-1)=f(-1)+2=-1.

例2 [2012· 天津高考]下列函数中,既是偶函数,又在 区间(1,2)内是增函数的为( A. y=cos2x,x∈R ex-e-x C. y= ,x∈R 2 ) B. y=log2|x|,x∈R且x≠0 D. y=x3+1,x∈R

[审题视点]

分析四个函数在(1,2)上不具有单调性,或为

奇函数、非奇非偶函数的情况,利用排除法求解.

[解析]

由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间

(1,2)内为增函数,而此时y=log2|x|=log2x为增函数,所以选择 B. [答案] B

奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在

对称区间上具有相反的单调性,因此,若函数具有奇偶性,研
究单调性或最值或作图象等问题,只需在非负值范围内研究即 可,在负值范围内由对称性可得.

[变式探究]

已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对

于任意给定的不相等的实数 x1 、x2 ,不等式(x1 -x2)·[f(x1)-

f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1-x)<0的解集为(
A. (0,3) C. (-∞,0) 答案:C B. (3,+∞) D. (0,+∞)

)

解析:∵f(x+1)是定义在R上的奇函数,关于(0,0)对称, 向右平移1个单位得到f(x)的图象,关于(1,0)对称,即f(1)=0,

又∵任取x1,x2∈R,x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,∴f(x)
在R上单调递减.∵f(1-x)<0=f(1),∴1-x>1,∴x<0,∴不 等式f(1-x)<0的解集为(-∞,0).

例3

[2012·山东高考]定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=

f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( A. 335 C. 1678 B. 338 D. 2012 )

[审题视点]

用赋值法求出多个函数值,发现其规律,再

利用周期性进行化简求值. [解析] 由f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2) +…+f(2012)=335[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2),而f(1)=

1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=
-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=1, 所以f(1)+f(2)+…+f(2012)=338,故选B. [答案] B

奇思妙想:本例条件不变的情况下,求使f(x)=1在 [0,2013]上的所有x的个数,若f(x)=-1,结果又如何呢? 解:当x=1时f(x)=1,∵f(x)是以6为周期的函数,∴f(x) =1的所有解为x=6n+1(n∈Z),令0≤6n+1≤2013, 1 2 ∴-6≤n≤3353,又∵n∈Z, ∴0≤n≤335(n∈Z).

∴在[0,2013]上共有336个x使f(x)=1. 当f(x)=-1时,每个周期有2个解,

∵2013=335×6+3.
∴x解的个数为335×2+1=671个(f(x)=-1在最后半个周 期有一个解).

(1)关于周期性常见结论f(x+a)=-f(x),T=2a;f(x+a) 1 = ,T=2a,f(x+m)=f(x+n),T=|m-n|. f?x? (2)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性 质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断, 利用函数周期性求值,以及解决与周期有关的函数综合问 题.解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息,找 到函数的周期,利用周期在有定义的范围上进行求解.

[变式探究]

[2013·九江模考]已知f(x)是R上最小正周期为

2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3 -x,则函数y=f(x)在区 间[0,6]上的图象与x轴的交点个数为( )

A. 6
C. 8 答案:B

B. 7
D. 9

解析:函数y=f(x)的图象与x轴的交点即为y=f(x)的零点, 先在区间[0,2)上讨论,令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,解得x= 0或x=1(x=-1舍去).又函数f(x)在R上以2为周期,则当x=

2,x=4,x=6或x=3,x=5时也有f(x)=0,即在区间[0,6]上f(x)
的图象与x轴的交点个数为7.函数图象如下.

例4

[2013·大同模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x

-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)
在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+ x4=________. [审题视点] 根据已知条件分析函数f(x)在[-8,8]的单调 性,对称性,画出图象进行求解.

[解析] ∵f(x)为奇函数并且f(x-4)=-f(x).
∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(4-x)=f(x), 且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴y=f(x)的图象关于x=2对 称,并且是周期为8的周期函数, ∵f(x)在[0,2]上是增函数,

∴f(x)在[-2,2]上是增函数,
在[2,6]上为减函数,据此可画出y=f(x)的示意图象,

其图象也关于x=-6对称,

∴x1+x2=-12,x3+x4=4,
∴x1+x2+x3+x4=-8. [答案] -8

有关抽象函数涉及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性 质时,可考虑结合函数的图象特征,运用数形结合的思想方法

求解.

[变式探究] [2013· 海南模拟]设偶函数f(x)对任意x∈ 1 R,都有f(x+3)=- ,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x, f?x? 则f(107.5)=( A. 10 C. -10 ) 1 B. 10 1 D. - 10

答案:B
1 1 解析:因为f(x+3)=- ,故有f(x+6)=- = f?x? f?x+3? f(x).函数f(x)是以6为周期的函数. 1 1 f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=- =- = f?2.5? f?-2.5? 1 1 - = .故选B. 4×?-2.5? 10

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 ?x+1?2+sinx [2012· 全国新课标]设函数f(x)= 的最大值为 x2+1 M,最小值为m,则M+m=________.

2x+sinx [规范解答] 因为f(x)=1+ 2 ,所以h(x)=f(x)-1 x +1 = 2x+sinx x2+1 是奇函数,所以h(x)max=f(x)max-1=M-1,

h(x)min=f(x)min-1=m-1,由奇函数的对称性可知h(x)max+ h(x)min=0,所以M-1+m-1=0,即M+m=2.

[答案] 2

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角

本题通过构造奇函数解题,思路自然方法简洁,通过对f(x)
的变形发现奇函数,利用奇函数在对称区间上的函数值相反来 确定M+m的值.

No.2

角度关键词:技巧点拨

整体思考,联想奇函数,利用其对称性简化求解,这是整

体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特
征,借助分式类函数最值的处理方法,部分分式法,变形发现 辅助函数为奇函数,整体处理最大值和最小值的问题以使问题 简单化,这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用 的深刻理解.

经典演练提能

1. 下列函数为偶函数的是( A. y=sinx C. y=ex

) B. y=x3 D. y=ln x2+1

答案:D
解析:选项中的四个函数的定义域都是R.选项A,y= sinx为奇函数.选项B,幂函数y=x3也为奇函数.选项C, 指数函数y=ex为非奇非偶函数.选项D,根据函数奇偶性 的定义可以判断为偶函数.令f(x)=ln x2+1 ,得到f(-x)= ln ?-x?2+1=ln x2+1=f(x),所以选D.

2.

?1,x为有理数, ? [2012· 福建高考]设函数D(x)=? ?0,x为无理数, ?

则下

列结论错误的是(

)

A. D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数 D. D(x)不是单调函数

答案:C 解析:显然,A,D是对的.若x是无理数,则-x也是无理

数;若x是有理数,则-x也是有理数.所以D(-x)=D(x),故
D(x)是偶函数.同理,对于任意有理数T,D(x+T)=D(x)(若x是 无理数,则x+T也是无理数;若x是有理数,则x+T也是有理 数),故D(x)是周期函数.

3.

[2012· 湘潭四模]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x

1 +1)=-f(x),且在[0,1)上单调递增,记a=f( 2 ),b=f(2),c =f(3),则a,b,c的大小关系为( A. a>b=c C. b>c>a )

B. b>a=c D. a>c>b

答案:A

解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是 以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又 f(3)=-f(2)=0,f(1)=f(0)=0,又f(x)在[0,1)上是增函数, 1 于是有f(2)>f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c.

4. [2012· 浙江高考]设函数f(x)是定义在R上的周期为2的 3 偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f( )=________. 2

3 答案:2 3 3 1 1 1 3 解析:f(2)=f(2-2)=f(-2)=f(2)=2+1=2.

5. [2013·金版原创题]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+

2)·f(x)=1对于x∈R恒成立,且f(x)>0,则f(119)=________.
答案:1

1 1 解析:∵f(x+2)= ,∴f(x+4)=f(x+2+2)= f?x? f?x+2? =f(x),∴f(x)为周期函数T=4, 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(119)=f(29×4+ 3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1), 1 又f(-1+2)= , f?-1? ∴f(1)· f(-1)=1即f2(1)=1,∵f(x)>0 ∴f(1)=1,∴f(3)=1.


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