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【名师堂】2015-2016学年高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)教案 新人教A版必修4


1.5 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象
一、教学分析 本节通过图象变换,揭示参数φ 、ω 、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函 数 y=Asin(ω x+φ )的图象与正弦曲线的关系,以及 A、 ω、 φ 的物理意义,并通过图象的变化 过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性 质的一个直观反映.这节是本章的一个难点. 如何经过变换由正弦函数 y=sinx 来获取函数 y=Asin(ω x+φ )的图象呢?通过引导学生 对函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、 由特殊到一般的化归思想;并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换 这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法 ;通过对参数 φ 、ω 、A 的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五 点” 作图法,正确找出函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,这也是本节课的重 点所在. 二、教学目标: 1、知识与技能 借助计算机画出函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象,观察参数Φ ,ω ,A 对函数图象变化的 影响;引导学生认识 y=Asin(ω x+φ ) 的图象的五个关键点,学会用“五点法”画函数 y =Asin(ω x+φ )的简图;用准确的数学语言描述不同的变换过程. 2、过程与方法 通过引导学生对函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索, 让学生体会 研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时, 一般采取先 “各个击破”后“归纳整合”的方法. 3、情感态度与价值观 经历对函数 y=sin x 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以 及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题,解决问题的能力. 三、教学重点、难点: 重点:将考察参数Α 、ω 、φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )图象的影响的问题进行分解,找 出函数 y=sin x 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干 简单问题的方法.;会用五点作图法正确画函数 y=Asin(ω x+φ )的简图. 难点:学生对周期变换、相位变换顺序不同,图象平移量也不同的理解. 四、教学设想: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(一) (一) 、导入新课 思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(ω x+φ )的 函数(其中 A、ω 、φ 是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电 流强度 y 与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图 象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数 y=Asin(ω x+φ )的 图象. 思路 2.(直接导入)从解析式来看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ω x+φ )存在着怎样的关 系?从图象上看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ω x+φ )存在着怎样的关系?接下来,我们就分别 探索φ 、ω 、A 对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响.
1

(二) 、推进新课、新知探究、提出问题 ①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系?你认为可以怎样讨论参 数φ 、ω 、A 对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响? ②分别在 y=sinx 和 y=sin(x+

? )的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移 3

动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ 对图象有怎样的影响?对φ 任取不同 的值,作出 y=sin(x+φ )的图象,看看与 y=sinx 的图象是否有类似的关系? ③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到 y=sin(x+φ )的图象. ④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω 对 y=sin(ω x+φ )的图象的影响吗?为 了作图的方便,先不妨固定为φ = 定为 y=sin(x+

? ). 3

? ,从而使 y=sin(ω x+φ )在ω 变化过程中的比较对象固 3

⑤类似地,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+ 令ω =2,φ =

? .此时,可以对 A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标 3 ? 系中的图象,观察它们与 y=sin(2x+ )的图象之间的关系. 3
⑥可否先伸缩后平移?怎样先伸缩后平移的? 活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法. 同时引导学生观察 y=sin(x+

? )的图象的影响吗?为了研究方便,不妨 3

? )图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系,获得 3

φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程 ,引导学 生观察变化过程中的不变量 ,得出它们的横坐标总是相差

? 的结论.并让学生讨论探究.最 3

后共同总结出:先分别讨论参数φ 、ω 、A 对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响,然后再整合.

图1 问题②,由学生作出φ 取不同值时,函数 y=sin(x+φ )的图象,并探究它与 y=sinx 的图象 的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ 对 y=sin(x+φ )的图象影 响的经验.为了研究的方便 ,不妨先取φ =

? ,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象 , 3
? ) 3

如图 1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点 A、 B,沿两条曲线同时移动这两点, 并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个 y 值,y=sin(x+ 的图象上的点的横坐标总是等于 y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去

? .这样的过程可通 3

过多媒体课件,使得图中 A、 B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察 A、 B 的坐标、

2

? )的图象,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有 3 ? ? 的点向左平移 个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图象向左平移 使之 3 3 ? ? 与 y=sin(x+ )的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ = ? ,用 3 4 ? ? 同样的方法可以得到 y=sinx 的图象向右平移 后与 y=sin(x ? )的图象重合. 4 4
xB-xA、|AB|的变化情况,这说明 y=sin(x+ 如果再变换φ 的值,类似的情况将不断出现,这时φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响的铺 垫已经完成,学生关于φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③,引导学生通过自己的研究认识φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响,并概括出一般 结论: y=sin(x+φ )(其中φ ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左 (当φ >0 时) 或向右(当φ <0 时)平行移动|φ |个单位长度而得到. 问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从 具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以 y=sin(x+ 象与 y=sin(x+

? )的图象作比较,取点 A、B 观察.发现规律: 3

? ? )为参照,把 y=sin(2x+ )的图 3 3

图2 如图 2,对于同一个 y 值,y=sin(2x+ 对应点的

? ? )的图象上点的横坐标总是等于 y=sin(x+ )的图象上 3 3

1 倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程, 2 1 1 ? 引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω = ,让学生自己比较 y=sin( x+ ) 2 2 3 ? 的图象与 y=sin(x+ )图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动, 3 ? 得出结论:把 y=sin(x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),就得到 3 1 ? y=sin( x+ )的图象. 2 3 ? 当取ω 为其他值时,观察相应的函数图象与 y=sin(x+ )的图象的关系,得出类似的结 3
论.这时ω 对 y=sin(ω x+φ )的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω 对 y=sin(ω x+φ )的 图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳 y=sin(ω x+ φ )的图象与 y=sin(x+φ )的图象之间的关系,得出结论: 函数 y=sin(ω x+φ )的图象可以看作是把 y=sin(x+φ )的图象上所有点的横坐标缩短

3

(当ω >1 时)或伸长(当 0<ω <1 时)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变)而得到.

图3 问题⑤,教师点拨学生,探索 A 对图象的影响的过程,与探索ω 、φ 对图象的影响完全一 致,鼓励学生独立完成.学生观察 y=3sin(2x+

? ? )的图象和 y=sin(2x+ )的图象之间的关系. 3 3

如图 3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使 它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个 x 值,函数

? ? )的图象上的点的纵坐标等于函数 y=sin(2x+ )的图象上点的纵坐标的 3 倍. 3 3 ? ? 这说明,y=3sin(2x+ )的图象,可以看作是把 y=sin(2x+ )的图象上所有的点的纵坐标伸 3 3
y=3sin(2x+ 长到原来的 3 倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况. 有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论: 函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象,可以看作是把 y=sin(ω x+φ )上所有点 的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函 数 y=Asin(ω x+φ )的值域是[-A,A],最大值是 A,最小值是-A. 由此我们得到了参数φ 、ω 、A 对函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象变化的 影响情况. 一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象,可以看作用下面的方法得到: 先画出函数 y=sinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ |个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ )的图象; 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

1

?

倍,得到函数 y=sin(ω x+φ )

的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象. ⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标), 最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会 一些细节. 由此我们完成了参数φ 、ω 、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考 整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. (三) 、讨论结果: ①把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的变换过程,分解为先分别考 察参数φ 、ω 、A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(ω x+φ )的整体考察. ②略②略. ③图象左右平移,φ 影响的是图象与 x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω 影响了图象的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图象的形状.

4

(四) 、规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下:

向左(? ?0 )或向右 (? ?0 ) ? ????? ?? 得 y=sin(x+φ )的图象 y=sinx 的图象 平移|? |个单位长度
( 0?? ?1)或缩短 (? ?1) ?横坐标伸长 ??? ? ? ? ??? 得 y=sin(ω x+φ )的图象 1 到原来 (纵坐标不变 )

?

( A?1)或缩短 ( 0? A?1) ?纵坐标伸长 ??? ?????? 得 y=Asin(ω x+φ )的图象. 为原来的 A倍( 横坐标不变 )

先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.

纵坐标伸长 ( A?1)或缩短 ( 0? A?1) ? ????????? 得 y=Asinx 的图象 y=sinx 的图象 这原来的 A倍( 横坐标不变 )
( 0?? ?1)或缩短 (? ?1) ?横坐标伸长 ??? ? ? ? ??? 1 到原来的 (纵坐标不变 )

得 y=Asin(ω x)的图象

?

(? ?0 )或缩短 (? ?1) ?向左 ?? ??? ?? 平移| |个单位

? ?

得 y=Asin(ω x+φ )的图象.

(五) 、应用示例 例 1 画出函数 y=2sin(

1 ? x- )的简图. 3 6

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.

6 1 ? 本节所学内容自己写出得到 y=2sin( x- )的图象的过程:只需把 y=sinx 的曲线上所有 3 6

(1)引导学生从图象变换的角度来探究 ,这里的φ = ?

?

,ω =

1 ,A=2,鼓励学生根据 3

? ? 个单位长度,得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到 6 6 1 ? 原来的 3 倍(纵坐标不变),得到 y=sin( x- )的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸 3 6 1 ? 长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到函数 y=2sin( x- )的图象,如图 4 所示. 3 6
点向右平行移动

5

图4 (2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序 的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.

1 ? x- ),简图的方法,教师 3 6 1 ? 再进一步的启发学生能否利用 “五点法” 作图画出函数 y=2sin( x- )的简图,并鼓励学生 3 6
(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数 y=2sin( 动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数 y=2sin(
?

1 ? x- )简图的方法为 3 6

y=sinx

?? ? ? ?? y=sin(x- ? )
6

右移 个单位 6

横坐标不变 1 ? y=sin( x- ) 纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标伸长到原来的 3倍 3 6 1 ? y=2sin( x- ). 3 6 1 ? 方法二:画出函数 y=2sin( x- )简图的又一方法为 3 6

?纵坐标不变 ? ???

?? ???

y=sinx

横坐标伸长到原来的 3倍 横坐标不变

?纵坐标不变 ? ???

y=sin

1 x 3
右移 个单位 2

?? ??? y=2sin 1 x 纵坐标伸长到原来的 2 倍 3
1 ? (x- ). 3 2

?? ? ? ?? y=2sin( 1 x- ?
3

?

6

)=2sin

方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令 X= X X Y

1 ? ? x- ,则 x=3(X+ ).列表: 3 6 6
0

? 2
2π 2

π

3? 2
5π -2



?
2
0

7? 2
0

13? 2
0

描点画图,如图 5 所示.

6

图5 点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及 “五点法” 作图会有一个新的认识. 但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个 难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值 以及曲线与 x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设 X=ω x+φ ,再用方程思想由 X 取 0,

? 3? ,π , ,2π 来确定对应的 x 值. 2 2

(六) 、课堂小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析 式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出 y=Asin(ω x+

? )的图象,并分别观察参数 3

φ 、ω 、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特 殊到一般的化归思想. (七) 、作业

7


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