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高二数学直线的一般式方程1


直线的一般式方程

授课教师

陈怡

(一)填空
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 已知条件
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)

标准方程

适用范围

y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线 y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b
有斜率的直线
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线

x轴上截距a y轴上截距b

(x0 , y0) 过点 与x轴垂直的直线可表示成 x ? x0,
(x0 , y0) 与y轴垂直的直线可表示成 y ? y0。 过点

(二)填空 1.过点(2,1),斜率为2的直线的 方程是____________ y-1=2(x-2) 2.过点(2,1),斜率为0的直线方 y=1 程是___________ 3.过点(2,1),斜率不存在的直 x=2 线的方程是_________
思考1:以上三个方程是否都是二元一次方程? 所有的直线方程是否都是二元一次方程?

思考2:对于任意一个二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B不同时为零) 能否表示一条直线?
A C B?0 时,方程变为 y=- xB B C A 表示过点(0,- ),斜率为- 的直线 B B C (A ? 0) B=0 时,方程变为 x=A 表示垂直于x轴的一条直线

总结: 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的 二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式

2.二元一次方程的系数和常数项对

直线的位置的影响

探究:在方程 Ax ? By ? C ? 0 中,

1.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0 时,方程表示的直线与x轴 平行



2.当 A ? 0,B ? 0,C为任意实数 时,方程表示的直线与x轴垂直; 重合 ; 3.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0时,方程表示的直线与x轴______ 4.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0 时,方程表示的直线与y轴重合 ; 5.当 C ? 0, A, B不同时为0 时,方程表示的直线过原点.

3.一般式方程与其他形式方程的转化
(一)把直线方程的点斜式、两点式和截距式转 化为一般式,把握直线方程一般式的特点

例1 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一 般式: 4 1.过点A(6,-4),斜率为- ; 3 4 y+4=- (x-6)?4x+3y-12=0 3 2.经过点P(3,-2),Q(5,-4); y+2 x-3 = ?x+y-1=0 -4+2 5-3 3 3.在x轴,y轴上的截距分别是 ,-3; 2 x y + =1 ?2x-y-3=0 3 -3 2

注:对于直线方程的一般式,一般作如下 约定:一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列;x项的系数为正;x,y的系数和常数 项一般不出现分数;无特别说明时,最好 将所求直线方程的结果写成一般式。

(二)直线方程的一般式化为斜截式,以及已知

直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法

例2 把直线 l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 化成斜截式,求 出直线的斜率以及它在y轴上的截距。 3 解:将直线的一般式方程化为斜截式: y ? ? x ? 3 , 5 3 它的斜率为: ? ,它在y轴上的截距是3 5 思考:若已知直线 l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 ,求它在x轴上 的截距.

求直线的一般式方程 Ax ? By ? C ? 0(在A, B都不为零时)

的斜率和截距的方法:

A (1)直线的斜率 k=- B (2)直线在y轴上的截距b C C y ? ? 令x=0,解出 值,则 b ? ? B B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0,解出 x ? ? C 值,则 a ? ? C A A

拓展训练题:
设直线

解析:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零,当然相等,此 时a=2,方程为3x+y=0.

l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数a的取值范围.

即 a+1=1, ∴a=0 , 所以,

a-2 ?a-2, 若 a ? 2 ,即l不过原点时,由于 l 在两坐标轴上的截距相等,有 a ?1

l 的方程为

x+y+2=0.

l 的方程为3x+y=0

或 x+y+2=0

(2)将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限,当且仅当

??(a ? 1) ? 0 ? ?a ? 2 ? 0



??(a ? 1) ? 0 ? ?a ? 2 ? 0

,∴

a ? -1

综上所述,a的取值范围是 (-?,-1] .

作业 1.预习《3.3.1两条直线的交点坐 标》 2.课本 P 110 练习1,2, P 111 B组 3,4

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小饭店掌柜的夫妇如此的好心人,使他们原本苦痛不堪的心灵倍感温暖。这一天太痛,也太累了,他们实在是需要尽快地歇息 了。耿英和耿直先将椅子挪开了,再将两张方桌子并在一起。耿正打开自己背的大行李卷,把爹的被子铺在并起来的饭桌上, 让小直子睡在中间,拿爹的枕头给弟弟枕上,将自己的枕头给妹妹,又拿出几件衣服卷巴一下放在自己一边。三个人合拉着盖 上耿正的被子,终于含着眼泪和衣睡着了。第二天早上耿正醒来时,日头已经露出半个脸了。赶快坐起来,厨房里已经传出了 轻轻切菜的声音。看到耿英和耿直还没有睡醒,耿正有点儿不忍心叫醒他们,就自己先跳下地来。桌子一摇晃,耿英和耿直也 都醒了。睁眼一看天儿已经大亮了,也都赶快跳下地来。耿正赶快把行李卷重新打好。耿英和耿直也将桌子和椅子都重新摆好 了。老板娘听到这边的响动了,轻轻走出来对他们说:“起来了!收拾一下过来洗洗脸吧!早饭快做好了。你们吃罢饭就可以 早点儿赶路了。”早饭端上来了。掌柜的先把一大盆儿热粥放在旁边的一张桌子上,又把四个热炒菜和一大盘子酱牛肉摆在耿 正兄妹三人围坐的桌子中间;老板娘把一笼大馒头放在桌子的一角,又端来五副碗筷,给每个碗里盛上热粥,摆上筷子,说: “我们一起吃早饭吧!”说着,夫妻二人也坐下来。掌柜的说:“今儿个的早饭,大哥大嫂和你们一块儿吃!都多吃点儿!” 老板娘说:“先喝几口现熬的两米粥吧,挺香呢!”大家都喝了半碗粥。耿英轻轻地说:“两米粥真香!”老板娘笑了,亲切 地说:“就着菜吃馒头吧。这盘子酱牛肉可要多吃点儿啊,吃了有劲儿走路!”耿正感激地说:“大哥大嫂,真不知道该怎样 感谢你们!”掌柜的说:“别说客气话了,慢慢吃吧。一定要吃饱啊!”临走之前,掌柜的执意不收一文钱,只说:“路上保 重!”大嫂还从厨房里拿出一大包烙饼,亲切地说:“带上吧,这是今儿个早上才现打的。饿了找不到饭店的时候,可以充充 饥!”说着,夫妇俩把耿正兄妹三人送出饭店门来,帮他们把行李卷背好。兄妹三人眼含热泪给掌柜的夫妇鞠躬。耿正说: “多谢大哥大嫂!我们走了。咱们后会有期!”掌柜的说:“路上小心,后会有期!”大嫂说:“天黑以前,可要早点儿找客 栈啊!”97第四十五回 生离死别一瞬间|(多日阴雨天放晴,喜离客栈继续行;为抄近道攀山路,突发溃坝天降灾。)耿家父 子四人渡过鄱阳湖以后,就一边走一边打听着,直奔东南方向的景德镇去了。然而此时,南方的雨季已经来临,恼人的雨天越 来越频繁起来。又是一个连续多日的连阴雨天,父子们在一个名叫“碧山客栈”的乡镇小客栈内已经无奈地住了好几天了,但 天气却依然没有一点点似要放晴了的迹象。听“碧山


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