当前位置:首页 >> 数学 >> 03 简单不等式的解法

03 简单不等式的解法


§03 简单不等式的解法
【基础再现】 1. (1)不等式 x2-5x+6>0 的解集为___________________. 答案:{x|x >3 或 x<2} (2)f(x)=ax2+ax-1,若 f(x)<0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是________. 【答案】 (-4,0]. 意图:考察一元二次不等式的解法.
?x2-1<0 2.不等式

组? 2 的解集是_______________. ?x -3x<0

答案: {x|0<x<1 } 意图:考察由一元二次不等式构成的不等式组的解法. x-1 3.不等式 >0 的解集为______________. x-3 答案:{x|x<1 或 x>3} x-1 解析:由已知 >0?(x-1)(x-3)>0,∴ x<1 或 x>3. x-3 故原不等式的解集为{x|x<1 或 x>3}. 意图:考察简单的分式不等式的解法,分式不等式的解题思路是:分式化整式(注意分母不 为零) . 1 4.不等式 <1 的解集为 x 答案:{x|x<0 或 x>1}. 意图:体现化归思想,最终转化为一元二次不等式解法。本题也是学生容易出错的题目,学 生可能会直接去分母.如果进行去分母的话,则必须对分母的符号进行讨论. 5.不等式(1+x)(1-|x|)>0 的解集是_____________________. 答案:解集为{x|x<-1 或-1<x<1}. 意图:该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求. 【典型例题】 1 【例 1】已知关于 x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0 解集为(-∞,- ) ,求关于 x 的不等式(a 3 -3b)x+(b-2a)>0 的解集. 1 解:由(a+b)x+(2a-3b)<0 解为(-∞,- ) , 3 3b-2a 1 ∴ a+b>0,且 = ,从而 a=2b. 3 a+b 又 a+b =3b>0,∴b>0,将 a=2b 代入(a-3b)x+(b-2a)>0 得-bx-3b>0,x<-3,所求解集为(-∞,-3) . 选题意图:掌握一元一次不等式的解法.此题挖掘隐含条件 a+b>0 很重要. 变式题 1:已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b 的值;
-1-



(2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 选题意图: (1)掌握一元二次不等式的解法.当二次项系数为负时要先化为正,再根据判 别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首 先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在 根存在时,根据根的大小进行分类. 解 (1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2- 3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.由根与系数的关系, 3 1+b= , ?a=1, a ? 得 解得? 2 ?b=2. ? 1× b= . a

? ? ?

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?. 1 变式题 2:已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x> },则 f(10x)>0 的解 集为 2 _____________________. 答案:{x|x<-lg2} 选题意图: 抓住解不等式的一般方法, 即观察图像。 本题还考察简单指数不等式的解法. (本 题选自 13 年安徽卷) 变式题 3:已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x) <c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为 答案:9 选题意图: (选自 12 年江苏卷)本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的 关系,根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清. 变式题 4:若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=__________. 答案:2,解析:由|kx-4|≤2 可得 2≤kx≤6,而 1≤x≤3,所以 k=2. 另解:由题意可知 x=1,x=3 是|kx-4|=2 的两根. 选题意图: (选自 12 年山东卷)考察含绝对值不等式的解法,及方程的解与不等式解集之间 的关系。 变式题 5:设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个,则实 数 a 的取值范围是______________. 答案:1<a<3. 意图: (选自 09 年天津卷) 本试题主要考查了解一元二次不等式解法, 二次函数的有关知识, 逻辑思维推理能力, 含有两个变量的题目是难题. 解决该试题的关键是对于二次不等式的开
-2-



口方向和因式分解的正确处理。 变式题 6:若不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围. 选题意图:抓住主元.从表面上看,这是一个关于 x 的一元二次不等式,实际上是一个关于 m 的一元一次不等式. 解 原不等式化为 (x2-1) m- (2x-1) <0 记 ( f m) = (x2-1) m- (2x-1) (-2≤m≤2) , 根据题意有?
? f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0 ? f(2)=2(x -1)-(2x-1)<0
2

?2x2+2x-3>0 ,即? 2 ?2x -2x-1<0

-1+ 7 1+ 3 解之,x 的取值范围为 <x< 2 2 2 【例 2】已知集合 A={x|x -2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m2-3m≤0,m∈R} (1)若 A∩B=[2,4],求实数 m 的值; (2)设全集为 R,若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解: (1)∵A=[-2,4],B=[m-3,m], A∩B=[2,4], ? ?m-3=2, ∴? ∴m=5. ?m≥4, ? (2)?RB={x|x<m-3,或 x>m},∵A??RB, ∴m<-2,或 m-3>4,∴m>7 或 m<-2. 1 ? ? 变式题:集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B=?x|-2<x≤2?. ? ? (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由. 选题意图:由集合关系转化为解不等式(组) 。 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ① 若 a=0,则 A=R; 1? ? 4 ② 若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a?; ? ? 1 4? ? ③ 若 a>0,则 A=?x|-a<x≤a?. ? ? (1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

?a>-2 则? 1 ?-a≤2

4

1

a>0或a<-8 ? ? ,∴ ? 1 , ?a>0或a≤-2 ?

又 a<0,∴ a<-8. 当 a>0 时,若 A?B,如图,

-3-

?-a≥-2 则? 4 ?a≤2

1

1
?a≥2或a<0 ? ? ,∴ . ?a≥2或a<0 ?

又∵ a>0,∴ a≥2. 综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. (2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图, 4 1 -8≤a<0 ≤- ? a 2 ? 则 ,∴ ? 1 . 1 - <a<0 ? ? 2 - >2 a

? ? ?

1 又∵ a<0,∴ .- <a<0 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

?-a≤-2 则? 4 ?a≥2

1

1
?0<a≤2 ? ,∴ . ?0<a≤2

又∵ a>0,∴ 0<a≤2. 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2 (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)、(2)知,a=2. 【例 3】解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+2>0. 解:当 a=0 时,解集为(-∞,2) 当 a>0 时,不等式转化为(ax-1)(x-2)>0 1 1 1 ①当 0<a< 时,因为 >2,所以解集为{x|x<2 或 x> }; 2 a a 1 ②当 a= 时,解集为(-∞,2)∪(2,+∞); 2 1 1 1 ③当 a> 时,因 0< <2,所以解集为{x|x>2 或 x< }; 2 a a 当 a<0 时,不等式转化为(ax-1)(x-2)>0 1 1 因为 <2,所以解集为{x| <x<2}; a a 选题意图:掌握解不等式的一般方法,即根据函数的图像,而如何画图是进行分类的依据, 从而提高学生分类讨论的能力,同时考察用十字相乘法因式分解的能力.

-4-

a(x-1) 变式题 1:解关于 x 的不等式 >1(a≠1) . x-2 选题意图:解分子、分母都是一次的分式不等式转化为解一元二次不等式. 解: 原不等式可化为:

(a ? 1) x ? (2 ? a) >0, x?2 a?2 ①当 a>1 时,原不等式与(x- )(x-2)>0 同解。 a ?1
由于

a?2 1 ? 1? ?1? 2 , a ?1 a ?1

a?2 )∪(2,+∞)。 a ?1 a?2 ②当 a<1 时,原不等式与(x- )(x-2)<0 同解。 a ?1
∴原不等式的解为(-∞,

a?2 1 ? 1? , a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 ? 1? ? 2 ,解集为( 若 a<0, ,2); a ?1 a ?1 a ?1 a?2 1 ? 1? ? 2 ,解集为 ? ; 若 a=0 时, a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 ? 1? ? 2 ,解集为(2, 若 0<a<1, ). a ?1 a ?1 a ?1
由于 综上所述: 当 a>1 时解集为(-∞,

a?2 a?2 )∪(2, +∞); 当 0<a<1 时, 解集为(2, ); a ?1 a ?1 a?2 当 a=0 时,解集为 ? ;当 a<0 时,解集为( ,2). a ?1

ax-5 变式题 2:已知关于 x 的不等式 2 <0 的解集为 M. x -a (1)当 a=4 时,求集合 M; (2)若 3∈M 且 5∈ ∕ M,求实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 4 时,不等式为

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ? ??, ?2 ? ? ? , 2 ? . 2 x ?4 ?4 ?

? 3a ? 5 5 ? 0, ? ? ?3 ? M , ? 9?a ?a ? 9或a ? , ?? (2)当 a ? 25 时, ? ?? 3 ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? ?1 ? a ? 25. ? 25 ? a ?

? 5? ? a ? ?1, ? ? ? 9, 25 ? . ? 3?
当 a ? 25 时,不等式为 则 3 ? M且5 ? M ,

25 x ? 5 ?1 ? ? 0 , 解之,得 M ? ? ??, ?5? ? ? ,5 ? , 2 x ? 25 ?5 ?
∴ a ? 25 满足条件.

-5-

综上可知 a ? ?1, ? ? ? 9, 25? x+2 例 4 (备用题)己知三个不等式:① |2x-4|<5-x; ② 2 ≥1;③ 2x2+mx-1<0. x -3x+2 (1)若同时满足① 、② 的 x 值也满足③ ,求 m 的取值范围; (2)若满足③ 的 x 值至少满足① 和② 中的一个,求 m 的取值范围. 选题意图:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等式的解法,以及数形结 合思想,解本题的关键弄清同时满足① 、② 的 x 值的满足③ 的充要条件是:③ 对应的方程的 两根分别在 ?? ?,0? 和 ?3,??) 内。 不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在 联系,在解决问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系。 解:记① 的解集为 A,② 的解集为 B,③ 的解集为 C。 解① 得 A=(-1,3) ;解② 得 B= ?0,1) ? (2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? (2,3) (1) 因同时满足① 、② 的 x 值也满足③ ,A ? B ? C 设 f ( x) ? 2x2 ? mx ? 1 ,由 f ( x) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时,即可满足 A ? B ?? ?

? 5? ? 3?

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 即? ?m ? ? 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0 (2) 因满足③ 的 x 值至少满足① 和② 中的一个, ?C ? A ? B, 而A ? B ? (?1,4 ?, 因此 C ? ( ?1,4 ?

? 方程2 x2 ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而
? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? ? m ? 1 4 ? m ? ?1 ? ? ? 4 ? 4 ?
【课后强化】 1.已知集合 A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则 A∩B=________________. 答案:{x|-4<x<1 或 3<x<4} 2.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6
2

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax +bx+c>0 的解集是___________. 【解析】由表知 y=a(x+2)(x-3),又 x=0,y=-6,代入知 a=1.∴y=(x+2)(x-3). 答案:{x|x>3 或 x<-2}. x+1 3.不等式 ≤3 的解集为__________. x 1 答案:{x| x≥ 或 x<0} 2 ax-b 4.已知关于 x 的不等式 ax+b<0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式 >0 的解集 x-2 是____________. 答案:(-1,2)

-6-

b x- a ax-b b b 解:由题意得 =-1 且 a<0,∴ >0 即 <0,即(x- )(x-2)<0 a a x-2 x-2 1 1 5.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是(- , ),则 a+b 的值是______. 2 3 答案:-14 6.不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为______________. 1 答案:{x| x≤- } 2 7.不等式 4x-2x+2>0 的解集为______________. 答案:{x| x>2}
?x2+1, x≥0, ? 8 . 已 知 函 数 f(x) = ? , 则 满 足 不 等 式 f(1 - x2) > f(2x) 的 x 取 值 范 围 是 1 , x < 0 ? ?

______________. 答案:-1<x<1+ 2 9.不等式(x-1) x+2≥0 的解集为___________. 答案:[1,+∞)∪{-2} 10.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈ R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈ R,m∈ R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??R B,求实数 m 的取值范围. 解 由已知得:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)∵ A∩B=[0,3], ? ? ?m-2=0, ?m=2, ? ? ∴ ∴ ∴ m=2. ?m≥1. ?m+2≥3, ? ? (2) ?R B={x|x<m-2 或 x>m+2}. ∵ A??R B,∴ m-2>3,或 m+2<-1,∴ m>5 或 m<-3. 11.解关于x的不等式:(x+a)(x-2a+1)<0 当a ?

1 时,不等式解为?; 3 1 当 a > 时,解集为{x| - a < x < 2a - 1 } 3 1 当 a < 时, 解集为{x| 2a - 1 < x < - a .} 3

12. 已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0 解集, 且 M 中的一个元素是 0, 求实数 a 的取值范围,并用 a 表示出该不等式的解集. 原不等式即(2x-a-1)(x+2a-3)<0, 由 x ? 0 适合不等式故得 (a ? 1)(2a ? 3) ? 0 ,所以 a ? ?1 ,或 a ? 若 a ? ?1 ,则 ? 2a ? 3 ?

3 . 2

a ?1 a ?1 5 ? (?a ? 1) ? 5 ,∴3 ? 2a ? , 2 2 2 a ?1 ? x ? 3 ? 2a} ; 此时不等式的解集是 {x | 2
-7-

a ?1 3 a ?1 5 5 ? (?a ? 1) ? ? ,∴3 ? 2a ? ,由 ? 2a ? 3 ? , 2 2 2 2 4 a ?1 }。 此时不等式的解集是 {x | 3 ? 2a ? x ? 2
若a ?

-8-


更多相关文档:

03 简单不等式的解法

§03 简单不等式的解法【基础再现】 1. (1)不等式 x2-5x+6>0 的解集为___. 答案:{x|x >3 或 x<2} (2)f(x)=ax2+ax-1,若 f(x)<0 在 ...

简单不等式的解法

简单不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。二次不等式、分式不等式、简单高次...03 简单不等式的解法 8页 1下载券 简单的绝对值不等式与二... 20页 5...

简单不等式的解法

简单不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。简单不等式的解法 不等式的解法一.一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解 b ; a b (2)当 a<0 时,解为 x ? ....

03初高中衔接(三)简单绝对值不等式的解法

03初高中衔接(三)简单绝对值不等式的解法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。编号...二、典例探究: 例 1:解不等式:|x|<3 变式练习:解不等式|x-3|<2. ...

第三讲 简单不等式的解法

不等式的解法主要以一元二次不等式为主,兼顾其它(如简单的分式不等 式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等) ,常与集 合(选填题) 、...

简单不等式的解法

§1.5 简单不等式的解法一、一元二次不等式的解法: Ⅰ、解法: 第一步:将二次项系数统一为正数,得到a x 2 + b x + c > 0 (≥ 0 ;或< 0 ,≤ 0...

第42讲简单不等式的解法(理)

第42讲简单不等式的解法(理)_数学_高中教育_教育专区。第 42 讲【学习目标】 简单不等式的解法导学案 了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 ...

1简单不等式的解法

1简单不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。编号:3001 【学习目标】 课题:简单不等式的解法 编制人:胡立玉 审核人:付振凯(2) x ? 1 ? 2 编制时间:201209...

简单不等式的解法

简单不等式的解法 一,绝对值不等式|x|a(a>0)的解法. 1.不等式|x|0)的解集是{x|-a<xa(a>0)的解集是{x|x>a 或 x<-a} 几何意义是:在数轴表示...
更多相关标签:
简单分式不等式的解法 | 一元二次不等式的解法 | 绝对值不等式的解法 | 不等式的解法 | 分式不等式的解法 | 不等式组的解法 | 不等式恒成立问题解法 | 一元一次不等式的解法 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com