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河北省唐山市开滦二中2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版


高二下学期期末考试数学(理)试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 页至第 2 页, 第Ⅱ卷第 3 页至第 6 页.考试时间为 120 分钟,满分为 150 分. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、 选择题 (在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分) (1)已知

集合 M={ y | y ? 2 ,x>0},N={ x | y ? lg(2 x ? x ) },M∩N=(
x 2

)

A.(1,2)

B.(0,1)

C.[2,+∞)

D.[1,+∞)
开始

2 2 (2)设 z ? 1 ? i (i 为虚数单位) ,则 z ? ? () z A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i
(3)已知
2

i=2013 S=2013 i>0 ?


1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( a b
2

)

A.a <b

B.ab<b

2

a b C. ? ? 2 b a

D.|a|+|b|>|a+b| )



(4)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 (5)下列命题正确的有( ) ① (1 ?

i=i-1
S ? (?1) S ? S

输出S 结束

x )8 的展开式中所有项的系数和为 0;
1 ? p; 2

2 ② 命题 p :“ ?x 0 ? R , x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ”的否定 ?p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

③ 设随机变量 X 服从正态分布 N(0, 1),若 P ( X ? 1 ) ? p , P ( ?1 ? X ? 0 ) ? ④ 回归直线一定过样本点的中心( x, y ) 。 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D. 4 个 )

??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 2? ???? ??? (6)已知 | OA |?| OB |? 1, ?AOB ? , OC ? OA ? 2OB, 则OC与OB夹角为( 3 ? ? ? 2? A. B. C. D. 6 3 2 3 3 (7)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? ,则 cos 2? ? ( ) 3 5 5 5 5 A. ? B. ? C. D. 3 9 9 3 1 (8) 函数 f ( x) ? ln x ? ( ) ( x ? 1) 的零点所在的区间为 x ?1 3 3 5 5 A. (1, ) B. ( , 2) C. (2, ) D. ( ,3) 2 2 2 2
(9)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( )

1

A.

2 3 3

B.16 3

C.

4 3 8 3 D. 3 3

?2 x ? y ? 2 ? 0 x? y?3 ? 3 (10) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 z ? 的最大值为( )A. x?3 4 ?x ?1 ? 0 ?
B.
2 3

C.

5 3

D.

13 8

? ( 11 ) 函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( 其 中 A ? 0, ? ? ) 的 图象 如 右 图所 示 ,为 了 得到
2

g ( x ) ? sin ? x 的图象,可以将 f ( x ) 的图象( )
A.向左平移 平移

?
6

个单位长度

B. 向左

?
3

个单位长度

C.向右平移

?
6

个单位长度

D.向右平移

?
3

个单位长度

(12) f ? x ? 是定义在 x ? R 上以 2 为周期的偶函数, 设 已知 x ? (0,1) ,f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,
2

则函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上( A.是增函数且 f ? x ? ? 0 C.是减函数且 f ? x ? ? 0

) B.是增函数且 f ? x ? ? 0 D.是减函数且 f ? x ? ? 0

2

考场号 座位号 准考证号

——————————————————————————————————————————————————————————————— 密 封 线 内 不 要 答 题 ———————————————————————————————————————————————————————————————

开滦二中 2012-2013 学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷(理)第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) (13) 已知圆 C 与直线 x ? y ? 4 ? 0 及 x ? y ? 0 都相切,且圆心在直线 x ? y ? 0 上, 则圆 C 的方程为 .

(14)

f ?x ? ?

2 ? 2 x?x ? 1? x ?1 ,则 f (x) 的最小值为

.

(15)已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3,体积为 6,则这个球的表面积 是 . (16) 某工厂有三个车间, 现将 7 名工人全部分配到这三个车间, 每个车间至多分 3 名, 则不同的分配方法有 种. (用数字作答)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) (17)(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 为 等比数列,且满足 b1 ? a1 , 2b3 ? b4 求数列 {a n bn } 的前 n 项和。 (Ⅰ)求数列 {a n } ,{bn } 的通项公式; (Ⅱ)

(18)(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? sin x, 3 sin x , n ? ? sin x, cos x ? ,设函数

??

?

?

?

姓 名 班 级 学 校

? ? ?? f ? x ? ? m ? n .(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式,并求 f ? x ? 在区间 ?? , ? 上的最小值; ? 4 6? 3 (Ⅱ) ?ABC 中, , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,A 为锐角, f ? A ? ? f ? ? A ? ? , 在 若 a 2 b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .

3

(19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, ∠ACB=90°, 平面 PAD⊥平面 ABCD,PA=BC=1,PD=AB= 2 ,E、F 分别为线段 PD 和 BC 的中点. (Ⅰ) 求 证:CE∥平面 PAF; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面 角的大小为 60°?若存在,试确定 G 的位置;若不存在,请说明理由.

4

(20)(本题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分 制,均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图中的信息,回答下 列问题.(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(Ⅱ)根据频率分 布直方图,估计本次考试的平均分;(Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩 在[40,70)记 0 分,抽到的学生成绩在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分, 求 X 的分布列和数学期望。

(21)(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x.
2

( (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程;
(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒 成立,求 a 的取值范围.

——————————————————— .密 ———————————————————

5

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 请写清题号(本题满分 10 分) . (22) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? (a ? 0) , 已 知 过 点 P(? 2? ,

4的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 : )

2 t 2 ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方 2 t 2 程;(Ⅱ)若 PM , MN , PN 成等比数列, 求 a 的值.
(23) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 错误! 未找到引用源。 (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

6

开滦二中 2012-2013 学年高二年级期末考试(理数)答案

(2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,

2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ,
两式相减得 ? Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ... ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n 10 分 11 分 、

? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ... ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 4(2 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?(2n ? 3) ? 2 ? 3
n

所以 Tn ? (2n ? 3)2 ? 3 12 分
n

18

19 证明: (1)取 PA 中点为 H,连结 CE、HE、FH, 因为 H、E 分别为 PA、PD 的中点,所以 HE∥AD, HE ? 因为 ABCD 是平行四边形,且 F 为线段 BC 的中点 所以 HE∥FC, HE ? FC 四边形 FCEH 是平行四边形 又因为 CE ? 平面PAF , HF ? 平面PAF
7

1 AD , 2 1 AD 2

所以 FC∥AD, FC ? 所以 EC∥HF

所以 CE∥平面 PAF ?????4 分 (2)因为四边形 ABCD 为平行四边形且∠ACB=90°, 所以 CA⊥AD 又由平面 PAD⊥平面 ABCD 可得 CA⊥平面 PAD 所以 CA⊥PA 由 PA=AD=1,PD=

2 可知,PA⊥AD????5 分

所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz 因为 PA=BC=1,AB= 2 所以 AC=1 所以 B(1,?1,0), C (1,0,0), P(0,0,1)

假设 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60°, 设点 G 的坐标为(1,a,0) ? 1 ? a ? 0 , 设平面 PAG 的法向量为 m ? ( x, y, z ) 则? 所以 AG ? (1, a,0), AP ? (0,0,1)

? x ? ay ? 0 令 x ? a, y ? ?1, z ? 0 ?z ? 0

所以 m ? (a,?1,0)

又 CG ? (0, b,0), CP ? (?1,0,1) 设平面 PCG 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则?

?by ? 0 令 x ? 1, y ? 0, z ? 1 所以 n ? (1,0,1) ?? x ? z ? 0

?????9 分

因为平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60°,所以

cos? m, n? ?

a a ?1 ? 2
2

?

1 2

所以 a ? ?1 又 ? 1 ? a ? 0 所以 a ? ?1

?11 分

所以线段 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° 点 G 即为 B 点??12 分 20、解: (Ⅰ)设分数在 ?70,80 ? 内的频率为 x,根据频率分布直方图, 则有 (0.01+ 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 ,可得 x=0.3. 所以频率分布直方图如图所示:

?????4 分

(Ⅱ)平均分为: x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71. ??6 分 (Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有 0.4×60=24 人,在[70,100]的有 0.6×60=36 人, 且 X 的可能取值是 0,1,2.

8

则 P( X ? 0) ?

2 C1 C1 144 C 2 105 21 C24 46 , P( X ? 1) ? 24 2 36 ? , P( X ? 2) ? 36 ? = . ? 2 2 C60 295 C60 295 C60 295 59

所以 X 的分布列为:

X P

0
46 295

1
144 295

2
21 59

所以 EX=0×

46 144 105 354 6 +1× +2× = = . 295 295 295 295 5

?????12 分

21、解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ? 因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 . 所以切线方程是 y ? ?2.

1 .??????2 分 x

??????????4 分

(2)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?) ??????5 分 ( ? .

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? ( x ? 0) x x

2 (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax ? ax ? ln x ,

( ? 上单调递增即可.??????????9 分 只要 g (x) 在 0, ?)
而 g ' ( x) ? 2ax ? a ?

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x
9

当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 ( ? 上单调递增;????????10 分 ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) x
2

当 a ? 0 时, 只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) 因为 x ? (0,??) , 只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 , ( ? 上恒成立, 则需要 a ? 0 ,????????????11 分 对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ? 即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 .
2

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

??????????????????12 分

22 解: (1) y ? 2ax, y ? x ? 2 .??????5 分

? ? x ? ?2 ? ? (2)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
2
2

2 t 2 (t 为参数) 2 t 2
??????7 分

代入 y ? 2ax ,得到 t ? 2 2(4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 ,

t 则有 t1 ? t2 ? 2 2(4 ? a ), t1 ? 2 ? 8(4 ? a) .??????8 分
因 为

M

2

?

N ?

P ,

M 所

P 以

N

(t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . a ? 1 ??????9 分
解得 a ? 1 ??????10 分 23、解: (1)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ? ?
解之得

3 1 3 1 ? x ? 2, 或 ? ? x ? , 或 ?1 ? x ? ? , 2 2 2 2

即不等式的解集为 x ?1 ? x ? 2

?

?

??????5 分

(2)∵ f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4 , ∴ a ? 1 ? 4 解此不等式得 a ? ?3 或 a ? 5 ??????10 分

10


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