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全国高中数学联赛模拟试题1


全国高中数学联赛模拟试题(一)
(命题人:吴伟朝)

第一试
一, 选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1,方程 6×(5a2+b2)=5c2 满足 c≤20 的正整数解(a,b,c)的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)5 x2 2,函数 y = (x∈R,x≠1)的递增区间是 x 1 (A)x≥2 (C)x≤0 (B)x≤0 或 x≥2 (D)x≤ 1 2 或 x≥ 2

3,过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A,B,使△AOB(O 为原点)的面积最小,则 l 的方程为 (A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0
π 4,若方程 cos2x+ 3 sin2x=a+1 在 0, 上有两个不同的实数解 x,则参 2

数 a 的取值范围是 (A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 5,数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 (A)42 (B)45 (C)48 (D)51 6,在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中,满足条件 a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4 >a5 的排列的个数是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16

二, 填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1,[x]表示不大于 x 的最大整数,则方程
1 ×[x2+x]=19x+99 的实数解 x 2

是 . 2,设 a1=1,an+1=2an+n2,则通项公式 an= . 99 3,数 7 被 2550 除所得的余数是 . π 5 4,在△ABC 中,∠A= ,sinB= ,则 cosC= . 3 13 5,设 k,θ是实数,使得关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+k2-1=0 的两个根为 sinθ和 cosθ,则θ的取值范围是 .
6,数 5 + 24

(

)

2n

(n∈N)的个位数字是

.

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三, (20 分)
已知 x,y,z 都是非负实数,且 x+y+z=1. 求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确 定等号成立的条件.

四, (20 分)
(1) 求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x2+(a+2002)x+a=0 的两根 皆为整数. (2) 试求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x3+(-a2+2a+2)x-2a2- 2a=0 有三个整数根.

五, (20 分)
试求正数 r 的最大值,使得点集 T={(x,y)|x,y∈R,且 x2+(y-7)2 ≤r2}一定被包含于另一个点集 S={(x,y)|x,y∈R,且对任何θ∈R,都有 cos2θ+xcosθ+y≥0}之中.

第 2 页 共 4 页

第二试
一, (50 分)
设 a,b,c∈R,b≠ac,a≠-c,z 是复数,且 z2-(a-c)z-b=0.

a 2 + b (a + c )z 求证: = 1 的充分必要条件是(a-c)2+4b≤0. ac b

二, (50 分)
如图, 在△ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 均是锐角, D 是 BC 边上的内点,且 AD 平分∠BAC,过点 D 分别向两条直线 AB,AC 作垂线 DP,DQ,其垂足 是 P,Q,两条直线 CP 与 BQ 相交与点 K.求证: (1) AK⊥BC; (2) AK < AP = AQ <
2 S △ ABC ,其中 S △ ABC 表 BC

A P K B D Q C

示△ABC 的面积.

三, (50 分)
给定一个正整数 n,设 n 个实数 a1,a2,…,an 满足下列 n 个方程:
n

∑ i + j = 2 j + 1 ( j = 1,2,3,L, n) .
i =1

ai

4

确定和式 S = ∑
i =1

n

ai 的值(写成关于 n 的最简式子) . 2i + 1

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参考答案
第一试
一,选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D

二,填空题: 181 1587 1, 或 ; 38 38
3,343;

2,7×2n-1-n2-2n-3; 4,

5 3 12 ; 26

5,{θ|θ=2nπ+π或 2nπ-

π
2

,n∈Z} ;6,1(n 为偶数) 7(n 为奇数) ; .

1 1 1 1 x = y = x = z = y = z = 三, 证略, 等号成立的条件是 x = y = z = 或 2 或 2 或 2. 3 y = 0 z = 0 z = 0

四, 1)a 的可能取值有 0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040; ( (2)a 的可能取值有-3,11,-1,9. 五,rmax= 4 2 .

第二试
一,证略(提示:直接解出 z =
a c ± (a c ) 4b i ,通过变形即得充分性成 2
2

立,然后利用反证法证明必要性) . 二,证略(提示:用同一法,作出 BC 边上的高 AR,利用塞瓦定理证明 AR,BQ,
CP 三线共点,从而 AK⊥BC;记 AR 与 PQ 交于点 T,则
AQ=AP,对于 AK<AP,可证∠APK<∠AKP) . 2 S △ ABC =AR>AT> BC

三, S =

(2n + 1)2

1

+1.

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