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高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换

一、学习任务 能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换,推导出辅助角公式. 二、知识清单
辅助角公式

三、知识讲解
1.辅助角公式 描述: 对于 f (x) = a sin x + b cos x(ab ≠ 0) 型函数,我们可以如此变形

? ? ? ? ? ? f (x) = a sin x + b cos x = √a2 + b 2 (

a b sin x + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos x),令 (a, b) 为某一 √a2 + b 2 √a2 + b 2 a b 角 φ 终边上的点,则 cos φ = ,sin φ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. √a2 + b 2 √a2 + b 2 ? ? ? ? ? ? b f (x) = a sin x + b cos x = √a2 + b 2 sin(x + φ)(ab ≠ 0) 为辅助角公式,其中 tan φ = . a

例题: 求下列函数的最大值: (1)f (x) = sin x + √3 cos x; (2)f (x) = 2 sin x ? cos x. 解:(1)因为

1 √3 f (x) = sin x + √3 cos x = 2( sin x + cos x) 2 2 π π = 2(sin x cos + cos x sin ) 3 3 π = 2 sin(x + ), 3
所以最大值为 2 ; (2)f (x) = 2 sin x ? cos x = √5 sin(x + φ),其中 φ 为辅助角,所以 f (x)max = √5 .

四、课后作业

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1. 已知 tan

α = 3,则 cos α = ( 2 4 4 A.? B.? 5 5
答案: B 解析:

)
C.?

4 15

D.?

3 5

α 2 =? 4. cos α = α 5 1 + tan2 2 1 ? tan2 )

2. 已知函数 f (x) = √3 sin x ? cos x , x ∈ R ,若 f (x) ? 1 ,则 x 的取值范围为 ( A.{x|kπ +

π ? x ? kπ + π, k ∈ Z} 3 π B.{x|2kπ + ? x ? 2kπ + π, k ∈ Z} 3 π 5π C.{x|kπ + ? x ? kπ + , k ∈ Z} 6 6 π 5π D.{x|2kπ + ? x ? 2kπ + , k ∈ Z} 6 6
答案: B 解析:

π 1 )? , 6 2 π π 5π π 则 2kπ + ,解得 2kπ + ? x ? ? 2kπ + ? x ? 2kπ + π , k ∈ Z . 6 6 6 3
由条件 √3 sin x ? cos x ? 1 , 得 sin (x ?

3. 若

cot θ ? 1 = 1 ,则 cos 2θ 的值为 ( 2 cot θ + 1 3 3 A. B.? 5 5
答案: A 解析:

)
C.

2√5 5

D.?

2√5 5

cot θ ? 1 1 1 ? tan2 θ 由 = 1 ,解得 tan θ = ? ,所以 cos 2θ = = 2 2 cot θ + 1 1 + tan2 θ )

1 4 = 3. 5 1 1+ 4 1?

4. sin (

π π + α) cos ( + β) 化为和差的结果是 ( 4 4 1 1 A. sin (α + β) + cos (α ? β) 2 2 1 1 B. cos (α + β) + sin (α ? β) 2 2 1 1 C. sin (α + β) + sin (α ? β) 2 2 1 1 D. cos (α + β) + cos (α ? β) 2 2
答案: B

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