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三角函数图像及其变换


高一数学第十四讲

三角函数图像及其变换
?
2

一、知识要点: 1.正弦、余弦、正切函数图象和性质
函数 正弦函数 y ? sin x, x ? R 余弦函数 y ? cos x, x ? R

正切函数 y ? tan x, x ? k? ?

图象

r />定义 域

(??,??)

(??,??)

? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
(??,??)

[?1,1]
值域 当x?

[?1,1]
当 x ? 2k? (k ? Z ) 时, y max ? 1 当 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时,y min ? ?1 是周期函数,最小正周期 T ? 2? 偶函数,图象关于 y 轴对称 在 [? ? 2k? ,2? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 是单调增函数 在 [2k? , ? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 是 单 调减函数

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时, y max ? 1 ? 2k? (k ? Z ) 时, y min ? ?1

x??
周期 性 奇偶 性 在 [? 单调 性

?
2

是周期函数,最小正周期 T ? 2? 奇函数,图象关于原点对称

T ??
奇函数,图象关于原点对称

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ], (k ? Z )

在 (?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), (k ? Z )

上是单调增函数 在 [

上是单调增函数

?
2

? 2k? ,

3? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 2

是单调减函数 对称 轴 对称 中心

x ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

x ? k? , (k ? Z )

,0) (k ? Z ) ( , 0) (k ? Z ) 2 2 2.利用“五点法”作函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0 )的简图,是将 ?x ? ? 看着一个整体,先令 (k? ?

(k? ,0) (k ? Z )

?

k?

?x ? ? ? 0,

?
2

,? ,

3? ,2? 列表求出对应的 x 的值与 y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内 2

的图象。 3.研究函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0 )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将 ?x ? ? 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期 T ? 4.图象变换 (1)振幅变换
y ? s i n , x?R x
伸长 的 ?所 有 点?纵 坐 标(A ?1)或 ?(0?A?1)到 原 来? ? ?? 的 ???? 缩 短 ??? A倍 ? ?

2? |? |

y ? As i n , x?R x

1

(2)周期变换 (3)相位变换 (4)复合变换

y ? s i n , x?R x y ? s i n , x?R x y ? s i n , x?R x

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 所 有 点 的 横 坐 标 ? ?1) 或 伸 长 ?? ?1) 到 原 来 的倍 (缩 短 (0

y ? s i n x, x ? R ? y ? s i nx ? ? ), x ? R ( y ? s i nx ? ? ), x ? R (

?所有点向左 (? ?0)??? ?0)???? ? ???? 或向右 ( ? 平移|?|个单位长度 ?
?所有点向左 (? ?0)??? ?0)???? ? ???? 或向右 ( ? 平移|?|个单位长度 ?
所有点的横坐标缩短 (? ?1) 或伸长 (0 ?? ?1) 到原来的 1 倍

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? sin(?x ? ? ), x ? R ?

?所有点的纵坐标伸长 (A ?1)或缩短 (0?A?1)到原来的? ? ???????????? A倍 ?

y ? A sin(?x ? ? ), x ? R

5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图 象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二.基础练习

1 π 1. 函数 y ? 2sin( x ? ) 的最小正周期 T= 2 3
2.函数 y ? sin

. 若函数 y ? tan(2ax ?

x 的最小正周期是 2

?
3

) 的最小正周期是

? ,则 a=____. 2

3.函数 y ? 2 sin(

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是

4.函数 y ? 2cos( x ?

? ?

2 )( ≤ x ≤ ? ) 的最小值是 3 6 3

5.将函数 y ? cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? 2 cos(2 x ?

?
4

) 的图像?

6.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 初相 ? 分别为

π? ?π ?? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, ,则该简谐运动的最小正周期 T 和 1) 2? ?3 ??

7.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a,b,c 的大小关系为______. 8.给出下列命题: ①存在实数 x ,使 sin x cos x ? 1 成立; ②函数 y ? sin ?

? 5? ? ? 2 x ? 是偶函数; ? 2 ? 5? ? ? ? ③直线 x ? 是函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象的一条对称轴; 4 ? 8 ? ④若 ? 和 ? 都是第一象限角,且 ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? .
⑤ f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?

3 其中结论是正确的序号是 三、例题分析: 题型 1:三角函数图像变换

), x ? R 的图象关于点 (?

,0) 对称; 6 (把你认为是真命题的序号都填上) .

?

例1、 变为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ?

? 6

1 cos x 的图象怎样变换? 2

2

式 1:将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向 左平移

? 个单位,所得图象的解析式是 3

.

题型 2:三角函数图像性质 例 2、已知函数 y=log 1 ( 2 sin( x ?
2

?
4

))

⑴求它的定义域和值域;

⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ;⑷判断它的周期性.

变式 1:求函数 y ?

3 4? ; sin(2? x ? ) 的最大、最小值以及达到最大(小)值时 x 的值的集合. 2 3

变式 2:函数 y=2sinx 的单调增区间是

题型 3:图像性质的简单应用 例 3、已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,| ? |?

? 3? ? 的图象与 y 轴交于点 ? 0, ? ,它在 y 轴右 2? ? 2? 侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ? x0 ,3? , ? x0 ? 2? , ?3? ,
? ?

??

(1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数 y ? sin x 的图象依次经过哪些变换 而得到的。

3

变式 1:如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+ ? )+b. (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式. 变式 2:已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ), ? ? 0,0 ? ? ? ? 是 R 上的偶函数,其图象关于点
M( 3? ,0) 对称,求 ? 和 ? 的值。 4

题型 4:三角函数综合应用 例 4、求下列函数的定义域 (1) y ? 1 ? tan x ? ? 1 ? 2 sin x (2) y ? sin(cos x) (3) y ?

lg(tan x ? 1) 2 cos x ? 1

.

例 5、求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2 cos 2 x, x ? R (2) y ? cos 2 x ? 2 sin x ? 2, x ? R (3) y ?
2 ? cos x 2 ? cos x

例 6 若 f ? x ? ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? sin x 的最小值为 g ? a ? ,
2

(1)求 g ? a ? 的表达式; (2)求使 g ? a ? ? 1 的 a 的值,并求当 a 取此值时 f ? x ? 的最大值。

4

能力检测题
1. (2007 年福建) .已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ) ??

A.关于点 ? ,? 对称 B.关于直线 x ? 0 2. (2007 年江苏卷 1) .下列函数中,周期为 A. y ? sin

?? ??

? ?

? ? ?? ? 对称 C.关于点 ? ,? 对称 D.关于直线 x ? 对称 0 ? ? ?? ?


? 的是( 2

x 2

B. y ? sin 2 x

C. y ? cos

x 4

D. y ? cos 4 x

3. (07 年山东卷文 4) .要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? 的图象( ??



A.向右平移

? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 ? ? ?
m?4 4 m

D.向左平移

? 个单位 ?

4.如果 cos x ?

有意义,则 m 的取值范围是

5. (2007 年江西卷文 2) .函数 y ? 5tan(2 x ? 1) 的最小正周期为 6.要得到 y ? sin

x ?x ?? 的图象,只需将函数 y ? cos ? ? ? 的图象 2 ?2 4?

7.对于函数 y ? A sin(?x ? ? ), ?, ?均为不等于0的常数) ,有下列说法: (A, ①最大值为 A ; ②最小正周期为 | ④由 2k? ?
2?

?

| ; ③在 [0, ? ] 至少有一个 x ,使得 y ? 0 ;

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 解得 x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是

8.函数 y ? tan(2 x ?

?
4

) 的单调增区间为
2

.

9.已知 x ? [?2? ,0] ,且 2 sin x ? cos x ? 1 ? 0, 求角 x 的集合. 10.函数 y ? sin
x ?1 ? 的单调递增区间是 2
2

. . .

11. 函数 f ? x ? , x ? R 是奇函数, 且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? sin x , 则当 x ? 0 时, f ? x ? 等于 12.如果 ? 、? 、? 均为锐角,sin ? ? 13. 函数 y ?

1 3 ,tan ? ? 2 ,cos ? ? , ? , ? , ? 从小到大的顺序为 则 3 4

log 2 (1 ? tan x) 25 ? x 2

的定义域是

14. (07 年浙江卷理 2)若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ?R (其中 ? ? 0 , ? ? 且 f (0) ?

? )的最小正周期是 ? , 2

3 ,则
5


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