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2012全国高中数学联赛


2012 年全国高中数学联赛试题(A 卷) 一、 填空题: (本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在题中
的横线上)
1.设 P 是函数 y ? x ?

2 ( x ? 0) 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂 x
.

线,垂足分别为 A、B,则 PA ? PB 的值是

2. 设Δ ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a 、 、 , B、 b c 且满足 a cos B ? b cos A ? 的值是 .

3 a A tn 则 c, 5 a B tn
.

3.设 x 、 y 、 z ∈[0,1],则 M ?
2

x? y ?

y?z ?

z ? x 的最大值是

4.抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A、B 是抛物线上的两个动点,且满 足∠AFB=

MN ? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则 的最大值是 AB 3

.

5.设同底的两个正三棱锥 P-ABC 和 Q-ABC 内接于同一个球,若正三棱锥 P-ABC 的侧面与底 面所成的角为 45?,则正三棱锥 Q-ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 . 6.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ,若对任意的 x ? [a, a ? 2] ,
2

不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 7.满足

. .

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3

8.某情报站有 A、B、C、D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从 上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种. 设第一周使用 A 种密码, 那么第 7 周也使 用 A 种密码的概率是 .(用最简分数表示)

二、解答题: (本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、推理过程
或演算步骤)
9. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ?

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R 且 a ? 0 . 2 a 2

(1) 若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 10. (本小题满分 20 分) 已 知 数 列 { an } 的 各 项 均 为 非 零 实 数 , 且 对 于 任 意 的 正 整 数 n , 都 有
3 3 (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) 3 ? a13 ? a 2 ? ? ? a n .

1

(1) 当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a 2 , a3 ; (2) 是否存在满足条件的无穷数列{ a n },使得 a 2013 ? ?2012 ?若存在,求出这样的无 穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. 11. (本小题满分 20 分) 如图,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4,且 OB ? OD ? 6 . (1) 求证: OA ? OC 为定值; (2) 当点 A 在半圆 M: ( x ? 2) ? y ? 4 (2 ? x ? 4) 上运动时,求点 C 的轨迹.
2 2

二试 一、 (本题满分 40 分) 1.如图,在锐角Δ ABC 中,AB>AC,M、N 是 BC 边上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN, 设Δ ABC 和Δ AMN 的外心分别为 O1 、 O2 ,求证: O1 、 O2 、A 三点共线.

2

2.试证明: 集合 A={2,2 ,…,2 ,…}满足: (1)对每个 a ? A ,及 b ? N ,若 b ? 2a ? 1 , ,
2 n

?

则使 b(b ? 1) 一定不是 2a 的倍数; (2)对每个 a ? A (其中 A 表示 A 在 N ? 中的补集)且

a ? 1 ,必存在 b ? N ? , b ? 2a ? 1 ,使 b(b ? 1) 是 2a 的倍数.
3.设 P0 , P1 ,…, Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0 ) .求

?d ? 证: P0 P ? P0 P2 ? ? ? P0 Pn ? ? ? 1 ?3?
4.设 S n ? 1 ?

n

(n ? 1)!

1 1 ? ? ? , n 是正整数,证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b , 2 n

数列 {S n ? [ S n ]} 中有无穷多项属于( a , b ) .这里 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数.

3


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