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浅谈立体几何问题的向量解法


浅谈立体几何问题的向量解法 甘肃省白银市平川中学 贾凤麟

[内容摘要] 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、 证线面平行与垂直以
及解决立体几何的探索性试题提供了简便、 快速的解法。 它的实用性是其它方法无法比拟的, 因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识, 提高使用向量的熟练程度和自觉性, 注意培 养向量的代数运算推理能力, 掌握向量

的基本知识和技能, 充分利用向量知识解决图形中的 角和距离、平行与垂直问题。

[关键词] 向量
高中数学实验教材引进了空间向量得内容, 并运用向量理论来处理立体几何问题中的 “点、 线、面”等问题。引入空间向量,用向量代数来处理立体几何问题,体现了“数”与“形” 的结合,淡化了传统立体几何教材中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难度, 使解题变得程序化,学生易于接受,这是向量解立体几何问题得独到之处。 利用空间向量可以解决的立体几何问题主要有以下几方面: (1) 利用两个向量共线的条件和共面向量理论,可以证明有关线线平行,线面平行, 面面平行问题; (2) 利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题; (3) 利用向量的夹角公式可以求解有关角的问题; (4) 利用向量的模及向量在单位向量方向上的射影可以求解有关距离问题。 应用向量知识解题,特别是立体几何问题,思维清晰,目标明确,易于掌握。本文举例介 绍上述问题的向量方法。 一、用向量处理平行问题 例 1 底面是正三角形的斜棱柱 ABC ? A1 B 1C 1 中,D 为 AC 的中点 求证: AB 1 //平面 C 1 BD 分析:欲证 AB 1 //平面 C 1 BD ,可证 AB1、 、 1 共面 DB DC 证明:设 AB ? a

A1 B1

C1

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ? AC =b

??? ? AA1 =c

A

D
B

C

???? ? 则 AB 1 ? a+ c

??? ??? ???? ? ? 1 DB ? AB ? AD ? a- b 2 ??? ????? ? ??? ? ? DB ? DC 1 ? a+ c= AB 1

???? ???? ??? ? 1 DC 1 ? DC ?CC 1 ? b+ c 2

??? ??? ??? ? ? ? ? AB1、 、 1 共面 DB DC
? B ? 平面C 1 BD

? AB 1 //平面 C 1 BD
二、处理垂直问题 例 2 (2000 年全国高考题)已知平行六面体 ABCD ? A1 B 1C 1 D 1 的底面 ABCD 是菱形,

且 ?C 1CB ? ?C 1CD ? ?BCB ? 60?
B1

(1) 求证 CC 1 ? BD (2) 当

A1 D1

C1

CD 的值为何值时,能使 AC 1 ? 平面C 1 BD ? CC 1
B C D A

请证明

??? ? ??? ? ???? ? 证明: (1)设 CD = a CB ? b CC 1 ? c
依题意 a = b ,设 CD 、 CB 、 CC 1 中两两夹角为 ? , 于是 BD ? CD ? CB ? a- b

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ? ? CC 1 ? BD ? c ?(a-b)=c ?a-c ?b= c ? a cos ? - b ? c cos ? =0
? CC 1 ? BD
解(2) ? BD ? CC 1 BD ? AC

? BD ? 平面ACC 1 A1 ? BD ? A1C
要使 A1C ? 平面C 1 BD 只需 A1 C ? C 1 D 即 A1C? 1 D ? 0 C

???? ????? ?

???? ????? ? A1C? 1 D ? ( a+b+c) ?(a-c)= a 2 +a ?b-b ?c- c 2 = a 2 - c 2 + b a cos ? - b ? c cos ? C
1 1 b 2- b ? c + b 2 - c 2 2 1 = (3 b +2 c )( b - c ) 2
= 所以 当 b = c 时,即
2

???? ????? ? CD =1 时 A1C? 1 D ? 0 C CC 1

A1C ? 平面C 1 BD
三、处理角的问题 对于空间向量 a 、 有 cos?a, b? ? b 问题中的角的问题.

a?b ,利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何 ba

例 3(1988 年高考)在棱长都是 m 的四面体 ABCD 中,E、F 分别是棱 AD、BC 的中点,连 接 AF、CE,求异面直线 AF 与 CE 所成的角。 解:设 AB ? a

?? ?

??? ? ??? ? AC ? b AB=c ,由已知得 a = b = c ? m

?? 1 ? ??? 1 ? AF ? (a ? b) CE = c- b 2 2 ?? ??? 1 ? ? 1 AF?CE= (a ? b) ( c- b) ? 2 2 1 1 1 1 = a c cos? a, c? ? b c cos? b, c? ? a b cos?a, b? ? m 2 4 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ? m ? m ? m ? m ?? m 8 8 4 2 2 1 ?? ? ????? ? m2 ?? ??? ? ? AF?CE 2 ? cos? AF,CE? ? ?? ??? ? 2 ?? ? ? 3 2 3 AF ?CE m 4 2 ?异面直线AF,CE所成的角为arccos 。 3

=

例4、(2001年高考) 如图,在底面是直角梯形的 四面体S-ABCD中,?ABC=90? .SA ? 平面ABCD,SA=AB=BC=1 1 AB= ,求平面SCD与平面SAB所成角的正切值 2 1 解:如图建立直角坐标系,则 B(0,1, 0), D( , 0, 0), C (1,1, 0), S (0, 0,1) 2 ???? 1 ??? ? ??? ? 1 AD ? ( , 0, 0), SC ? (1,1, ?1), SD ? ( , 0, ?1) ,? SA ? 平面ABCD,? AD ? 平面SAB 2 2 ???? ? 所以 AD 是平面 SAB 的一个法向量。设平面 SCD 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ? ??? ? ? ??? ? ?x ? y ? z ? 0 ?n ? SC ?n ? SC ? 0 z ?x ? 2z ? ? ? ?? 由 ? ? ??? , ? ? ? ??? ,? ? 1 ? ? ? y ? ?z ?n ? SD ?n ? SD ? 0 ?2 x ? z ? 0 ? ? ? S ???? ? ???? ? ???? ? ? AD ? n 6 2 令 z ? 1, n ? (2, ?1,1) ,? cos ? AD, n ?? ???? ? ? , ? tan ? AD, n ?? 3 2 AD ? n
平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的正切值为

y B C x

2 2

A

D

四、解决有关距离问题 立体几何中涉及到的距离问题较多,如两点之间的距离,点到直线的距离,点、线到平面 的距离,两条异面直线的距离等,若用向量来处理这类问题,则思路简单,解法固定。 例5(1991年全国高考)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F别是AB、AD的中点,GC垂 直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离. 解:以 AD、AB、AS 为 x、y、z 为轴,以 AB 为单位,建立直角坐标系,则各点的坐标为:

G(0.0.0) B(0.4.0) A(4.4.0)

D(4.0.2) E(4.2.0) F(2.4.0)

?? ? ??? ? GE ? (4, ? 2) GF=(2, -2 2, 4,)
?? ? n0 ?GE=0
Y G

设 n0 ? ( x, y, z) 是平面 EFG 的单位法向量,则有 n 0 =1
2

??? ? n 0 ?GF=0

? x ? y2 ? z2 ? 0 ? 于是, ?2 x ? y ? z ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 0 ?
2

取 Z>0,得 x ? y ?

1 3 ,? z 11 11

C

B Z

? n0 ?

1 (1,1,3) 11
X

F

??? ? 有因为 GB ? (0,8, ?2)
??? ? 1 2 ? d ? n0 ? GB ? (1,1,3)? (0,8, ?2) ? 11 11 11
即点 B 到平面 EFG 的距离为

D

E

A

2 11 11

评注:求点到平面的距离,一般方法是先由该点向平面引垂线确定 垂足,把点到平面的距离问题转化为解三角形求解,需要做 辅助线,然后通过逻辑推理论证及计算,比较麻烦,而用 向量法则解决这类问题,思路清晰,解法固定。

作者简介:贾凤麟,男,出生于 1969 年 9 月 18 日,籍贯:甘肃靖远。大学本科学历, 甘肃省白银市平川中学一级教师。 邮编:730913 通讯地址:甘肃省白银市平川中学 电话 ;13884206800


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