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2013届黄浦区高三一模数学文


黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(文科) (一模) 2013
年 1 月 17 日

考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120

分钟. 一、填空题(本大 题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分。 1.函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 . . 。
?

2.已知集合 A ? { x | 0 ? x ? 3} , B ? { x | x 2 ? 4} ,则 A ? B ? 3.若 z ? (1 ? 2i)( a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 4.若数列 { a n } 的通项公式为 a n ? n ? 3 ( n ? N *) ,则 lim 5.若双曲线 6.已知 ta n ?
x
2

a n ?1 ? a n ? 2 4n

n→ ?



?
1 2

y b

2 2

? 1( b ? 0 ) 的一条渐近线过点
1 3

P(1, 2),则 b 的值为_________. 的值为

4
=

, ta n ( ?

??)? ?

,则 tan ( ?

? 2? )

开始 输入 p n←1,S←0

. 7.已知直线 l1 : x ? a y ? 2 ? 0 和 l 2 : ( a ? 2 ) x ? 3 y ? 6 a ? 0 , 则 l1 ∥ l 2 的充要条件是 a = 8. ( x ?
1 x )
9


S←S + 2n-1

的展开式中 x 的系数是
5

(用数字作答) .
n←n+1

9.执行右边的程序框图,若 p ? 1 0 ,则输出的 S = 10.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个,黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 11.已知
? log 2 x ( x ? 0 ) f (x) ? ? x ( x ? 0) ?3





n<p
否 输出 S 结束



(第 9 题图) ,且函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x ? a 有且仅有

两个零点,则实数 a 的取

值范围是


?1

12.已知函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f ( 2 ) ? f (3) ,若 f 于 x 的不等式 f
?1

(x)

是 f ( x ) 的反函数,则关

(1 ? x ) ? 1 的解集是



13. 已知抛物线 y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 上一点 M (1, m ) (m>0)到其焦点 F 的距离为 5, 该抛物线的顶 点在直线 MF 上的射影为点 P,则点 P 的坐标为 .
1 2 ? x ?1 }? ?

14.已知命题“若 f ( x ) ? m 2 x 2 , g ( x ) ? m x 2 ? 2 m ,则集合 { x | f ( x ) ? g ( x ), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 .



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在四边形 ABCD 中, A B A.菱形
??? ? ???? ? DC

B ,且 A C · D =0,则四边形 ABCD 是

????

????

( D.等腰梯形 ( D. 2 2 ? 1



B.矩形

C.直角梯形

16.已知 z ? 1 且 z ? C,则 | z ? 2 ? 2i | (i 为虚数单位)的最小值是 A. 2 2 17. 若矩阵 ?
? a1 ? b1 a2 b2 a3 b3



B. 2
a4 ? ? b4 ?

C. 2 2 ? 1

满足下列条件: ①每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2 , 3, 4} ;

②四列中有且只有两列的上下两数是相同的. 则这样的不同矩阵的个数为 A.24 B.48 C.144 D.288





18.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 上单调递增,则下列结论:① y ? | f ( x ) | 是 偶函数;②对任意的 x ? R 都有 f ( ? x ) ? | f ( x ) |? 0 ;③ y ? f ( ? x ) 在 ( ? ? , 0 ] 上单 调递增; ④ y ? f ( x ) f ( ? x ) 在 ( ? ? , 0 ] 上单调递增.其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必 须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, E , F 分别为线段 D D 1 , B D 的 中点.
A1 E D1 B1 C1

D A F B

C

(1)求三棱锥 E ? A D F 的体积; (2)求异面直线 E F 与 B C 所成的角.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. (1)若 A B ? B C ? ? 3 ,且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?
3 1 sin A co s A

??? ???? ?

,求 M 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分。

K]

如图所示, A B C D 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 A B C D 扩建成一个更大的矩形花园 A M P N ,要求:B 在 A M 上,D 在 A N 上,对角线 M N 过 C 点, 且矩形 A M P N 的面积小于 150 平方米. (1) A N 长为 x 米, 设 矩形 A M P N 的面积为 S 平方米, 试用解析式将 S 表示成 x 的函数, 并写出该函数的定义域; (2)当 A N 的长度是多少时,矩形 A M P N 的面积最小?并求最小面积.
N P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C : 的 “准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点 为 F (
2 , 0)

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

,称圆心在原点 O、半径是

a ?b
2

2

的圆为椭圆 C

,其短轴的一个端点到点 F 的距离为

3



(1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)过椭圆 C 的“准圆”与 y 轴正半轴的交点 P 作直线 l1 , l 2 ,使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只有 一个交点,求 l1 , l 2 的方程; (3)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B , D 是椭圆 C 上的两相异点, 且 B D ? x 轴,求 A B ? A D 的取值范围.
??? ???? ?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x ) 与常数 a , b ,若 f (2 x ) ? af ( x ) ? b 恒成立,则称 ( a , b ) 为函数 f ( x ) 的 一个“P 数对” .设函数 f ( x ) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,求 f ( 2 1 0 ) ; (2)若 ( ? 2, 0) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,且当 x ? [1, 2 ) 时 f ( x ) ? k ( 2 ? x ) ,求 f ( x ) 在区 间 [1, 2 2 n ) ( n ? N *) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x ) 是增函数,且 ( 2 , ? 2 ) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,试比较下列各组中两个式 子的大小,并说明理由. ① f ( 2 ? n ) 与 2 ? n ? 2 ( n ? N *) ;② f ( x ) 与 2 x ? 2 ( x ? ( 2 ? n , 2 1 ? n ], n ? N *) .

上海市黄浦区 2013 届高三一模数学试题(文科) 参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ? ; 2. ( 2 , 3) ; 9.81; 10.
4 7 1 2

3.2; 11. ( ? ? ,1]

4.



5.4

6. ? 1 ;
64 48 , ) 25 25

7.3; ;

8.36; 14. ( ? 7 , 0 ) .



12. (1 ? a ,1) ; 13. (

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.D 17.C 18.B

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, ∵ F 是 A C 的中点, ∴ S ?CDF ?
1 2 S ?ADC ? 1 2 ?2 ?1,

D1 A1 E B1

C1

??????3 分

又 C E ? 平面 A B C D ,即 C E ? 平面 C D F , 故V E ?CDF ?
1 3 S ?CDF ? C E ? 1 3 1 3 ?1 ?1 ? 1 3


A

D F B

C

所以三棱锥 E ? A D F 的体积为 .??????6 分 (2)连 B D 1 ,由 E 、 F 分别为线段 D D 1 、 B D 的中点,

可得 E F ∥ B D 1 ,故 ? D 1 B C 即为异面直线 E F 与 B C 所成的角. ∵ B C ? 平面 C D D 1 C 1 , C D 1 ? 平面 C D D 1 C 1 ,∴ B C ? C D 1 , ? 在 R t △ B C D 1 中, B C ? 2 , D 1 C ? 2 2 , ∴ ta n ? D 1 B C ?
D1C BC ? 2

??????? 8 分

,∴ ? D 1 B C ? arctan 2 . ?????????? 12 分

所以异面直线 EF 与 B C 所成的角为 a rc ta n 2 .

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?
??? ???? ?

?
3


2? 3 ? ?3

??????????2 分 ,∴ a c ? 6
?
3 ,

由 A B ? B C ? ? 3 得, c ? a c o s



?????????4 分

又由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c c o s

∴ 1 8 ? a 2 ? c 2 ? a c ,∴ a 2 ? c 2 ? 2 4 由①、②得, a ? c ? 6 (2) M ?
3 1 s in A cos A ? 3 c o s A ? s in A



?????????6 分

??????????????8 分

? 2 sin (

?
3

? A) 2? 3 2? 3 , 故?

??????????????11 分 ,
?
3 ?

由(1)得 B ? 由C ?
2? 3

?
3

,∴ A ? C ?

? A ? 0 且 A ? 0 ,可得 0 ? A ?

?
3

? A?

?
3



所以 2 sin (

?
3

? A) ? (?

3,

3)

, ??????????14 分

即 M 的取值范围为 ( ? 3 , 3 ) .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴
x?4 x ? 6 AM DN NA ? DC AM
D C



N

P

,即 A M ?
6x
2

6x x?4

,????????3 分 ?????????5 分

故 S ? AN ? AM ? 由S ?
6x
2

x?4



A

B

M

x?4

? 150

且 x ? 4 ,可得 x 2 ? 2 5 x ? 1 0 0 ? 0 ,解得 5 ? x ? 2 0 ,
6x
2

故所求函数的解析式为 S ?

x?4

,定义域为 (5, 2 0 ) .

?????????????8 分

(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x ? (5, 2 0 ) ,可得 t ? (1,1 6 ) , 故S ?
6x
2

x?4
16 t

?

6 (t ? 4 ) t

2

? 6 (t ?

16 t

? 8)

??????????10 分 ??????????12 分

? 6(2 t ?

? 8) ? 96 ,

当且仅当 t ?

16 t

,即 t ? 4 时 S ? 9 6 .又 4 ? (1,1 6 ) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96.

故当 A N 的长为 8 时,矩形 A M P N 的面积最小,最小面积为 9 6 (平方米)????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 故椭圆 C 的方程为
x
2

2

,且 a ?
2

b ?c
2

2

?

3

,可得 b ? 1 ,
2 2

? y

? 1 , 其“准圆”方程为 x ? y ? 4



??????4 分

3

(2)由题意可得 P 点坐标为 (0, 2 ) ,设直线 l 过 P 且与椭圆 C 只有一个交点, 则直线 l 的方程可设为 y ? kx ? 2 ,将其代入椭圆方程可得
x ? 3( kx ? 2 ) ? 3 ,即 (3 k ? 1) x ? 1 2 kx ? 9 ? 0
2 2 2 2

??????6 分

, ??????8 分

由 ? ? (1 2 k ) 2 ? 3 6 (3 k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ? ? 1 ,

所以直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 , l 2 的方程为 y ? ? x ? 2 , 或直线 l1 的方程为 y ? ? x ? 2 ,l 2 的方程为 y ? x ? 2 . (3)由题意,可设 B ( m , n ), D ( m , ? n ) ( ? 3 ? m ?
??? ? ???? 3)

??????10 分
m 3
2

xx§k.Com]

,则有

? n ? 1,
2

又 A 点坐标为 ( 2, 0 ) ,故 A B ? ( m ? 2 , n ), A D ? ( m ? 2 , ? n ) ,
2 ??? ???? ? m ) 故 A B ? A D ? ( m ? 2 ) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4 m ? 4 ? (1 ? 3

??????12 分

?

4 3

m ? 4m ? 3 ?
2

4 3

(m ?

3 2

)

2

,

??????????14 分

又? 3 ? m ?
??? ???? ? 所以 A B ? A D

3

,故 ( m ? ) 2 ? [0 , 7 ? 4 3 ) ,
3 2

4

3

的取值范围是 [0 , 7 ? 4 3 ) .

??????????16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f ( 2 x ) ? f ( x ) ? 1 恒成立,令 x ? 2 k ( k ? N *) , 可得 f ( 2 k ? 1 ) ? f ( 2 k ) ? 1 ,∴数列 { f ( 2 k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f ( 2 1 0 ) ? f ( 2 0 ) ? 1 0 ,又 f ( 2 0 ) ? 3 ,故 f ( 2 1 0 ) ? 1 3 . ????????????3 分 (2)当 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) ? k ( 2 ? x ) ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ,由 f (1) ? 3 可得 k ? 3 ,即 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) ? 3( 2 ? x ) , 可知 f ( x ) 在 [1, 2 ) 上的取值范围是 (0 , 3] . 又 ( ? 2 , 0 ) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,故 f ( 2 x ) ? ? 2 f ( x ) 恒成立, 当 x ? [ 2 k ? 1 , 2 k ) ( k ? N *) 时,
2 x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? 2 4 x
k ?1

?????????????4 分

? [1, 2 )


x 2
k ?1

? ? ( ? 2 ) k ?1 f (

)



?????????????6 分

故当 k 为奇数时, f ( x ) 的取值范围是 (0, 3 ? 2 k ? 1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x ) 的取值范围是 [ ? 3 ? 2 k ? 1 , 0 ) . 由此可得 f ( x ) 在 [1, 2 ) 上的最大值为 3 ? 2
2n
2n?2

???????????8 分

,最小值为 ? 3 ? 2 2 n ? 1 .??????10 分

(3)由 ( 2, ? 2 ) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,可知 f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) ? 2 恒成立, 即 f (x) ? 令x ? 即f( ∴{ f (
2 1 2 1 2
k k

1 2

f ( 2 x ) ? 1 恒成立,

( k ? N *)

,可得 f (
1 2
k ?1

1 2
k

)?

1 2

f( 2

1
k ?1

)?1, 1 2
0

???????12 分

)?2? 1
k ?1

1 2

[f(

) ? 2 ] ( k ? N *)

,又 f (
1
n

) ? 2 ? f (1) ? 2 ? 1 ,

) ? 2} 是一个等比数列,∴ f (

1 n ) ? 2 ? 1? ( ) 2 2



所以 f ( 2 ? n ) ? 2 ? n ? 2 . 当 x ? (2 , 2
?n 1? n

???? ?????????15 分 时,由 f ( x ) 是增函数,故 f ( x ) ? f ( 2 1 ? n ) ? 2 1 ? n ? 2 ,

]( n ? N *)

又 2 x ? 2 ? 2 ? 2 ? n ? 2 ? 2 1 ? n ? 2 ,故有 f ( x ) ? 2 x ? 2 . ?????????????18 分


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