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2015年高一数学精品优秀课件:2.1.2《指数函数的概念》(新人教A版必修一)


2.1.2 指数函数及其性质
必修一 新课标人教A版

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导入新课
问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4 个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x 有怎样的关系?

第1次: 2个 第2次:4个

2

2

1
2

………… ……

第3次:8个

23
x

第x次:

y?2

导入新课
问题2 一种放射性物质不断衰减为其它物质,每经 过一年剩留量约为原来的84%,则这种物质经过x年后的 剩留量是多少?
分析:

设该物质经过x年后的剩留量为y 若设该物质原有量为1 则经过一年剩留量为: y ? 1? 0.84 2 y ? 1? 0.84 ? 0.84 ? 0.84 经过二年剩留量为: 经过三年剩留量为: y ? 1? 0.84 ? 0.84 ? 0.84 ? 0.843 …… 即经过x年后的剩留量是 y ? 0.84x

问题探究
y?2
x
x

y ? 0.84

思考:(1)它们是否构成函数?
(2)这两个解析式有什么共同特征? 分析: 对于这两个关系式,每给自变量x的一个 值,y都有唯一确定的值和它对应。

两个解析式都具有 y ? a 的形式,其中自变量x是 指数,底数a是一个大于0且不等于1的变量。
x

一、指数函数的概念
x

定义:形如y ? a (a ? 0且a ? 1)的函数称为指数函数; 其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意 : x a (1) 为一个整体,前面系数为1;

(2)a>0,且 a≠1 ; (3)自变量x在幂指数的位置且为单个x;

? 思考:为什么概念中明确规定a>0,且a≠1?

为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1

x ? 当 x ? 0 时, a ? 0. ? (1)若a ? 0, ? x 当 x ? 0 时, a 无意义. ? ?

1 1 (2)若a < 0, 如y = (-2) x , 这时对于x = , 在实数范围 2 4 内的函数值不存在.

(3) 若a=1时,函数值y=1,没有研究的必要.

练习
判断下列哪些函数是指数函数.
(1)y ? x 2 , x ? R (2)y ? 2 ? 4 , x ? R
x

( ) ( ) ( )

× × ×

(3)y ? (?4) ,x ? R
x x

1 (4)y ? (2a ? 1) (a ? , a ? 1), x ? R ( ) 2 x (5)y ? ? , x ? R ( ) (6)y ? 42 x , x ? R ( )

√ √ √

二、指数函数的图像和性质
?1? x 1、在方格纸上画出: y?2 ,y?? ? ?1? ,y ?3 ,y ?? ? ?2? ? 3?
x x x

的图像,并分析函数图象有哪些特点? 画函数图象的步骤:
列表 描点 连线

列表: x
y?2
?1? y?? ? ?2?
x
x

-2
1 4

-1
1 2

0

1

2

1
1 1

2
1 2

4
1 4

4
1 9
x

2
1 3

y ? 3x
?1? y?? ? ?3?

3
1 3

9
1 9

9

3

1

描点、连线
y

?1? y?? ? ?2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y ? 2x

关于y轴对称
1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y=ax (a>1)
1
1 0

y=ax (0<a<1)
1 1 0 x

x

0

x

归纳
函数 y=ax (a>1) y=ax (0<a<1)

图 指 数 象 函 定义域 数 R 性 (0,? ?) 没有最值 值 域 质 没有奇偶性 定 点 ( 0, 1 ) 一 性 在R上是增函数 在R上是减函数 览 质 表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1

口诀

左右无限上冲天,
永与横轴不沾边. 大 1 增,小 1 减,

图象恒过(0,1)点.

学以致用
例1、比较下列各组数的大小:



③ a ,a

1 3

1.7 ,1.7
1 2

2.5

3

② 0.8 ,0.8

0.3

?1

?0.2

(a ? 0, 且a ? 1)

1.7 ,0.9
1

3.1

⑤ 0.81.3 ,0.61.3
解: x 当0 ? a ? 1时,y ? a 是R上的减函数, ?a3 ③·

?a
1 3

1 2



a ?1

时, y ? a 是R上的增函数,
x

?a ? a

1 2

比较指数幂大小的方法:
①同底异指:构造函数法(一个), 利用函数的单 调性,若底数是参变量要注意分类讨论。 ②异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在 y轴左右两侧的特点。 ③异底异指:寻求中间量

1.下列判断正确的是 A.2.52.5>2.53 C.π 2<π 2 B.0.82<0.83 D.0.90.3>0.90.5

(

)

解析:函数y=0.9x在R上为减函数,所以

0.90.3>0.90.5.
答案:D

5-1 2.已知 a= 2 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为________.

5-1 解析:因为 a= 2 ∈(0,1),所以函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数.由 f(m)>f(n)得 m<n.

答案:m<n

3.比较下列各组数的大小: 5 2.3 4 2.3 (1)(4) 和(5) ; 4 ?2 -2 (2)0.6 和(3) 3 .

4 2.3 5 -2.3 解:(1)( ) =( ) . 5 4 5 2.3 5 -2.3 5 2.3 4 2.3 ∵2.3>-2.3,∴( ) >( ) ,即( ) >( ) . 4 4 4 5 (2)由指数函数的性质知 0.6-2>1,
2 ? 4 ?2 4 ( ) 3 <1,∴0.6-2>( ) 3 . 3 3

课堂小结


y

1.指数函数的概念
2.指数函数的图像和性质 3.指数函数性质的简单应用 思想与方法: 数形结合,由具体到一般

数 图 象
a>1

(0,1) x 0 0<a<1

y=1 x

1.定义域为R,值域为(0,+?).

函 数 性 质

2.当x=0时,y=1
3.在R上是增函数

3.在R上是减函数

4.非奇非偶函数

在第一象限内,按逆时针方向旋 转,底数a越来越大


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