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2015-2016学年广西柳州铁路第一中学高二下学期段考数学理试卷


柳州铁一中学 2015-2016 学年第二学期高二年级段考 数学(理)科试卷
(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1.答题前,考生务必将姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生作答时,请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡),在本试题上作答无效. 3.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷
一、

选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x | x ? 4 ? 0, x ? Z , B ? x | x ? 1 ? i , i是虚数单位 ,则A ? B ? (

?

?

?

?



A. ??2, ?1 , 01 , ? B. ??1,0,1,2? C. ??2, ?1,1? D. ??2, ?1,0,1,2?
2.设随机变量 ? 服从正态分布 N (4,3) ,若 p(? ? a ? 5) ? p(? ? a ? 1) ,则实数 a 等于()

B. 5 C. 6 D. 7 ? ? ? ? ? ? ? 3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 , a ? (2, 0), b ? 1 ,则 a ? 2b ? () 3 A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 12
4 4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为 ( )

A.

A.

B.

C. .

D.

5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 S 的值为( A. 4 B. 8 C.10 D. 12 6.已知 sin ? ? cos ? ?



4? ?? ? 0 ? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为() 3? 4?

1 1 2 2 B. ? C. D. ? 3 3 3 3 2 2 7.过点 M ?1,2 ? 的直线 l 与圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 25 交于 A, B 两点, C 为圆心,当 ?ACB 最小时,直线 l 的方程是( ) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

A.

x2 y 2 a2 ? e ? 8.双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e ,则 的最小值为 3 a b b 2 6 2 3 A. B. C. 2 3 D. 2 6 3 3 x?0 ? 2x ? y ? 2 ? y?x 9.已知实数 x , y 满足 ? ,则 的最小值为() x ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
A. 1 B.
3 C. 4 D. 6

10 从数字 0,1,2,3,4 组成的五位自然数 a1a2 a3a4 a5 中认取一个数,则该数满足 a1 ? a2 ? a3 , a3 ? a4 ? a5 的”凹 数”(如 31024,54134)的概率是( )

23 23 23 9 A. B. C. D. 625 2500 500 1250 3 ? (?1)n ?1 11.若数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an ? , an?1bn ? anbn?1 ? (?1)n ? 1, n ? N * ,且 b1 ? 2 ,设数列 ?bn ? 的前 2 n 项和为 Sn ,则 S99 ? ( ) A. 1225 B. 1325 C. 1425 D. 1525 ? x ?1 ? 1, x ? 1 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,若函数 h( x) ? f ( x) ? mx ? 2 有且仅有两个零点,则实数 m 的取值 ?2 ? e x , x ? 1 ?
范围是( )

A. (?6 ? 4 2,0) ? (0, ??) B. (?6 ? 4 2,0) ? (0, ??)
C. (?6 ? 4 2,0) D. (?6 ? 4 2, ?6 ? 4 2)

第Ⅱ卷
二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (1 ? x )20 的二项展开式中, x 的系数与 x9 的系数之差为. 14.已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21 ,则 a3 ? a5 ? a7 ? . 15. 平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ,则此球的体积为. 16. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,且 AF ? 4 FB ,

O 为坐标原点,若 ?AOB 的面积 S ?AOB ?

5 ,则 p ? . 8

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D ? 2?B ,且 AD ? 1, CD ? 3, cos B ? (1)求 ?ACD 的面积; (2)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3
A D

B

C

18. (本小题满分 12 分) 在某次知识竞赛中,参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图收到损坏,课件部分如图 3 所示.

(1)根据图中信息,将图乙中的频率分布直方图补充完整; (2)根据频率分布直方图估计竞赛成绩的平均值;

(3)从成绩在 ?80,100? 的选手中任选 2 人进行综合能力评估,求至少有 1 人成绩在 ?90,100? 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 为了做好“双十一”促销活动,某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为 10 的正方形 ABCD 纸片剪去四个全等的等腰三角形 ?SEE ' , ?SFF ' , ?SGG' , ?SHH ' , 再将剩下的阴影部分 折成一个四棱锥形状的包装盒 S ? EFGH ,其中 A, B, C , D 重合于点 O , E 与 E 重合, F 与 F 重合, G
' '

与 G ' 重合, H 与 H 重合(如图所示).

'

(1)求证:平面 SEG ⊥平面 SFH ; (2)当 AE ?

5 时,求二面角 E ? SH ? F 的余弦值. 2

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,四个顶点所围成菱形的面积为 8 2 . 2 a b 2

(1)求椭圆的方程;

( 2 ) 已 知 直 线 l : y ? kx ? m 与 椭 圆 C 交 于 两 个 不 同 点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , O 为 坐 标 原 点 , 且

1 kOA ? kOB ? ? ,求 y1 y2 的取值范围. 2

21. (本小题满分 12 分)

ln x , ? ( x) ? ( x ? 1) 2 ?f ?( x) 1? x 1 (1)若函数 ? ( x) 在区间 (3m, m ? ) 上单调递减,求实数 m 的取值范围; 2 (2)若对任意的 x ? (0,1) ,恒有 (1 ? x)?f ( x) ? 2a ? 0(a ? 0) ,求实数 a 的取值范围.
已知函数 f ( x) ?

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为: ? ? 6sin ? ? 8cos ? ,曲线 C2 的参数方程为: ? (1)化 C1 , C2 为直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)已知曲线 C1 上的点 p ( ? , ( t 为参数)的距离的最小值.

? x ? 8cos ? , ( ? 为参数) y ? 3sin ? , ?

?

? x ? 3 ? 2t ) , Q 为曲线 C2 上一动点,求 PQ 的中点 M 到直线 l : ? 2 ? y ? ?2 ? t

柳州铁一中学 2015-2016 学年第二学期高二年级段考 数学(理) 答案
一、 选择题: ACBDB BCABA 二、填空题: 13. 014.42 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 15. 4 3? 16. 1 BB

18. (本小题满分 12 分)
50) 的人数为 1,设参赛选手总人数为 n, 解: (Ⅰ)由题图甲的茎叶图知,成绩在 [40,



1 ? 0.004 ?10,∴ n ? 25, n

由题图乙的频率分布直方图知,成绩在[90,100]的人数为 0.08 ? 25 ? 2, 可得频率分布表如下所示. 成绩分组 频数 频率
[40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]

1 0.04

3 0.12

7 0.28

8 0.32

4 0.16

2 0.08

所以,补全后的频率分布直方图如图 3 所示.

图3

???????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)平均值= 45 ? 0.04 ? 55 ? 0.12 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.32 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 71.8 . ???????????????????????????????(8 分)
90) 的 4 位选手为 a1, 100] (Ⅲ) 成绩在[80, 100]的选手共有 6 人, 记成绩在 [80, 成绩在 [90, a2, a3, a4 ,
b2 , 的 2 位选手为 b1, a2 ), (a1, a3 ), (a1, a4 ), (a1, b1 ) , (a1, b2 ), (a2, a3 ), (a2, a4 ), 则任选 2 人的所有可能情况为 (a1, (a2, b1 ), (a2, b2 ), (a3, a4 ), (a3, b1 ), (a3, b2 ), (a4, b1 ), (a4, b2 ), (b1, b2 ), 共 15 种可能,其中至少有 1 人

成绩在[90,100]有 9 种可能,故所求概率为 P ? 19. (本小题满分 12 分) 试题分析: (1) 正方形,则对角线

9 3 ? .????(12 分) 15 5

时四个全等的等腰直角三角形,所以重新组合后构成一个 ,由平面图形可知 ,又 中点,由面面垂直的判定可得

; (2)因为

两两垂直,且交于点

,所以可以建立空间直角坐标系,

从而求得平面 平面 的法向量,通过法向量求得二面角. 试题解析:(1)∵折后 A,B,C,D 重合于一点 O, ∴拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形, ∴底面 EFGH 是正方形,故 EG⊥FH. ∵在原平面图形中,等腰三角形△SEE′≌△SGG′,∴SE=SG,∴EG⊥SO. 又∵SO,FH 平面 SFH,SO∩FH=O,∴EG⊥平面 SFH. 又∵EG ?平面 SEG,∴平面 SEG⊥平面 SFH. (2)法 1:过 O 作 OM⊥SH 交 SH 于 M 点,连接 EM,∵EO⊥平面 SFH,∴EO⊥SH, ∴SH⊥平面 EMO,∴∠EMO 为二面角 E-SH-F 的平面角.

当 AE= 时,即 OE= ,Rt△SHO 中,SO=5,SH=

,∴OM=





Rt△EMO 中,EM=



,cos∠EMO=



= .

所以所求二面角的余弦值为 法 2:由(1)知 EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到 HF⊥SO,故以 O 为原点,分别以 OF,OG,OS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz, 在原平面图形中,AE= ,则底面正方形 EFGH 的对角线 EG=5, , ?? =

??? ?

∴H

,E

,G



???? ?G =

.

在原平面图形中,可求得 SE=

,在 Rt△SOE 中,可求得 SO=

=5,

??? ? S ? ∴S(0,0,5), =
设平面 SEH 的一个法向量为 =(x,y,z),

? 5 ? ? ??? n ? S ? ? ? x ? 5z ? 0 ? ? 2 ? ??? 5 ? ? 5 ?n ? ?? ? x ? y ? 0 ? 2 2 则? 得

,令 x=2,则 =(2,2,-1),

∵EG⊥平面 SFH,∴ ?G 是平面 SFH 的一个法向量,设二面角 E-SH-F 的大小为 θ ,

????

则 cosθ =

? ???? n ? ?G ? ???? n ? ?G

= ,∴二面角 E-SH-F 的余弦值为

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
3), 半径为 5 的圆; 解: (Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程为: ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 25, 表示圆心在 (?4,

曲线 C2 的直角坐标方程为:

x2 y 2 ? ? 1,表示焦点在 x 轴上,中心在原点,长轴长为 16,短轴长为 6 64 9

的椭圆.??????????????????????????(5 分)
? π? (Ⅱ)由题意知 P ? 6, ?, 其直角坐标为 (0,6), ? 2? 3 ? ? 3sin ? )(0≤? ? 2π), 则 M ? 4 cos ?,3 ? sin ? ?, 设 Q(8cos ?, 2 ? ?

? x ? 3 ? 2t, 直线 l: ? ( t 为参数)的普通方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0, ? y ? ?2 ? t,

则点 M 到直线 l 的距离为

d?

| 4cos ? ? 6 ? 3sin ? ? 7 | 1 ? (?2)
2 2

?

| 3sin ? ? 4cos ? ? 13 | 5

?

| 5sin(? ? ? ) ? 13 | 5



8 5

?

8 5 , 5

8 5 4 3 . ??????????????(10 分) 当 cos ? ? , sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5


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