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3.2.1直线的点斜式方程


复习回顾
平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其 斜率分别为k1、k2,有 l1∥l2 k1=k2.

条件:不重合、都有斜率
垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有 l1⊥l2 k1k2=-1.

条件:都有斜率

练习
下列哪些说法是正确的( C )
A 、两直线l1和l2的斜率相等,则 l1 ∥l2;
B、若直线l1 ∥ l2,则两直线的斜率相等;

C、若两直线l1和l2中,一条斜率存在,另一条斜 率不存在,则l1和l2相交; D、若直线l1和l2斜率都不存在,则l1 ∥ l2;
E、若直线l1 ⊥ l2,则它们的斜率之积为-1;

练习
已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3), 直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2),试确 定a的值,使得直线l1和l2满足l1⊥l2

新课讲授 直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的 点都上某条直线上的点,反过来, 这条直线上的点的坐标都是这个 方程的解,那么,这个方程就叫 做这条直线的方程,这条直线就 叫做这个方程的直线.

1、直线的点斜式方程:
已知直线l经过已知点P1(x1,y1),并且它的斜率 是k,求直线l的方程。

设点P(x,y)是直线l上 不同于P1的任意一点。 根据经过两点的直线斜率 公式,得 y ? y1 k ? x ? x1

y

. .
l

P

P1

可化为y ? y1 ? k ?x ? x1 ?

O

x

由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程,叫 直线的点斜式方程。

1、直线的点斜式方程:
(1)、当直线l的倾斜角是00时, tan00=0,即k=0,这时直线l与 x轴平行或重合 l的方程:y-y1=0 或 y=y1

y y1 O l

x

y

(2)、当直线l的倾斜角是900时, 直线l没有斜率,这时直线l与y 轴平行或重合 l的方程:x-x1=0 或 x=x1
O x1

l

x

点斜式方程的应用:
例1:一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角 α=450,求这条直线的方程,并画出图形。
解:这条直线经过点P1(-2,3), 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y-3 = x + 2
y
5 P1 ° ° ° O -5

x

练习
1、写出下列直线的点斜式方程:

(1)经过A(3,?1), 斜率是 2 (2)经过B(? 2 ,2), 倾斜角是30
0

(3)经过C (0,5), 倾斜角是0

0

2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角: (1)y-2 = x-1 ( 2) y ? 2 ? 3 x ? 3

2、直线的斜截式方程:
已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0, y b),求直线方程。

代入点斜式方程,得l的直线方程: y - b =k ( x - 0) (2) 即 y = kx + b。

.(0,b)

O

x

直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定,所以方程(2)叫做直线的斜截式方程,简 称斜截式。

斜截式方程的应用:
斜截式方程:y = k x + b 几何意义:k 是直线的斜率,b是直线 在y轴上的截距 例2:斜率是5,在y轴上的截距是4的 直线方程。
解:由已知得k =5, b= 4,代入 斜截式方程 y= 5x + 4

练习
3、写出下列直线的斜截式方程: 3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是 ? 2 2

(2)斜率是 ? 2, 在y轴上的截距是4

练习
4、已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5), 求直线l的方程
解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5) 5 ? ?? 5? ? kl ? ? ?2 ?2?3 将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ) 即 2x + y -1 = 0

例题分析:
例3 已知直线l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2) l1 ? l 2的条件是什么?

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
l1 ∥ l 2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2 l1 ? l 2 ? k1 ? k2 ? ?1

练习
判断下列各直线是否平行或垂直
1 (1) l1 : y ? 2 x ? 3 1 l2 : y ? x ? 2 2 (2) 5 l1 : y ? x 3 3 l2 : y ? ? x 5

①直线的点斜式,斜截式方程在直线斜率 存在时才可以应用。 ②直线方程的最后形式应表示成二元一次 方程的一般形式。

练习
5、求过点(1,2)且与两坐标轴组成一等腰 直角三角形的直线方程。 解:∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点(1,2)代入点斜式方程得 y- 2 = x - 1 或y-2=-(x-1) 即x-y+1=0或x+y-1=0

练习
㈢巩固: ①经过点(- 2 ,2)倾斜角是300的直线的方程是 (A)y+ 2 =
3 ( x-2) 3

(B)y+2=

3 (x- 2 )

(C)y-2=

3 (x+ 3

(x+ 2 ) 2 )(D)y-2= 3

②已知直线方程y-3= 3(x-4),则这条直线经过的已知 点,倾斜角分别是 (A)(4,3);π/ 3 (B)(-3,-4);π/ 6 (C)(4,3);π/ 6 (D)(-4,-3);π/ 3

③直线方程可表示成点斜式方程的条件是 (A)直线的斜率存在 (B)直线的斜率不存在 (C)直线不过原点 (D)不同于上述答案

已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0), 求D点的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A、 B、C、D按逆时针方向排列)。
y A

.
O

D
D

B

.

.

C

x

注意:
⑴ P为直线上的任意一点,它的 位置与方程无关 直线上任意一点P与这条直线上 一个定点P1所确定的斜率都相等。
° °

y

° °P ° ° ° ° ° ° ° P1
O x

°

⑵ 当P点与P1重合时,有x=x1,y=y1,此时满 足y-y1=k(x-x1),所以直线l上所有点的坐标 ⑶ 如直线l过P1且平行于x轴,则它的斜率k=0, 都满足y-y1=k(x-x1),而不在直线l上的点, 由点斜式 知方程为y=y0;如果直线l过P1且平行 显然不满足(y-y1)/(x-x1)=k即不满足y于Y轴,此时它的倾斜角是900,而它的斜率不 y1=k(x-x1),因此y-y1=k(x-x1)是直线l的 存在,它的方程不能用点斜式表示,但这时直 方程。 线上任一点的横坐标x都等于P1的横坐标所以方 程为x=x1


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