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安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(文)试题


黄山市 2013 届高三“七校联考”试卷 文 科 数 学
考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2、答题前,请考生务必将答 题卷左侧密封线内的项目填写清楚.请考生按规定 用笔将所有试题的答案涂、填在答题卡上,在试题卷上作答无效; 3、请规范、工整书写,保持卷面清洁. 4、参考公式:
样本数据 x1 , x2

,?, xn 的方差为:

s2 ?

2 2 1 x1 ? x ? x 2 ? x ? ? ? x n ? x n

??

? ?

?

?

? ?,其中 x 为样本平均数.
2

第Ⅰ卷(选择题
项中,只有一项是符合题目要求的)

满分 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 1、集合 A ? ?x ? 1 ? x ? 4? ,集合 B ? ?x ? 2 ? x ? 0?,则 A ? B ? ( A、 (?1,0) B、 (?2,4) C、 (?2,?1) ) C、 ?1 ? i ) D、 9 ) D、 1 ) D、 ?1 ? i 2、复数 z 满足 (2 ? i) z ? ?3 ? i ,则 z ? ( A、 2 ? i B、 2 ? i



D、 (0,4)

3、函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 在闭区间 [1,4] 上的最小值为( A、 4 B、 5 C、 8
1 ,则 log2 a5 ? ( 4

4、已知等差数列 {an } 满足 a 2 ? a8 ? A、 ? 3 B、 3

C、 ? 1

5、设 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的( A、充分必要条件

B 、必要不充分条件

C、 充分不必要条件

D、既不充分也不必要条件 )

6、若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ,则( A、 a ? ?1 , b ? 1 B、 a ? 1 , b ? ?1 C、 a ? 1 , b ? 1

D、a ? ?1, b ? ?1

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? y ? ?1 ? 7、已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? y ? 2 ?



[来源:学科网 ZXXK]

A、 ? 3 8、有如下两个命题:

B、 1

C、 3

D、 5

p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期是 4? ;

q :将函数 y ? sin x 的图 像向左平移

? 个单位可得到函数 y ? cos x 的图像. 2
C、 (?p) ? q 为真 D、 p ? q 为真

那么下列判断中正确的是( A、 p ? q 为假



B、 (?p) ? q 为假

9、若抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 3,则点 P 到抛 物线的焦点 F 的距 离为( A、 3 ) B、 4 C、 5 D、 7

10、甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶 图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 x1 , x2 则下列判断正确的是( ) B、 x1 ? x2 ;乙比甲成绩稳定 D、 x1 ? x2 ;乙比甲成绩稳定

A、 x1 ? x2 ;甲比乙成绩稳定 C、 x1 ? x2 ;甲比乙成绩稳定

第Ⅱ卷(非选择题
25 分.把答案填在答题卡的相应位置)

满分 100 分)
开始 输入N k=1,S=1 S=S+ 1 k(k+1) 是 k=k+1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共

11、直线 x ? y ? m ? 0 过圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 0 的
2 2

圆心,则 m ?



12、在执行右边的程序框图时,如果输入 N ? 4 , 则输出 S ? .

k<N? 否 输出S

12 13、已知角 ? ? ( , ) ,且 tan ? ? ? ,则 2 2 5

? 3?

结束 大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com 第 12 题图

cos(? ? ? ) ?

. 1 1 1 2

14、一个几何体的三视图如图所示,则 这个几何体的体积为 .

15、已知两个单位向量 a , b 的夹角是
60 ? ,那么 | 2a ? b |?

正视图

侧视图

. 2

1 俯视图 第 14 题图 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内) 16、(本小题满分 12 分) 某校有教职工 130 人,对他们进行年 龄状况和受教育情况(只有本科和研究 生两类)的调查,其结果如下: (Ⅰ)随机抽取一人,是 35 岁以下的 17 概率为 ,求 a, b 的值; 26 (Ⅱ)从 50 岁以上的 6 人中随机抽取两 人,求恰好只有一位研究生的概率.
35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 本科 研究生 35

a
25 4

b
2

17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , (a ? cn 角 且 ) ( s i (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 5 , c ? 7 ,求 ?ABC 的面积.
A ? n C ) ? (a ? b)n B . s i s i

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18、(本小题满分 12 分) 在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中,
PA ? 平面 ABCD , ?ADC ? 60? ,点 E , P
E
A F D

F, G 分别在 PD, AD, AC 上,且 PE : ED ?
AF : FD ? CG : GA ? 2 : 1 .

(Ⅰ)证明: PA // 平面 EFG ; (Ⅱ)证明: AC ? EG .
B

G

C

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 在闭区间 [?2,2] 上的极值; (Ⅱ)讨论函数 f (x) 的单调性.

20、(本小题满分 13 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ?
a n ?1 ? 4 1 a n ? a n ?1 . 3 3

4 13 , a2 ? ,当 n ? 2 且 n ? N ? 时,有 3 9

(Ⅰ)若 bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求证 :对任意 n ? N ? ,都有
4 3 ? an ? . 3 2

21、(本题满分 14 分) 已知椭圆 E 的对称轴为坐标轴,焦点在 y 轴上,离心率 e ? 椭圆的上顶点和右顶点,且 AB ? 6 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 已知直线 l : y ? x ? m 与椭圆 E 相交于 M , N 两点, OM ? ON (其中 O 为 且
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2 , A, B 分别为 2

坐标原点),求 m 的值.

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黄山市 2013 届高三“七校联考”
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 B 2 D 3 B 4 A 5 C 6 A 7 C 8 C 9 B 10 D
[来源:学科网]

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、 ? 3 12、
9 5

13、

5 13

14、 3

15、 3

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 16、(本小题 12 分) 解:(1)由已知得:
a ? 35 17 ? ,解得 a ? 50 130 26

??????????3 分 ??????????6 分

故 b ? 130? (50 ? 35 ? 25 ? 4 ? 2) ? 14 ,即 b ? 14

(2)将 50 岁以上的 6 人进行编号:四位本科生为:1,2,3,4,两位研究生为 5,6。 从这 6 人中任取 2 人共有 15 种等可能发生的基本事件,分别为:
学#科#网] [来源:学科网]

12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56 ???9 分 其中恰好有一位研究生的有 8 种,分别为:15,16,25,26,35,36,45,46 故所求的概率为:P ? 17、(本小题 12 分) 解:(1)由已知和正弦定理得: (a ? c)(a ? c) ? b(a ? b)
2 2 2 2 2 2

[来源:

8 15

???????????????????12 分

???????2 分

a2 ? b2 ? c2 1 ? 故 a ? c ? ab ? b ,故 a ? b ? c ? ab ,故 cosC ? ??4 分 2ab 2

故 C ? 60?

?????????????????????????6 分 ??? ?????????????9 分 ???????????12 分

(2)由(1)中 a 2 ? c 2 ? ab ? b 2 ,得 25 ? 49 ? 5b ? b 2 ,得 b 2 ? 5b ? 24 ? 0 , 解得 b ? 8 或 b ? ?3 (舍),故 b ? 8 所以, ?ABC 的面积为: S ? 18、(本小题 12 分) 解:(1)由 PE : ED ? AF : FD 得 PA // EF ????????????3 分 ??????6 分
P E A D

1 ab sin C ? 10 3 2

又 EF ? 平面 EFG , PA ? 平面 EFG ,故 PA // 平面 EFG (2)如图,连结 BD ,交 AC 于点 O ,则 AC ? BD

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且 O 为 AC 的中点,由 CG : GA ? 2 : 1 ,得 AG ?
OG ? OA ? AG ? 1 1 1 AC ? AC ? AC , 2 3 6

1 AC , 3

故 AG : GO ? 2 : 1 故 AG : GO ? AF : FD ,故 GF // OD ,即 GF // BD 又 AC ? BD ,故 AC ? GF 又 AC ? 底面 ABCD ,故 AC ? EF 所以 AC ? 平面 EFG ,故 AC ? EG 19、(本小题 12 分) 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 3 ? 3x , f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 1 ,
(?2,?1)
?1

??????????????????8 分 ???????????????10 分 ???????????????12 分

因为 PA ? 底面 ABCD , PA // EF ,所以 EF ? 底面 ABCD ,

????????????????2 分

当 x 在区间 (?2,2) 上变化时, f ?(x) 与 f (x) 的变化情况如下:

x f ?(x)
f (x)

(?1,1)

1

(1,2)

正 增

0

负 减

0

正 增 ????6 分

极大值

极小值

故 f (x) 在 [?2,2] 上有极大值为 f (?1) ? 2 ,极小值为 f (1) ? ?2 (2) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x 2 ? a) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,故 f (x) 在 R 上为增函数

?????8 分

当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得: x ? ? a 或 x ? a ;由 f ?( x) ? 0 得: ? a ? x ? a 故 f (x) 在 (??,? a ] 和 [ a ,??) 上为增函数, [ a ,? a ] 上为减函数 在 ?11 分

综上: a ? 0 时,f (x) 在 R 上为增函数; a ? 0 时,f (x) 在 (??,? a ] 和 [ a ,??) 当 当 上为增函数,在 [ a ,? a ] 上为减函数.???????????????12 分 20、(本小题 13 分) 解:(1)当 n ? 1 时,有 b1 ? a 2 ? a1 ? 分
1 1 a ? a bn a n ?1 ? a n 3 n 3 n ?1 1 ? ? 当 n ? 2 时,有 = 3 bn ?1 a n ? a n ?1 a n ? a n ?1
13 4 1 ? ? 9 3 9

???? ???????1

[来源:学科网 ZXXK]

故数列 {bn } 是等比数列,其首项为 b1 ?

1 1 ,公比为 q ? 9 3

???????5 分
n ?1

1 ?1? (2)由(1)知 bn ? ? ? ? 9 ? 3?

n ?1

?1? ?? ? ? 3?

n ?1

?1? 即 an?1 ? a n ? ? ? ? 3?

??????6 分

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故 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
?1? 1? ? ? n n ?1 2 4 ?1? ?1? ?1? ? 3? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 1 3 ? 3? ? 3? ? 3? 1? 3
n ?1

3 ? ?1? ? ?1 ? ? ? 2 ? ?3? ?
n ?1

n ?1

? ? ? ?

??????10 分

?1? 当 n ? N 时,有 0 ? ? ? ? 3?
?

n ?1

1 8 ?1? ? ,故 ? 1 ? ? ? 9 9 ? 3?

? 1,



n ?1 4 3 4 3 ? ?1? ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ,即 ? a n ? 3 2 3 2 ? ? 3? ? 2 ? ?

?????????????13 分

21、(本小题 14 分) 解:(1)设椭圆的方程为 由e ?
y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ),半焦距为 c , a2 b2

c2 a2 ? b2 1 2 ? ,得 a 2 ? 2b 2 得, e 2 ? 2 ? 2 2 2 a a

??????????2 分

由 AB ? 6 得, a 2 ? b 2 ? 6 , 故 a2 ? 4 , b2 ? 2 所以,椭圆 E 的方程为
y2 x2 ? ?1 4 2

?????????????????4 分

????????????????6 分

? y ? x?m ? (2)由 ? y 2 x 2 ,消去 y ,并整理得: 3x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 ,???7 分 ? 4 ? 2 ?1 ?

由判别式 ? ? 4m 2 ? 12(m 2 ? 4) ? 0 ,解得 ? 6 ? m ? 6
2m m2 ? 4 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? 3 3

??????9 分 ?????1 0 分

由 OM ? ON ,得 OM ? ON ? 0

????????????????11 分

又 OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? 2x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ?
2m 2 ? 8 ? 2m 2 8 2 6 ? ? m 2 ? m 2 ? ? 0 ,故 m ? ? 3 3 3 3

?????????14 分

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