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【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第17讲 二次曲线(含详解)


二次曲线
题型预测 高考试题中,解析几何试题的分值一般占 20%左右,而圆锥曲线的内容在试卷中所占 比例又一直稳定在 14%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆 锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、 基本技能和基本方法的运用; 以圆锥曲线为载体 的解答题设计中,重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论,它们是热中之 热.解答题的题型设计主要有三类: (1)求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹; (2)圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定; (3)涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题. 近年来,高考中解析几何综合题的难度有所下降.随着高考的逐步完善,结合上述考题 特点分析,预测今后高考的命题趋势是:将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查,加 强对于分析和解决问题能力的考查.因此,教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥 曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用. 范例选讲 例 1. ?ABC 中,已知 | CB |? 2 2 ,且内角满足 2sin A ? sin C ? sin B . (1)建立适当的坐标系,求顶点 A 的轨迹方程; (2)若直线 l 通过点 B,且与顶点 A 的轨迹交于 M、N 两点,求 CM ? CN 的最小值.

讲解 (1)如图:取 CB 所在直线为 x 轴,CB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐 标系. ∵ 2sin A ? sin C ? sin B Y 由 正 弦 定 理 可 得 :

AC ? AB ? 2 CB ? 4 2 (定值)
根据椭圆的定义可知:顶点 A 的轨迹是以 C、B 为焦点的椭圆,方程为:

N

A

C

O

B M

x

x y ? ? 1. 8 6
(2)解法一.由于 M,N 的变化是由直线 l 的运动引起的,所以,可以设法将 CM ? CN 表达成关于直线 l 的斜率 k 的函数.

2

2

1

设过点 B 的直线 l 的方程为: y ?k x? 2 ,点 M、N 的坐标分别为:

?

?

M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? .

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 6 则由 ? 8 消去 y ,得 ? 3 ? 4k ? x ? 8 2k x ? 8k ? 24 ? 0 . ?y ? k x ? 2 ?

?

?

显然,求出点 M,N 的坐标是不可取的.但很容易得到下面的式子:

? 8 2k 2 x1 ? x2 ? ? ? 3 ? 4k 2 . ? 2 ? x x ? 8k ? 24 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
能否用 x1 ? x2 , x1 x2 来表示 CM ? CN ?这就涉及到椭圆的第二定义. 由(1)可知:椭圆的左准线为: x ? ?

8 ? ?4 2 .所以,根据定义有: 2

CM ? e ? x1 ? 4 2 ?
所以, CM ? CN ?

1 x1 ? 4 2 , 2

?

?

CN ? e ? x2 ? 4 2 ?

1 x1 x2 ? 4 2 ? x1 ? x2 ? ? 32 4

?

?

1 x2 ? 4 2 2

?

?

? 50k 2 ? 18 25 1 ? 8k 2 ? 24 ? 64k 2 39 ? ? ? 32 ? ? ? ? 2 2 2 4? 3 ? 4k 3 ? 4k 2 8k ? 6 ?
所以,当 k ? 0 时, CM ? CN 取得最小值,为 6.

解法二.从另一个角度来思考这个问题,由于直线的标准参数方程中, t 的几何意义就 是 从 定 点 出 发 的 有 向 线 段 的 数 量 , 所 以 , 我 们 可 以 考 虑 将 CM 、 CN 转 化 为

BM 、 BN ,同时利用直线 l 的参数方程来解决问题.
设过点 B 的直线 l 的方程为:? 代入椭圆方程,得:

? x ? 2 ? t cos ? ? (其中 t 为参数,? 为直线 l 的倾斜角) , ? y ? t sin ? ?

t 2 ? 3 ? sin 2 ? ? ? 6 2t cos ? ? 18 ? 0 .

? ?6 2 cos ? ?tM ? t N ? ? 3 ? sin 2 ? . 所以, ? ?t ? t ? ?18 ? M N 3 ? sin 2 ? ?
2

所以, tM ? t N ?

? tM ? t N ?

2

? 4tM ? t N ?

12 2 . 3 ? sin 2 ?

根据椭圆定义: CM ? BM ? 4 2 , CN ? BN ? 4 2 .所以,

CM ? CN ? 4 2 ? BM

?

?? 4

2 ? BN ? 32 ? 4 2 ? BM ? BN ? ? BM ? BN

?

? 32 ? 4 2 tM ? t N ? tM ? t N ? 32 ? 4 2 ?

12 2 ?18 78 ? ? 32 ? 2 2 2 3 ? sin ? 3 ? sin ? sin ? ? 3

2 所以,当且仅当 sin ? ? 0 ,即直线方程为 y ? 0 时, CM ? CN 取得最小值,为 6.

点评:恰当运用定义是进行问题转化的重要手段.

例 2.已知双曲线的左右两焦点分别为 F1 , F2 ,点 M 是双曲线右支上不重合于顶点的一 点,设 ?MF1 F2 ? ? , ?MF2 F1 ? ? ,若 (1)求双曲线的离心率; (2)如果动点 M 的坐标为 ? x, y ? ,且 4 x ? 2 5 xy ? 4 y 有最小值 15,求双曲线的方
2 2

sin ? ?1 ? cos ? ? sin ? ?1 ? cos ? ?

?

1 . 3

程. 讲解:(1)如果对三角公式较为熟悉,不难发现,实际上

sin ? ?1 ? cos ? ? sin ? ?1 ? cos ? ?

?

tan tan

? ?
2 . 2

所以 ,要求双 曲线的离心率 ,只需考虑 如何用

a, b, c, e 来表达 tan

?
2

2 设双曲线的实轴长为 2a ,焦距为 2c ,点 P 为

tan

?

即可.

?MF1 F2 的内心,过 P 作 PN 垂直 F1 F2 于点 N,则
tan

?
2

?

PN NF1

, tan

?
2

?

PN NF2



又 NF1 ?

MF1 ? F1 F2 ? MF2 2 MF2 ? F1F2 ? MF1 2

?

2c ? 2a ? c ? a, 2 ?2a ? 2c ?c?a 2

NF2 ?

?

3

tan 1 sin ? ?1 ? cos ? ? 2 = NF2 ? c ? a ? e ? 1 所以, ? ? NF1 c ? a e ? 1 3 sin ? ?1 ? cos ? ? tan ? 2 所以, e ? 2 .
(2)? e ? 2, ? b ? 3a
2 2

?

∴ M 的坐标 ? x, y ? 适合方程 3x ? y ? 3a ,
2 2 2
2 2 又∵ 4 x ? 2 5 xy ? 4 y ? 4 x ? 4 y ? x ? 5 y
2 2 2

?

2

? ? 3x

2

? y 2 ? 3a 2 ? 15

(等号当且仅当 x ?
2 2

5y ?

5 42 时取得). 14

∴ a ? 5, b ? 15 ,

双曲线的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 5 15

点评:(1)中,直接利用正、余弦定理也可得出结论.

4


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