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对数与对数运算(1)


§2.2.1 对数与对数运算

分裂 次数

1次

2次

3次

4次

x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个

4个

r />
8个

16个

21

22

23

24

2

x

对数的定义: 一般地,如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x 就叫做以a为底N的对数,记做 x ? loga N , 对数 真数 (N>0) 底数 对数中的两个特殊对数: ① 以10为底的对数叫做常用对数: log10 N ? lg N ② 以无理数e为底的对数叫做自然对数: loge N ? ln N

对数与指数间的联系
a>0且a≠1时
真数 (N>0)



对数式 x ? loga N
对数

指数式 ax=N
底数
指数

由对数与指数间的关系可以得出结论: 负数和零没有对数:
loga a ? 1. 性质公式1: loga 1 ? 0,

例题: 把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:
( 1 )54 ? 625
?1? (3)? ? ?3?
m

? 5.73

1 (2)2 ? 64 (4)log1 16 ? ?4
-6

2

(5)lg0.01? ?2

解:

( 1 ) log5 625 ? 4
3 ?2

(6)ln10 ? 2.303 1 (2)log2 ? ?6 64
?1? (4)? ? ?2?
?4

(3) log1 5.73 ? m
( 5) 10 ? 0.01

? 16

(6)e 2.303 ? 10

练习:
把下列指数式写成对数式:
( 1 )2 ? 8 1 ?1 (3)2 ? 2
3

(2)2 ? 32
(4)27
? 1 3

5

1 ? 3

解:
( 1 )log2 8 ? 3 (2)log2 32 ? 5

1 ? 1? ?1? (3)log2 ? ?1 (4)log27 ? ? ? ? ? ? 2 ? 3? ?3?

练习: 把下列对数式写成指数式:
( 1 )log3 9 ? 2 (2)log5125 ? 3

1 (3)log2 ? ?2 4

1 (4)log3 ? ?4 81
(2)53 ? 125
(4)3
?4

解:
( 1 )32 ? 9
(3)2
?2

1 ? 4

1 ? 81

例题: 求下列各式中x的值:
2 ( 1 )log64 x ? ? 3

(2)logx 8 ? 6

解:

2 ( 1 ) 因为 log64 x ? ? 3 2 2
? 3

所以 x ? 64

? (4 )
3

?

3

?4
1 3 6

?2

1 ? 16
1 2

(2) 因为 logx 8 ? 6

所以 x 6 ? 8, x ? 8 ? (2 ) ? 2 ?

1 6

2

例题: 求下列各式中x的值:
( 1 )lg100 ? x (2) ? lne 2 ? x

解:
(1)∵ lg100 ? x

∴ 10x ? 100 ? 102, 即 x=2
2 ? ln e ?x (2)∵

2 2 ?x ln e ? ? x , e ? e ∴

即 x ? ?2

练习: 求下列各式的值:
( 1 )log5 5; (2)log21 ; (4)lg1000; (3)log3 32;

解: ( 1)log5 5 ? 1;
2

(2)log21 ? 0; (4)lg1000? 3;
x

(3)log3 3 ? 2;

性质公式2: loga a

?x

练习:

求下列各式的值: log2 3 ( 1 ) 2

(2) 3

log3 5 log4 6

(3) 0.1 解:
( 1 ) 3 (3) 1

log0.1 1

(4) 4
(2) 5 (4) 6

a

loga N

? N 对数恒等式

总结: 一般地,如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x 就叫做以a为底N的对数,记做 x ? loga N 对数 真数 底数

总结:
a>0且a≠1时
真数 (N>0)



对数式 x ? loga N
对数

指数式 ax=N
底数
指数

由对数与指数间的关系可以得出结论: 负数和零没有对数: 性质公式1: loga 1 ? 0, loga a ? 1. x 性质公式2: loga a ? x loga N a ?N 对数恒等式:


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