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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第29练


第 29 练

与直线和圆有关的最值问题

题型一 有关定直线、定圆的最值问题 例 1 已知 x,y 满足 x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2 的最小值为________. 破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决,另外还可以将 x+2y-5=0 改写成 x= 5-2y,利用二次函数法来解决. 4 答案 5 解析 方法一 (x-1)2+(y-1)2 表示点 P(x,y)到点 Q(1,1)的距离的平方. 由已知可知点 P 在直线 l:x+2y-5=0 上, 所以 PQ 的最小值为点 Q 到直线 l 的距离, |1+2×1-5| 2 5 即 d= = , 5 1+22 4 所以(x-1)2+(y-1)2 的最小值为 d2= . 5 方法二 由 x+2y-5=0,得 x=5-2y, 代入(x-1)2+(y-1)2 并整理可得 (5-2y-1)2+(y-1)2=4(y-2)2+(y-1)2 9 4 =5y2-18y+17=5(y- )2+ , 5 5 4 所以可得最小值为 . 5 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例 2 直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点.当 OA+OB 最 小时,O 为坐标原点,求 l 的方程. 破题切入点 设出直线方程,将 OA+OB 表示出来,利用基本不等式求最值. 解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负, 设直线 l 的斜率为 k, 则 y-4=k(x-1)(k<0). 4 令 y=0,可得 A(1- ,0); k 令 x=0,可得 B(0,4-k). 4 4 OA+OB=(1- )+(4-k)=5-(k+ ) k k
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4 )≥5+4=9. -k 4 所以,当且仅当-k= 且 k<0, -k =5+(-k+ 即 k=-2 时,OA+OB 取最小值. 这时 l 的方程为 2x+y-6=0. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 例 3 由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当 PT 的长 最小时,点 P 的坐标是________. 破题切入点 将 PT 的长表示出来,结合圆的几何性质进行转化. 答案 (0,2) 解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点 P 的距离的关系,可知 PT= PC2-1,故 PT 最 小时,即 PC 最小,此时 PC 垂直于直线 y=x+2,则直线 PC 的方程为 y+2=-(x-4),即 y ? ?y=x+2, =-x+2,联立方程? 解得点 P 的坐标为(0,2). ?y=-x+2, ? (2)与其他知识相结合的范围问题 → 例 4 已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A, B, O 是坐标原点, 且有|OA 3→ → +OB|≥ |AB|,那么 k 的取值范围是________. 3 破题切入点 结合图形分类讨论. 答案 [ 2,2 2)

3→ → → 解析 当|OA+OB|= |AB|时, O, A, B 三点为等腰三角形的三个顶点, 其中 OA=OB, ∠AOB 3 3 → → =120° , 从而圆心 O 到直线 x+y-k=0(k>0)的距离为 1, 此时 k= 2; 当 k> 2时, |OA+OB|> 3 → |AB|,又直线与圆 x2+y2=4 存在两交点,故 k<2 2,综上,k 的取值范围是[ 2,2 2). 总结提高 (1)主要类型: ①圆外一点与圆上任一点间距离的最值.
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②直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值. ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值. ④直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线段长的最小值问题. ⑤两圆相离,两圆上点的距离的最值. ax+by ⑥已知圆上的动点 Q(x,y),求与点 Q 的坐标有关的式子的最值,如求 ax+by, 等的最 cx+dy 值,转化为直线与圆的位置关系. (2)解题思路: ①数形结合法:一般结合待求距离或式子的几何意义,数形结合转化为直线与直线或直线与 圆的位置关系求解. ②函数法:引入变量构建函数,转化为函数的最值求解. (3)注意事项: ①准确理解待求量的几何意义,准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系; ②涉及切线段长的最值时,要注意切线,圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线 组成一个直角三角形.

1.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原 点的距离的最小值为________. 答案 3 2 解析 依题意知,AB 的中点 M 的集合是与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离都相等 的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M 所在直线的方程为 l:x |m+7| |m+5| +y+m=0,根据平行线间的距离公式得 = ?|m+7|=|m+5|?m=-6, 2 2 即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式, |-6| 得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 2.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则 MN 的最小值是________. 4 答案 5 |-3-4-2| 9 解析 圆心(-1, -1)到点 M 的距离的最小值为点(-1, -1)到直线的距离 d= = , 5 5 4 故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5
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3.已知 P 是直线 l:3x-4y+11=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切 线,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________. 答案 3

解析 如图所示,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 圆心为 C(1,1),半径为 r=1. 根据对称性可知四边形 PACB 面积等于 1 2S△APC=2× PA· r=PA, 2 故 PA 最小时,四边形 PACB 的面积最小, 由于 PA= PC2-1, 故 PC 最小时,PA 最小, 此时,直线 CP 垂直于直线 l:3x-4y+11=0, 故 PC 的最小值为圆心 C 到直线 l:3x-4y+11=0 |3-4+11| 10 的距离 d= = =2, 5 32+42 所以 PA= PC2-1= 22-1= 3. 故四边形 PACB 面积的最小值为 3. 4.(2013· 江西改编)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率为________. 3 答案 - 3 1 解析 ∵S△AOB= OA· OB· sin∠AOB 2

1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2 π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2

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此时 O 到 AB 的距离 d=

2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),即 kx-y- 2k=0. | 2k| 2 3 由 d= 2 = ,得 k=- . 2 3 k +1 5.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线的方程为________. 答案 x+y-2=0 解析 由题意知,当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件. 圆心 O 与 P 点连线的斜率 k=1, 所以直线 OP 垂直于 x+y-2=0.

? ??y≥0, ? 6. 已知 Ω=??x,y??? 2 ??y≤ 4-x ? ?

? ? 直线 y=mx+2m 和曲线 y= 4-x2有两个不同的交点, ?, ? ?

它们围成的平面区域为 M,向区域 Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M),若 π-2 ? P(M)∈? ? 2π ,1?,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,1]

解析 画出图形,不难发现直线恒过定点(-2,0),圆是上半圆, 直线过(-2,0),(0,2)时,向区域 Ω 上随机投一点 A, 点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M), π-2 此时 P(M)= , 2π 当直线与 x 轴重合时,P(M)=1, 故直线的斜率范围是[0,1]. 7.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 4 答案 3 解析 可转化为圆 C 的圆心到直线 y=kx-2 的距离不大于 2.
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圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, |4k-2| 即 2 ≤2. k +1 4 整理,得 3k2-4k≤0,解得 0≤k≤ . 3 4 故 k 的最大值是 . 3 8.直线 l 过点(0,-4),从直线 l 上的一点 P 作圆 C:x2+y2-2y=0 的切线 PA,PB(A,B 为 切点),若四边形 PACB 面积的最小值为 2,则直线 l 的斜率 k 为________. 答案 ± 2 解析 易知圆的半径为 1,因为四边形 PACB 的最小面积是 2,此时切线段长为 2,圆心(0,1) 5 到直线 y=kx-4 的距离为 5,即 = 5,解得 k=± 2. 1+k2 9.若直线 ax+by=1 过点 A(b,a),则以坐标原点 O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的最小 值是________. 答案 π 解析 ∵直线 ax+by=1 过点 A(b,a), 1 ∴ab+ab=1.∴ab= . 2 又 OA= a2+b2, ∴以 O 为圆心,OA 为半径的圆的面积为 S=π·OA2=(a2+b2)π≥2ab·π=π, ∴面积的最小值为 π. 10 .与直线 x- y - 4 =0 和圆 A: x2 + y2 +2x - 2y= 0 都相切的半径最小的圆 C 的方程是 ________________________________________________________________________. 答案 (x-1)2+(y+1)2=2 解析 易知所求圆 C 的圆心在直线 y=-x 上,故设其坐标为 C(c,-c),又其直径为圆 A 的 圆心 A(-1,1)到直线 x-y-4=0 的距离减去圆 A 的半径,即 6 2r= - 2=2 2?r= 2, 2 即圆心 C 到直线 x-y-4=0 的距离等于 2, |2c-4| 故有 = 2?c=3 或 c=1, 2 结合图形当 c=3 时圆 C 在直线 x-y-4=0 下方,不符合题意,故所求圆的方程为(x-1)2+(y +1)2=2.
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11.已知点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求点 P 到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值; y-2 (2)求 的最大值和最小值. x-1 |3×?-2?+4×0+12| 6 解 (1)圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为 d= = . 5 32+42 6 11 所以点 P 到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 d+r= +1= , 5 5 6 1 最小值为 d-r= -1= . 5 5 y-2 (2)设 k= , x-1 则直线 kx-y-k+2=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点, |-3k+2| 3- 3 3+ 3 ∴ ≤1,∴ ≤k≤ , 2 4 4 k +1 3+ 3 3- 3 ,kmin= . 4 4 y-2 3+ 3 3- 3 即 的最大值为 ,最小值为 . 4 4 x-1 ∴kmax= 12.(2014· 苏州模拟)已知圆 M 的方程为 x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切. (1)求圆 O 的方程; → → (2)圆 O 与 x 轴交于 E,F 两点,圆 O 内的动点 D 使得 DE,DO,DF 成等比数列,求DE· DF的 取值范围. 解 (1)圆 M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8, 故圆心 M(1,1),半径 R=2 2. 圆 O 的圆心为 O(0,0), 因为 MO= 2<2 2, 所以点 O 在圆 M 内,故圆 O 只能内切于圆 M. 设圆 O 的半径为 r, 因为圆 O 内切于圆 M, 所以 MO=R-r, 即 2=2 2-r, 解得 r= 2. 所以圆 O 的方程为 x2+y2=2. (2)不妨设 E(m,0),F(n,0),且 m<n.
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故 E(- 2,0),F( 2,0). 设 D(x,y),由 DE,DO,DF 成等比数列, 得 DE×DF=DO2, 即 ?x+ 2?2+y2× ?x- 2?2+y2=x2+y2, 整理得 x2-y2=1. → → 而DE=(- 2-x,-y),DF=( 2-x,-y), → → 所以DE· DF=(- 2-x)( 2-x)+(-y)(-y) =x2+y2-2=2y2-1.
2 2 ? ?x +y <2, 1 由于点 D 在圆 O 内,故有? 2 2 得 y2< , 2 ?x -y =1, ?

所以-1≤2y2-1<0, → → 即DE· DF∈[-1,0).

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