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【解析版】盐城市2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题


2012-2013 学年江苏省盐城市高二(下)期末数学试卷(理 科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1. 分)命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是 ?x∈R,sinx>1 . (5 考点: 命题的否定. 专题: 综合题. 分析: 直接把语句进行否定即可,注意否定时?对应?,≤对应>. 解答:

解:根据题意我们直接对语句进行否定 命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是:?x∈R,sinx>1. 故答案为:?x∈R,sinx>1. 点评: 本题考查了命题的否定,注意一些否定符号和词语的对应. 2. 分)已知复数 z 满足 z=i(2﹣i) (5 (其中 i 为虚数单位) ,则|z|= 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题: 计算题. 分析: 先由复数的乘法运算对 z 进行化简,再代入公式求出复数的模. 2 解答: 解:由题意得 z=i(2﹣i)=2i﹣i =1+2i, 则|z|= = , .

故答案为: . 点评: 本题考查了复数的乘法运算,以及复数模的公式,属于基础题. 3. 分)某校对全校 1000 名男女学生进行课外阅读情况调查,采用分层抽样法抽取一个 (5 容量为 200 的样本,已知女生抽了 80 人,则该校的男生数为 600 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出样本中的男生数目,然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生 数. 解答: 解:在样本中,由于女生抽了 80 人,所以男生为 120,所以男生在样本中的比例为 , 所以该校的男生数为 故答案为:600. 点评: 本题的考点是分层抽样的应用. 人.

4. 分) (5 已知向量



, 若

, λ= 0 或 2 . 则

1

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 2 根据两个向量垂直的性质可得 =2λ+0﹣λ =0,与哦刺球的 λ 的值. 解答: 解: 已知向量
2



, 若

, 则

=2λ+0

﹣λ =0, 解得 λ=0,或 λ=2, 故答案为 0 或 2. 点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.

5. 分)有 6 件产品,其中有 2 件次品,从中任选 2 件,恰有 1 件次品的概率为 (5



考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 所有的选法有 种,而从中任选 2 件,恰有 1 件次品的选法有

?

种,由此求

得恰有 1 件次品的概率. 解答: 解:所有的选法有 =15 种,而从中任选 2 件,恰有 1 件次品的选法有 故从中任选 2 件,恰有 1 件次品的概率为 故答案为 . ,

?

=8 种,

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题. 6. 分)甲、乙两种水稻试验品种连续 4 年的单位面积平均产量如下: (5 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 9.8 9.9 10.2 10.1 甲 9.7 10 10 10.3 乙 其中产量比较稳定的水稻品种是 甲 . 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: 首先做出两个品种的平均产量, 结果平均数相同, 再分别求出两个品种的产量的方差, 得到甲的方差小于乙的方差,得到结论. 解答: 解:甲的平均数是 =10 乙的平均数是 两个品种的平均数相同, =10,

2

甲的方差是 乙的方差是 =0.045

∴甲的方差小于乙的方差,即甲的产量比较稳定. 故答案为:甲 点评: 本题考查方差和平均数,对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差,以观察 两组数据的性质特点.

7. 分)若双曲线 (5 该双曲线的离心率为

=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于 a,则 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,通过渐近线、离心率等几何元 素,沟通 a,b,c 的关系,即可求出该双曲线的离心率. 解答: 解:∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长, ∴ ∴b=a, ∴e= . 故答案为: . 点评: 本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通 过 a,b,c 的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程. 8. 分) (5 (2013?黄埔区一模)执行如图的程序框图,若 p=15,则输出的 n= 5 .

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 由已知可得循环变量 n 的初值为 1,循环结束时 S≥p,循环步长为 1,由此模拟循环 执行过程,即可得到答案.
3

解答: 解:当 n=1 时,S=2,n=2; 当 n=2 时,S=6,n=3; 当 n=3 时,S=14,n=4; 当 n=4 时,S=30,n=5; 故最后输出的 n 值为 5 故答案为:5 点评: 本题考查的知识点是程序框图,处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行,其中 分析循环过程中各变量在循环中的值是关键.

9. 分) (5 (2008?江苏二模)观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > , 1+ + +…+ >2,1+ + +…+ > > ,…,由此猜测第 n 个不等式为
*

1+ + +…+

(n∈N ) .

考点: 归纳推理. 专题: 规律型;探究型. 分析: 根据所给的五个式子,看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和,观察最后一项的 2 3 4 特点,3=2 ﹣1,7=2 ﹣1,15=2 ﹣1,和右边数字的特点,得到第 n 格不等式的形式. 2 3 4 解答: 解:∵3=2 ﹣1,7=2 ﹣1,15=2 ﹣1, ∴可猜测:1+ + +…+ > (n∈N ) .
*

故答案为:1+ + +…+



点评: 本题考查归纳推理,是由某类事物的部分对象所具有的某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理,它的特点是有个别到一般的推理,本题是一个不完全 归纳.

10. 分)若 (5

,则 a0+a2+a4+a6+a8 的值为 128 .

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 8 分析: 在所给的等式中,令 x=1 可得 2 =a0+a1+a2+a3+…+a8;再令 x=﹣1 可得 0=a0﹣a1+a2 8 ﹣a3+…+a8.两式相加可得 2 =2(a0+a2+a4+a6+a8) , 从而求得 a0+a2+a4+a6+a8 的值. 解答: 8 解:∵ ,令 x=1 可得 2 =a0+a1+a2+a3+…+a8. 再令 x=﹣1 可得 0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8. 8 7 两式相加可得 2 =2(a0+a2+a4+a6+a8) ,∴a0+a2+a4+a6+a8 =2 =128,
4

故答案为 128. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二 项式的 x 赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于中档题. 11. 分)某停车场内有序号为 1,2,3,4,5 的五个车位顺次排成一排,现在 A,B,C, (5 D 四辆车需要停放,若 A,B 两车停放的位置必须相邻,则停放方式种数为 48 . (用数 字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 第一步:先把 AB 两车看成一个整体进行停放,方法共有 2×4=8 种.第二步:从剩余 的 3 个车位中选出 2 个车位,停放 C、D 两个车,方法共有 =6 种.

再根据分步计数原理求得所有的停放车的方法. 解答: 解:第一步:把 AB 两车看成一个整体,有 2 种方法,再选取序号为 12、或 23、或 34、或 45 的停车位,放上、AB 两车,方法共有 2×4=8 种. 第二步:从剩余的 3 个车位中选出 2 个车位,停放 C、D 两个车,方法共有 =6 种.

再根据分步计数原理,所有的停放车的方法共有 8×6=48 种, 故答案为 48. 点评: 本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用, 相邻的问题用捆绑法, 属于中档题. 12. 分)若函数 f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 (e , (5 +∞) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. x x 分析: f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R 等价于 ae ﹣x﹣3>0 的解集是 R,由此能求出 实数 a 的范围. x 解答: 解:∵f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R, ∴ae ﹣x﹣3>0 的解集是 R,即 a>
x x 2

恒成立.

设 g(x)=

,则 g'(x)=

,当 x<﹣2 时 g'(x)>0,当 x>﹣2 时 g'(x)

<0, 故 g(x)在(﹣∞,﹣2)是增函数,在(﹣2,+∞)上是减函数, 2 故当 x=﹣2 时,g(x)取得最大值 g(﹣2)=e , 2 ∴a>e . 2 故答案为: ,+∞) (e . 点评: 本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 13. 分)已知 Rt△ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =2px(p>0)上,且斜边 AB∥y 轴, (5 则斜边上的高等于 2p .
5
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由斜边 AB∥y 轴及抛物线的对称性可知△ ABC 为等腰直角三角形,高 CD 为 AB 一 半,求出点 A 坐标即可. 解答: 解:由题意,斜边平行 y 轴,即垂直对称轴 x 轴, 所以 Rt△ ABC 是等腰直角三角形, 所以斜边上的高 CD 是 AB 的一半, 假设斜边是 x=a,则有 A( , ) , 代入 y =2px 得 a=4p, 所以 CD= =2p, 故答案为:2p. 点评: 本题的考点是抛物线的应用,主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查抛物线的标 准方程等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.
2

14. 分)已知曲线 C:f(x)=x+ (a>0) (5 ,直线 l:y=x,在曲线 C 上有一个动点 P,过 点 P 分别作直线 l 和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B.再过点 P 作曲线 C 的切线,分别与直 线 l 和 y 轴相交于点 M,N,O 是坐标原点.则△ OMN 与△ ABP 的面积之比为 8 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题意易得 B 的坐标,写出垂线的方程联立 y=x 可得 A 坐标,进而可得△ ABP 的面 积,然后可写出切线的方程,进而可得 M、N 的坐标,可表示出△ OMN 的面积,从 而求出△ OMN 与△ ABP 的面积之比. 解答: 解:由题意设点 P(x ,x + ) ,则 B(0,x + ) ,
0 0 0

又与直线 l 垂直的直线向斜率为﹣1,故方程为 y﹣(x0+ 和方程 y=x 联立可得 x=y=x0+ 故△ ABP 的面积 S= |x0||x0+ = |x0|| |= a,解得 a=2, ,故点 A(x0+ ﹣(x0+ )|

)=﹣(x﹣x0) ) ,

,x0+

又因为 f(x)=x+ ,所以 f′(x)=1﹣

,故切线率为 k=1﹣



故切线的方程为 y﹣(x0+

)=(1﹣

) (x﹣x0) ,

6

令 x=0,可得 y=

,故点 N(0,

) ,

联立方程 y=x 可解得 x=y=2x0,即点 M(2x0,2x0) , 故△ OMN 的面积为 ?| ||2x0|=2a,

则△ OMN 与△ ABP 的面积之比为 8. 故答案为:8. 点评: 本题考查利用导数研究曲线的切线方程,涉及三角形的面积和方程组的求解,属中档 题. 二、解答题:本大题共 8 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1B1,CD 的中点. (1)求直线 EC 与 AF 所成角的余弦值; (2)求二面角 E﹣AF﹣B 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)通过建立空间直角坐标系,得到 与 的坐标,利用它们的夹角公式即可得到 异面直线 EC 与 AF 所成角的余弦值; (2) 利用线面垂直的性质求出平面 ABCD 与平面 AEF 的一个法向量, 利用法向量的 夹角即可得到二面角的余弦值. 解答: (1)建立空间直角坐标系. 解: 则 A(2,0,0) ,F(0,1,0) ,C(0,2,0) ,E(2,1,2) , ∴ , .





故直线 EC 与 AF 所成角的余弦值为 (2)平面 ABCD 的一个法向量为 设平面 AEF 的一个法向量为

. . ,

7





,∴



令 x=1,则 y=2,z=﹣1







由图知二面角 E﹣AF﹣B 为锐二面角,其余弦值为



点评: 熟练掌握通过建立空间直角坐标系、 利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得到异 面直线 EC 与 AF 所成角的余弦值、利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的余弦 值的方法是解题的关键.

16. (14 分)由于生产条件的影响,生产某种产品正品的概率为 ,次品的概率分别为 .已 知生产 1 件正品获得的利润为 6 万元,而生产 1 件次品则亏损 2 万元. (1)求生产 3 件产品恰有 2 件正品的概率; (2)设 2 件产品的利润和(单位:万元)为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与 方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)设 X 为生产 3 件产品中正品的个数,则 X 服从二项分布(3, ) ,由此可求生 产 3 件产品恰有 2 件正品的概率; (2)确定 ξ 的取值,求出相应的概率,即可求 ξ 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)设 X 为生产 3 件产品中正品的个数,则 X 服从二项分布(3, ) , 所以 P(X=2)= = ;…(6 分) ,P(X=4)= ,P(X=﹣4)= ,

(2)ξ 的取值有 12、4、﹣4,则 P(X=12)= ξ 的分布列为
8

ξ P

12

4

﹣4

E(ξ)=12×

+4×

﹣4×

=10(万元) .…(14 分)

点评: 本题考查概率知识,考查离散型随机变量的分布列与期望,正确求概率是关键.
*

17. (14 分)已知

,n∈N .
2

(1)若 g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x) ,求 g(x)中含 x 项的系数; (2)若 pn 是 fn(x)展开式中所有无理项的系数和,数列{an}是各项都大于 1 的数组成的 数列,试用数学归纳法证明:pn(a1a2…an+1)≥(1+a1) (1+a2)…(1+an) . 考点: 数学归纳法;二项式定理的应用. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 2 分析: (1)确定函数 g(x) ,利用二项式定理可得 g(x)中含 x 项的系数; (2)确定 pn 的表达式,根据数学归纳法的步骤,先证 n=1 时成立,再设 n=k 时成立, 利用归纳假设证明 n=k+时成立即可. 解答: (1) g 解: (x) 4 x) 5 x) 6 x) =f( +2f( +3f( = +2 +3 , ∴g(x)中含 x 项的系数为
n﹣1 2

=1+10+45=56. 分) (3

(2)证明:由题意,pn=2 . 分) (5 ①当 n=1 时,p1(a1+1)=a1+1,成立; ②假设当 n=k 时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1) (1+a2)…(1+ak)成立, k﹣1 当 n=k+1 时, (1+a1) (1+a2)…(1+ak) (1+ak+1)≤2 (a1a2…ak+1) (1+ak+1) k﹣1 =2 (a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1)(*) . ∵ak>1,a1a2…ak(ak+1﹣1)≥ak+1﹣1,即 a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1, k 代入(*)式得(1+a1) (1+a2)…(1+ak) (1+ak+1)≤2 (a1a2…akak+1+1)成立. * 综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1) (1+a2)…(1+an)对任意 n∈N 成立. (10 分) 点评: 本题考查二项式定理,考查数学归纳法的运用,掌握数学归纳法的证题步骤是关键. 18. 分) (16 为改善行人过马路难的问题, 市政府决定在如图所示的矩形区域 ABCD (AB=60 米, AD=104 米) 内修建一座过街天桥, 天桥的高 GM 与 HN 均为 米, ,

AE,EG,HF,FC 的造价均为每米 1 万元,GH 的造价为每米 2 万元,设 MN 与 AB 所成 的角为 α(α∈[0, ]) ,天桥的总造价(由 AE,EG,GH,HF,FC 五段构成,GM 与 HN

忽略不计)为 W 万元. (1)试用 α 表示 GH 的长; (2)求 W 关于 α 的函数关系式; (3)求 W 的最小值及相应的角 α.

9

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先确定 MP 的值,再在 Rt△ NMT 中,即可用 α 表示 GH 的长; (2)利用 AE,EG,HF,FC 的造价均为每米 1 万元,GH 的造价为每米 2 万元,即 可求出 W 关于 α 的函数关系式; (3)求导函数,确定函数的单调性,即可求出 W 的最小值及相应的角 α. 解答: 解:1) ( 由题意可知∠MNP=α, 故有 MP=60tanα, 所以在 Rt△ NMT 中, … (6 分) (2) = = (3)设 .…(11 分) (其中 ,





令 f'(α)=0 得 1﹣2sinα=0,即 列表 α f'(α) f(α) 所以当 + 单调递增 时有 . 答:排管的最小费用为

,得



0 极大值

﹣ 单调递减

,此时有

万元,相应的角

.…(16 分)

点评: 本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生的计算 能力,属于中档题.

10

19. (16 分)已知椭圆 E:

=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为

,离

心率为

,左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线

F2Q 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)点 P 的纵坐标为 3,过 P 作动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M、N,在线段 MN 上取 点 H,满足 ,试证明点 H 恒在一定直线上.

考 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 析: (1)由题意可得 ,解出即可;

(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 PF2⊥F2Q,可得

,设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) ,由

,利用斜率计算公式可得 kPQ?kOQ 及

代入化简得直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值. (3)设过 P(3,3)的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,点 H (x,y) ,由点 M,N 在椭圆上可得 设 ,则 , .

,可得(3﹣x1,3﹣y1)=﹣λ(x2﹣3,y2

﹣3)(x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y) , ,即可证明 6x+9y 为定值.

11

解 答: 解: (1)由题意可得 ,解得 ,c=1,

所以椭圆 E:



(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) , 因为 PF2⊥F2Q,所以 所以﹣y1y0=2(x1﹣1) 又因为 且





代入化简得

. 即直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .

(3)设过 P(3,3)的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,点 H (x,y) , 则 设 , ,则 . ,

∴(3﹣x1,3﹣y1)=﹣λ(x2﹣3,y2﹣3)(x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y) , 整理得 , ,

∴从而 由于 ,

, ,∴我们知道 与 的系数之比为 2:3, 与

的系数之比为 2:3. ∴ ,

所以点 H 恒在直线 2x+3y﹣2=0 上. 点 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 评: 根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了分析问题

12

和解决问题的能力、推理能力和计算能力.

20. 已知椭圆 E:

=1 (a>b>0) 上任意一点到两焦点距离之和为

, 离心率为



左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 交椭圆 于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线 PQ 与椭圆 E 只有一个公共点. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意可得 ,解出即可;

(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 PF2⊥F2Q,可得

,设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) ,由

,利用斜率计算公式可得 kPQ?kOQ 及

代入化简得直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值.

(3) (2) 直线 PQ 的方程为 由 知,

, 即



与椭圆的方程联立,消去一个未知数得到关于 x 的一元二次方程,只要证明△ =0 即 可. 解答: 解:(1)由题意可得 : ,解得 ,c=1,

所以椭圆 E:



(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) , 因为 PF2⊥F2Q,所以





13

所以﹣y1y0=2(x1﹣1) 又因为 且 代入化简得

. 即直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .

(3)由(2)知,









∴直线 PQ 的方程为

,即



联立





∵ ∴化简得:



. ,又△ =0,

解得 x=x1,所以直线 PQ 与椭圆 C 相切,只有一个交点. 点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题 的能力、推理能力和计算能力.

21. (16 分)设函数 f(x)=alnx,



(1)记 h(x)=f(x)﹣g(x) ,若 a=4,求 h(x)的单调递增区间; (2)记 g'(x)为 g(x)的导函数,若不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)在 x∈[1, e]上有解,求实数 a 的取值范围; (3)若在[1,e]上存在一点 x0,使得 成立,求 a 的取值范围. 考 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;利用导数研究函数的单调性. 点: 专 计算题;导数的综合应用.

14

题: 分 (1)当 a=4 时,可得 ,利用导数公式算出 ,再 析: 解关于 x 的不等式并结合函数 h(x)的定义域,即可得到函数 h(x)的单调递增区间; (2)通过移项合并同类项,化简不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)得 ,再进行变量分离得 论其单调性得到 (3)原不等式等价于 ,由此设 并讨

,结合原不等式有解即可算出实数 a 的取值范围; ,整理得 ,设右边

对应的函数为 m(x) ,求得它的导数 m'(x)=

,然后分 a≤0、0

<a≤e﹣1 和 a>e﹣1 三种情况加以讨论,分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值,最后综 上所述可得实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪( 解 解: (1)当 a=4 时,可得 f(x)=4lnx,此时 答: 由 ,+∞) .



得﹣2<x<2,结合 x>0,可得 0<x<2.

所以 h(x)的单调递增区间为(0,2) .…(4 分) (2)不等式 f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x) ,即为 化简得: , ,

由 x∈[1,e]知 x﹣lnx>0,因而 由

,设



=

, ∵当 x∈(1,e)时 x﹣1>0, 由不等式有解,可得知 ,∴y′>0 在 x∈[1,e]时成立. ,即实数 a 的取值范围是[﹣ ,+∞)…(10 分)

15

(3)不等式

等价于

, 整理得 ,设 ,

则由题意可知只需在[1,e]上存在一点 x0,使得 m(x0)<0. 对 m(x)求导数,得 , 因为 x>0,所以 x+1>0,令 x﹣1﹣a=0,得 x=1+a.…(12 分) ①若 1+a≤1,即 a≤0 时,令 m(1)=2+a<0,解得 a<﹣2. ②若 1<1+a≤e,即 0<a≤e﹣1 时,m(x)在 1+a 处取得最小值, 令 m(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,即 1+a+1<aln(1+a) ,可得 考察式子 成立 ③当 1+a>e, a>e﹣1 时, (x) 即 m 在[1, e]上单调递减, 只需 m (e) <0, 得 , ,因为 1<t≤e,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能

又因为

,所以



综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(

,+∞) .…(16 分)

点 本题给出含有分式和对数符号的函数, 求函数的单调区间并讨论关于 x 的不等式解集非 评:空的问题, 着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最 大最小值问题中的应用等知识,属于中档题.
2

22.设函数 f(x)=alnx,g(x)= x . (1)记 h(x)=f(x)﹣g(x) ,若 a=4,求 h(x)的单调递增区间; (2)记 g'(x)为 g(x)的导函数,若不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)在 x∈[1, e]上有解,求实数 a 的取值范围; (3)若 a=1,对任意的 x1>x2>0,不等式 m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒 成立.求 m(m∈Z,m≤1)的值. 考 利用导数研究函数的单调性;函数的零点;导数在最大值、最小值问题中的应用. 点: 专 计算题;导数的综合应用.

16

题: 分 (1)当 a=4 时,可得 ,利用导数公式算出 ,再 析: 解关于 x 的不等式并结合函数 h(x)的定义域,即可得到函数 h(x)的单调递增区间; (2)通过移项合并同类项,化简不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)得 ,再进行变量分离得 论其单调性得到 ,由此设 并讨

,结合原不等式有解即可算出实数 a 的取值范围;

(3)当 a=1 时原不等式恒成立,即 mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2)﹣x2f(x2)恒成 立,因此设 (x)≥0 恒成立,解出 ,结合题意当 x∈(0,+∞)时 t(x)为增函数,得 t′ 恒成立.再研究不等式右边对应函数 h(x)的单调性

得到 h(x)max=1,从而得到 m≥1,结合已知条件可得 m=1. 解 解: (1)当 a=4 时,可得 f(x)=4lnx,此时 答: 由 ,

得﹣2<x<2,结合 x>0,可得 0<x<2.

所以 h(x)的单调递增区间为(0,2) .…(4 分) (2)不等式 f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x) ,即为 化简得: , ,

由 x∈[1,e]知 x﹣lnx>0,因而 由

,设



=

, ∵当 x∈(1,e)时 x﹣1>0, 由不等式有解,可得知 ,∴y′>0 在 x∈[1,e]时成立. ,即实数 a 的取值范围是[﹣ ,+∞)…(10 分)

(3)当 a=1,f(x)=lnx. 由 m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立,得 mg(x1)﹣x1f(x1)>mg (x2)﹣x2f(x2)恒成立, 设 .

17

由题意知 x1>x2>0,故当 x∈(0,+∞)时函数 t(x)单调递增, ∴t′(x)=mx﹣lnx﹣1≥0 恒成立,即 恒成立,

因此,记

,得



∵函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴函数 h(x)在 x=1 时取得极大值,并且这个极大值就是函数 h(x)的最大值. 由此可得 h(x)max=h(1)=1,故 m≥1,结合已知条件 m∈Z,m≤1,可得 m=1.…(16 分) 点 本题给出含有分式和对数符号的函数, 求函数的单调区间并讨论关于 x 的不等式解集非 评:空的问题, 着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最 大最小值问题中的应用等知识,属于中档题.

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