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广东省高州四中2014届高三12月考数学(理)试题 Word版含答案


2013-2014 学年度高三级质量监测 12 月份 理数 试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) . 1.已知集合 A ? ? x | 0 ? x ? 1? , B ? ? x | x ? 1 ? ,则 A ? B ? (
? ? ? 2?

) D. ? x | x ? 0?

A. ?

x | 0 ? x ? 1?

B. ? x | x ? 1?
2 z

C. ? x | x ? 1 ?
? ? ? 2?

2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z ? (



A. 2 B. 2 ? i C. 2 ? 2i D. 2 ? i 3. 对于空间的两条直线 m、n 和一个平面 ? ,下列命题中的真命题是 ( ) A、若 m//a ,n//a ,则 m//n B、若 m//a ,n//a ,则 m//n CD

?x ? y ? 3 4. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? ?2 x ? y ? 3 ?

? 2 x ? 3 y 的最小值为(
D. 23



A. 6

B. 7

C. 8

5. 定义两种运算: a ? b ? ( )函数. A.偶函数
? ?

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 ,则 f ? x ? ?

2? x 是 2 ? ? x ? 2?

B.奇函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数
? ?

6.设向量 a 与 b 的模分别为 6 和 5,夹角为 120°,则 | a ? b | 等于 A.
2 3

B. ?

2 3

C. 91

D. 31

7. 已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径为 2, 则该几何体的体积为( )
?
2
2

A. 24 ?

?
3

B. 24 ?
2

C. 24 ? ?

3 2

D. 24 ? ?

8.若函数 f ( x) ? (1 ? x )( x ? ax ? 5) 的图像关于直线 x ? 0 对称,则 f ( x) 的最大值是 A. ?4 B. 4 C. 4 或 ?4 D.不存在

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 给出如下四个命题:①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 x?2 且 y ?3 ,则 x? y ?5 ”的否命题为“若 x?2 且 y ?3 ,则

x ? y ? 5 ”;
③在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ? ④命题 “ ?x0 ? R, e 10. 计算
x0

2 ”的充要条件。 2

? 0 ”是真命题.

其中正确的命题的个数是

=

. [来源:
4 2

错误! 未指定书签。 已知曲线 y ? x ? ax ? 1 在点 ? ?1,a ? 2 ? 处切线的斜率为 8,则 a= 1. 12. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是
2

________. 13. 有一个奇数列 1, 3, 5, 7, 9,?,现在进行如下分组:第一组含一个数 ?1? ,第二组 含两个数 ?3,5? ,第三组含三个数 ?7,9,11? ,第四组含四个数 ?13,15,17,19? ,?,现观察 猜想每组内各数之和为 an 与其组的编号数 n 的关系为
a b

.

14.已知点(a,b)不在直线 x+y-2=0 的下方,则 2 +2 的最小值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程) 15.(12 分)已知函数 f ( x) ? 小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ? 3 , f (C ) ? 0 且 sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值. 16、(13 分)已知等比数列{ (I) 求 (II) 若 }单调递增, 求 n 的最小值。
A

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . (Ⅰ)求函数 2 2

f ( x) 的最小值和最

17.(13 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, ?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3 , BC ? CD ? 6 ,设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . (Ⅰ)求证: CE ? BD ; (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA ,试求二面角 C ? EG ? D 的余弦值.

G

E

D

B

C

18.( 14分)已知 P( x, y ) 为函数 y ? 1 ? ln x 图像上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率

k ? f ( x) .
(1) 若函数 f ( x) 在区间 ? m, m ? 1 ? (m ? 0) 上存在极值,求实数 m 的取值范围;
? ? ? 3?

(2) 当 x ? 1时,不等式 f ( x) ?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围. x ?1

19.(14 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n 是

1 2 与 ( an ? 1) 的等比中项. 4

(1)求证:数列 {an } 是等差数列; (2)若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn ?1 ? 3 ,求数列 {bn } 的 通项公式; (3)在(Ⅱ)的条件下,若 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ? 3
2

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? a ln x (a ? 0) . (1)若直线 l 交 f ( x) 的图像 C 于 A, B 两点,与 l 平行的另一条直线 l1 切图像于 M , 求证: A, M , B 三点的横坐标成等差数列; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证:

ln 24 ln 34 ln n 4 2 ? 4 ? ??? ? 4 ? (其中 e 为无理数,约为 2.71828). 24 3 n e

2013-2014 学年度高三级质量监测 12 月份 理数 答题卷
请勿答题,姓名考号不得在装订线外填写??????????????????????

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) . 题 答 1 2 3 4 5 6 7 8

座号:

号 案

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9. 12. 10. 13. km11. 14.

姓名:

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程) 15. (12 分)

班别:

试室的座 位号 16(13 分)

得分

17. (13 分)

18.(14 分)

19.(14 分)

20. (14 分)

… … … … … … … 密 … … … … … … 封 … … … … … … 线 … … … … … … 内 … … …

2013-2014 学年度高三级质量监测 12 月份理数答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) .
1—5: D C D B A 6—8:A C B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9. 0 ; 10. e ;km11. -6 ;
2

12.(—∞,-2) ;

13. an ? n ;
3

14. 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程) 15. (12 分)解(Ⅰ) f ( x ) ? 分 则 f ( x ) 的最小值是 ?2 , 最小正周期是 T ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,????3 2 2 2 6
2? ? ? ;????6 分 2

(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,????7 分

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?
所以 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

?

3 6 2 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a ,??①????10 分
由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 分 由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .????12 分 16(本题 13 分)

?

?

,C ?

?

11? , 6

,???? 9 分

?

3

,即 c ? a ? b ? ab ? 3 ??②????11
2 2 2

17. (本小题满分 13 分)证明: (Ⅰ)方法一:由 平面 ,得 又 ,则 平面 , 故 ,???????????????? 3 分 同理可得 ,则 为矩形, 又 ,则 为正方形,故 .??????? 6 分 方法二:由已知可得 ,则 平面 ,设 ,故平面 . ,过 为 的中点,则



A

平面

,则顶
G

点 在底面 上的射影 必在 ,故 (Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知 平面



,垂

E

D

B

C

足为 ,则易证得 角,?????????? 9 分 由已知可得 又 故 ,则 , 则

,故

即为二面角

的平面

, 故

, 则



,?????????????? 11 分 ,即二面角 的余弦值为 ?13 分

方法二: 由(I)的证明过程知 则 E (0,0,0) , F (0,6,0)

为正方形,如图建立坐标系,

A(0,0,6) , B(6,0,0) C (6,6,0) , 可 得

G(2, 2, 4) ,???????9 分
uuu r uuu r ED ? (0, 6, 0) , EG ? (2, 2, 4) ,易知平面 则 uuu r BD ? (?6, 6, 0) ,设平 的一个法向量为



的 一 个 法 向 量 为 ?????????11 分

n ? ? x, y,1?

, 则 由

uuu r ? n ? ED ? 0 ? r ? uuu ?n ? EG ? 0 ?



n ? ? ?2, 0,1?



uuu r uuu r BD ? n 10 cos ? BD, n ?? uuu ? r 5 BD ? n

,即二面角

10 的余弦值为 5 .?? 13 分

18.(本题满分 14 分)解: (1)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ? ?

1 ? ln x , x ? 0 ?????2 分 x

1 ? ln x ?? ln x ??????4 分 ? ?? 2 x ? x ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ??????5 分

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , . ?????7 分 1 3 ?3 ? ?m ? 3 ? 1 ? t ? x ? 1??1 ? ln x ? ,?????8 分 (2)由 f ? x ? ? 得t ? x ?1 x x ? ln x x ? 1??1 ? ln x ? ? 令 g ? x? ? ,则 g ? ? x ? ? .?????10 分 x2 x

1 x ?1 = ,????????11 分 x x +? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增.
令 h ? x ? ? x ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ? 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0 ????????12 分

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2 +?
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2 ? . 19.(14 分)解: (Ⅰ) ( Sn )2 ? 当 n ? 1 时, a1 ? ????????????????14 分

1 1 (an ? 1)2 即 Sn ? (an ? 1)2 ------1 分 4 4

1 (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 ------2 分 4 1 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? (an ?1 ? 1) 2 4 1 2 2 ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) ------3 分 4
即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ------4 分 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ?1 ? 2

∴数列 {an } 是等差数列------5 分 (Ⅱ)由 bn ? 2bn ?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn ?1 ? 3) ------7 分 ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2 ∴ bn ? 2 (Ⅲ) cn ?
n ?1 n ?1

? (a1 ? 3)2n?1 ? 2n?1
------9 分

?3

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

------10 分

1 3 5 2n ? 1 ① ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 ------14 分 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ?

20. (14 分)解: (Ⅰ)设切点 M 的横坐标为 x0 , A, B 点的横坐标分别为 x1 , x2 ; 因为 f
'

? x ? ? 4 x ,所以 kl ? kl

1

? 4 x0 ;令 AB 方程为 y ? 4 x0 x ? b

? y ? 2 x2 2 2 消去 y 得 2 x ? 4 x0 x ? b ? 0 ,当 ? ? 16 x0 ? 8b ? 0 时 ? ? y ? 4 x0 x ? b

x1 ? x2 ? 2 x0 ,所以 A, M , B 三点的横坐标成等差数列. ?????4 分 a 2 (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? a ln x , F ' ( x) ? 4 x ? , x ? ? a ? 2? a , ?? ? , 令 F '( x) ? 0 ,得 x ? ,所以 f ? x ? 的减区间为 ? 0, ? ,增区间为 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?

a a a a ? a ln ? 0 即可, ,只要 ? a ln 2 2 2 2 得 a ? 4e 且 a ? 0 ,即 a ? ? 0, 4e ? . ?????10 分
F ? x ?极小值 = F ( x) min ?
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得 2 x ? 4e ln x ,即
2

4 ln x 2 ? 2 ,所以 4 x ex 4 4 4 ln 2 ln 3 ln n 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ? 4 ??? 4 ? ( 2 ? 2 ??? 2 ) ? ( ? ??? )? 4 e 2 e 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) e 2 3 n 3 n
?????14 分


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