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华南师大附中2011高考一模数学(文科)


华南师大附中 2010—2011 学年度高三综合测试(一)

数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},B={2,5},则 A∩( CU B )=

( A.{2} 2.已知曲线 y= A.4
? 3 2 ,Q



B.{2,3}

C.{3}

D.{1,3} ( D.
1 2

1 2 1 x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 8 2



B.3

C.2

3.已知 P ? 2

2 1 ? ( ) 3 , R ? ( ) 3 , 则P,Q,R的大小关系是 5 2
B. Q ? R ? P C. Q ? P ? R D. R ? Q ? P





A. P ? Q ? R

? f ( x ? 2), x ? 2 ? 4.已知函数 f ( x) ? ?? 1 ? x ,则 f (?3) 的值为 ?? ? , x ? 2 ?? 2 ?
A.2 B.8 C.





1 8

D.

1 2
( )

?x ? 2 ? 0 ? , 则z ? x ? y 的取值范围为 5.已知 x、y 满足约束条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. B. 6.以下有关命题的说法错误的是 C. D.





2 A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”

B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0 7.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ?

?
3

对称的是





?
6

)

B. y ? sin(2 x ?

?
6

)

C. y ? sin( ?

x ? ) 2 3

D. y ? sin( ?

x ? ) 2 6
( )

8.若函数 y ? f ( x) 的导函数图象如图所示,则下列判断正确的是 A.函数 f ( x) 在区间 (?3, ? 1 ) 上单调递增 2 B.函数 f ( x) 在区间 ( ? 1 , 3) 上单调递减 2 C.函数 f ( x) 在区间 (4,5) 上单调递增 D.当 x ? 3 时, f ( x) 有极小值 9.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移
2

y
-3 -2 -1 ? 1 0 1 2 3 4

y=f’ (x)

5

x

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象





? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
10.函数 y ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2
2 x ?1

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移 ( B. y ? e
2 x ?1



A. y ? e C. y ? e

? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)

? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)

2 x ?1

D. y ? e

2 x ?1

第Ⅱ卷(非选择题
1 2

共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 , f (m) ? 6 ,则 m =*******. 12.已知函数 y ?

1 ? sin x ,则该函数的值域是 ***** . 3 ? cos x

13.函数 y ? kx 2 ? 6kx ? 9 的定义域为 R ,则 k 的取值范围是*******. 14.函数 y ? log a ( x ? 3) ?1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

*****

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | x ? 6 x ? 8 ? 0}, B ? {x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0}.
2

(1)若 A ? B, 求a 的取值范围;

(2)若 A ? B ? {x | 3 ? x ? 4}, 求a 的值.

16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2b cos2 x, 且f (0) ? 8, f ( ) ? 12. 6 2 , (1)求实数 a,b 的值; 4 (2)求函数 f(x)的最小正周期及其最大值. , 6

?

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)为 R 上的奇函数,且在上为增函数, (1)求证:函数 f (x)在(??,0)上也是增函数; 1 (2)如果 f (2 )=1,解不等式?1<f (2x+1)≤0.

18. (本小题满分 14 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x), 当 年产量 不足 80 千件时,C ( x) ?
1 2 10000 x ? 10 x(万元) 当年产量不小于 80 千件时,C ( x) ? 51x ? ? 1450(万 ; 3 x

元) .通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂当年生产该产品能全部销售完. .. (1)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少?

19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f (x)=ax2+bx (a,b 为常数,且 a ≠ 0),满足条件 f (1+x)=f (1?x),且方程 f (x)=x 有等根。 (1)求 f (x)的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为和,如果存在,求出 m、n 的值,如 果不存在,说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R .
4 3 2

(1)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ? x ? ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

(华南师大附中)参考答案
一、选择题: D、C、B、C、C、C、B、C、B、D 二、填空题 11. ?

1 4

12. ?0, ? 4

? 3? ? ?

13. ?0,1?

14.8

三、解答题 15.解: (1)? A ? {x | x ? 6 x ? 8 ? 0},? A ? {x | 2 ? x ? 4}
2

当 a ? 0 时,B 为空集,不合题意 当 a ? 0 时, B ? {x | a ? x ? 3a} ,应满足 ?

?a ? 2 4 ? ? a ? 2. 3 ?3a ? 4

当 a ? 0 时, B ? {x | 3a ? x ? a} ,应满足 ?

?3a ? 2 ? a ?? ?a ? 4

4 ? A ? B 时, ? a ? 2. 3
(2)要满足 A ? B ? {x | 3, x ? 4} ,显然 a ? 0 且 a ? 3 时成立,

? 此时 B ? {x | 3 ? x ? 9} ,而 A ? B ? {x | 3 ? x ? 4} ,故所求 a 的值为 3。
16.解: (1)由 f (0) ? 8, f ( ) ? 12 ,可得

?

6

? 3 3 f (0) ? 2b ? 8, f ( ) ? a ? b ? 12 6 2 2

所以 b ? 4, a ? 4 3 . (2) f ( x) ? 4 3 sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 4 ? 8 sin(2 x ?

?
6

) ? 4,

T?

2? 2? ? ? ? ,所以,最小正周期为 ? |? | 2

f ( x) max ? 12 ,当 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
6

, k ? z 时等号成立。

17.解: (1)令 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0

?函数 f(x)上为增函数? f ?? x1 ? ? f ?? x2 ?
又? 函数 f(x)为奇函数

? ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在(0, ?)上单调递增 ?
(2)? f (?0) ? f (0)

? f (0) ? 0

1 1 1 ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?1 ? f (? ) ? f (2 x ? 1) ? f (0) 2 2 2 3 1 ? f (x)在R上单调递增 ? ? ? x ? ? 4 2
? 1 2 (0 ? x ? 80, x ? N * ) ?? 3 x ? 40 x ? 250 ? 18.解(Ⅰ)? L( x) ? ? ) ?1200 ? ( x ? 10000 ), ( x ? 80, x ? N * ) ? x ?
(Ⅱ)当 0 ? x ? 80, x ? N 时, L( x) ? ? ( x ? 60) ? 950
* 2

1 3

∴当 x ? 60时, L( x)取得最大值L(60) ? 950 当 x ? 80, x ? N 时? L( x) ? 120 ? ( x ?
*

10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x

∴当且仅当 x ?

10000 ,即x ? 100时, L( x)取得最大值L(100 ) ? 1000 ? 950 . x

综上所述,当 x ? 100时L( x)取得 最大值 1000,即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中 所获利润最大 19.解: (1)∵f(x)满足 f(1+x)=f(1?x),∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称。 b b 而二次函数 f(x)的对称轴为 x=? ,∴? =1. 2a 2a ① ②

又 f(x)=x 有等根,即 ax2+(b?1)x=0 有等根,∴△=(b?1)2=0.

1 1 1 1 1 1 由①,②得 b=1,a=? .∴f(x)=? x2+x.(2)∵f(x)=? x2+x=? (x?1)2+ ≤ . 2 2 2 2 2 2 1 1 如果存在满足要求的 m,n,则必需 3n≤ ,∴n≤ . 2 6 1 从而 m<n≤ <1,而 x≤1,f(x)单调递增, 6

1 2 ? ? f (m) ? ? 2 m ? m ? 3m ? ∴? ,可解得 m=?4,n=0 满足要求。 1 2 ? f (n) ? ? n ? n ? 3n ? 2 ?
∴存在 m=?4,n=0 满足要求。 20 解: (I) f ?( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) .
3 2 2

10 2 时, f ?( x) ? x(4 x ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, 0)
- ↘

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 ( , 2) 2
- ↘

2 0 极小值

(2, ??)
+ ↗

所以 f ( x) 在 (0, ) , (2, ??) 内是增函数,在 (??, 0) , ( , 2) 内是减函数.
2 2 (II) f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

1 2

1 2

为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ? 0 .
2 2

8 8 ? a ? .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 3 3 8 8 因此满足条件的 a 的取值范围是 [ ? , ] . 3 3
解此不等式,得 ? (III)由条件 a ? [?2, 2] 及(II)可知, ? ? 9a ? 64 ? 0 .
2

从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
2

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

因此函数 f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 为使对任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,当且仅当 ?

? f (1) ? 1 , ? f ( ?1) ? 1

即?

?b ? ? 2 ? a ,在 a ? [?2, 2] 上恒成立.所以 b ? ?4 . ?b ? ? 2 ? a

因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4] .


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