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宁夏银川市育才中学孔德校区2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(文科)


2015-2016 学年宁夏银川市育才中学孔德校区高二(上)12 月月 考数学试卷(文科)
一、选择题:在每题给出的四个选项中只有一项是正确的(每题 5 分,共 60 分) 1.命题 p:“存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”,则命题 p 的否定是( x0 A.存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) <1 x0 B.存在 x0∈[1,+∞) ,

使得(log23) ≥1 x C.任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) <1 x D.任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) ≥1
x0



2.若焦点在 x 轴上的椭圆 A. B. C. D.

的离心率为 ,则 m=(



3.双曲线 A. B.
2 2

的焦距为( C. D.



4.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. B. C.2 D.4



5.k>5 是方程

+

=1 的曲线为椭圆的(



A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在下列结论中,正确的结论是( ) ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ④“≦p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 7.已知双曲线的渐近线方程为 y=± 程为( ) x,焦点坐标为(﹣ ,0) , ( ,0) ,则双曲线方

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

8.如图,F1,F2 是双曲线 C1:x ﹣

2

=1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象 )

限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

9.已知椭圆的两个焦点为 F1(﹣ ,0) ,F2( |PF1|?|PF2|=2,则该椭圆的方程是( ) A. +y =1
2

,0) ,P 是此椭圆上的一点,且 PF1⊥PF2,

B.

+y =1

2

C.x +

2

=1 D.x +

2

=1

10.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的

2 倍,则其渐近线方程为( ) A.2x±y=0 B.x±2y=0 C.4x±3y=0 D.3x±4y=0 11.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件,则 实数 a 的取值范围是( ) A.[0, ] B. (0, ) C. (﹣∞,0]∪[ ,+∞) D. (﹣∞,0)∪( ,+∞)
2

12.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使得 PF1⊥PF2,则椭圆离心率的 取值范围是( ) A.[ ,1)B.[ ,1) C. (0, ] D. (0, ]

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.双曲线



=1 的左支上一点 P,该双曲线的一条渐近线方程 3x+4y=0,F1,F2 分别 .

双曲线的左右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=

14.以椭圆

=1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为



15.命题:“存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是

2



16. 设 F1、 F2 是椭圆 E:

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, P 为直线 x= .

上一点, △ F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 17.求双曲线 25x ﹣y =﹣25 的实轴长,虚轴长、焦点和顶点坐标及离心率,渐近线方程. 18.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)求与椭圆 (2)过 P(3, + =1 有公共焦点,且离心率 e= ,5)两点. 的双曲线的方程;

)和 Q(﹣
2

19.已知 p:|x﹣4|≤6,q:x +3x≥0,若命题“p 且 q”和“≦p”都为假,求 x 的取值范围. 20.已知点 E(﹣ ,0) ,点 F 是圆(x﹣ ) +y =4 上的动点,线段 EF 的垂直平分线交 FM 于点 P,求动点 P 的轨迹方程.
2 2

21. 已知直线 y=﹣x+1 与椭圆 焦距为 2. (1)求椭圆方程; (2)求线段 AB 的长.

+

=1 (a>b>0) 相交于 A, B 两点, 若椭圆离心率为



22.如图,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) , 证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

2015-2016 学年宁夏银川市育才中学孔德校区高二(上) 12 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:在每题给出的四个选项中只有一项是正确的(每题 5 分,共 60 分) x0 1.命题 p:“存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”,则命题 p 的否定是( ) x0 A.存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) <1 x0 B.存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1 x C.任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) <1 x D.任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) ≥1 【考点】特称命题;命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题,写出命题 p 的否定即可. 【解答】解:∵命题 p:“存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”, x0 ∴命题 p 的否定是:“¬p:任意 x0∈[1,+∞) ,都有(log23) <1”. 故选:C. 【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题,是基础题目.
x0

2.若焦点在 x 轴上的椭圆 A. B. C. D.

的离心率为 ,则 m=(



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】 先根据椭圆的标准方程求得 a, b, c, 再结合椭圆的离心率公式列出关于 m 的方程, 解之即得答案. 【解答】解:由题意,则 , 化简后得 m=1.5, 故选 A 【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用,注意根据椭圆的标准方程求得 a,b,c,进 而根据题意、结合有关性质,化简、转化、计算,最后得到结论.

3.双曲线

的焦距为(



A. B. C. D. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由双曲线 距. 【解答】解:由双曲线 ∴c= ,

,易知 c =3+2=5,求出 c,即可求出双曲线

2

的焦

,易知 c =3+2=5,

2

∴双曲线 故选:C.

的焦距为 2



【点评】本题考查双曲线的标准方程,双曲线标准方程中的参数 a,b,c 的关系:c =a +b , 双曲线焦距的概念. 4.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. B. C.2 D.4
2 2

2

2

2



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;待定系数法. 【分析】根据题意,求出长半轴和短半轴的长度,利用长轴长是短轴长的两倍,解方程求出 m 的值. 【解答】解:椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴ 故选 A. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,用待定系数法求参数 m 的值.
2 2



5.k>5 是方程

+

=1 的曲线为椭圆的(



A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】椭圆的标准方程;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题. 【分析】由题意方程 + =1 的曲线为椭圆可得 k﹣5>0,6﹣k>0,解得 5<k<6,

再看它与 k>5 的关系即可. 【解答】解:由题意可得方程 + =1 的曲线为椭圆,

可得 k﹣5>0,6﹣k>0,解得 5<k<6, ∴k>5 是方程 + =1 的曲线为椭圆的必要条件

故选 B. 【点评】本题考查椭圆的标准方程的特征,根据题意得到 k﹣5>0,6﹣k>0,是解题的关 键. 6.在下列结论中,正确的结论是( ) ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ④“≦p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 【分析】先判断命题的正误,可知①③是正确的,②④是假命题,然后再根据?p,必要 条件、充分条件和充要条件的定义进行判断. 【解答】解:①③是正确的,②④是假命题, 其中②中,“p∧q”为假是“p∨q”为真的既不充分也不必要条件, ④“≦p”为真,“p”为假, ∴“≦p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件. 【点评】此题主要考查?p、必要条件、充分条件和充要条件的定义,是一道基础题. 7.已知双曲线的渐近线方程为 y=± 程为( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 x,焦点坐标为(﹣ ,0) , ( ,0) ,则双曲线方

C.



=1

D.



=1

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线的方程是 ,即 .又焦点坐标为(﹣ ,0) ,

( ,0) ,故 λ+2λ=6,由此可知 λ=2,代入可得答案. 【解答】解:∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, ∴设双曲线的方程是 又焦点坐标为(﹣ ,0) , ( 故 λ+2λ=6,∴λ=2, ∴双曲线方程为 ﹣ =1. ,即 ,0) , .

故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,正确设出方程是关键.

8.如图,F1,F2 是双曲线 C1:x ﹣

2

=1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象 )

限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的定义,可求出|F2A|=2,|F1F2|=4,进而有|F1A|+|F2A|=6,由此可求 C2 的离心率. 【解答】解:由题意知,|F1F2|=|F1A|=4, ∵|F1A|﹣|F2A|=2, ∴|F2A|=2, ∴|F1A|+|F2A|=6, ∵|F1F2|=4, ∴C2 的离心率是 = . 故选 B. 【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,正确运用椭圆、双曲线 的几何性质是关键. 9.已知椭圆的两个焦点为 F1(﹣ ,0) ,F2( |PF1|?|PF2|=2,则该椭圆的方程是( ) A. +y =1
2

,0) ,P 是此椭圆上的一点,且 PF1⊥PF2,

B.

+y =1

2

C.x +

2

=1 D.x +

2

=1

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据已知条件得: ,所以 ,这样即可根据椭圆的定义求出 a ,因为 c =5, 所以可求出 b ,所以椭圆的标准方程就可求出. 【解答】解:如图,根据已知条件知: ∵|PF1||PF2|=2; ∴ = ; ,
2 2 2

∴a =6,b =6﹣5=1; ∴椭圆的标准方程为: 故选:A. .

2

2

【点评】考查椭圆的定义,椭圆的标准方程,及 a =b +c ,完全平方式.

2

2

2

10.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的

2 倍,则其渐近线方程为( ) A.2x±y=0 B.x±2y=0 C.4x±3y=0 D.3x±4y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】可用筛选,由 4x±3y=0 得 y=± x,取 a=3,b=4,则 c=5,满足 a+c=2b. 【解答】解:双曲线的右焦点到左顶点的距离为 a+c,右焦点到渐近线 y=± x 距离为

d=

=b,所以有:a+c=2b,

取 a=3,b=4,得 4x±3y=0,整理得 y=± x,则 c=5,满足 a+c=2b. 故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 11.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件,则 实数 a 的取值范围是( ) A.[0, ] B. (0, ) C. (﹣∞,0]∪[ ,+∞) D. (﹣∞,0)∪( ,+∞)
2

【考点】命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题.

【分析】先化简命题 p,q 即解绝对值不等式和二次不等式,再求出┐p,┐q,据已知写出两 集合端点的大小关系,列出不等式解得. 【解答】解:∵p:|4x﹣3|≤1, ∴p: ≤x≤1, ∴┐p:x>1 或 x< ; ∵q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0, ∴q:a≤x≤a+1, ┐q:x>a+1 或 x<a. 又∵┐p 是┐q 的必要而不充分条件, 即┐q?┐p,而┐p 推不出┐q, ∴ ?0≤a≤ .
2

故选项为 A. 【点评】本题考查解绝对值不等式和二次不等式;考查充要条件的转化. 12.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使得 PF1⊥PF2,则椭圆离心率的 取值范围是( ) A.[ ,1)B.[ ,1) C. (0, ] D. (0, ]

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.若椭圆上存在点 P, 使得 PF1⊥PF2,?c≥b,再利用 a,b,c 的关系,离心率计算公式即可得出. 【解答】解:如图所示, 下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点. 设椭圆上任意一点 P(x0,y0) ,则 ,可得 .

∴|OP| =

2

=

+

=

≥b ,当且仅当 x0=0 时取等号.

2

∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点. 若椭圆上存在点 P,使得 PF1⊥PF2,则 c≥b,∴c ≥b =a ﹣c ,化为 又 e<1,∴ 故选 B. .
2 2 2 2

,解得



【点评】本题考查了“椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点”的性质、离心率 计算公式等基础知识与基本技能方法,属于难题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 ﹣ =1 的左支上一点 P,该双曲线的一条渐近线方程 3x+4y=0,F1,F2 分别

双曲线的左右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|= 18 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出 a,由双曲线的定义求出|PF2|. 【解答】解:由双曲线的方程、渐近线的方程可得 = ,∴a=4. 由双曲线的定义可得|10﹣|PF2||=2a=8, ∴|PF2|=18 或 2, ∵P 是双曲线 ﹣ =1 的左支上一点,

∴|PF2|=18 故答案为:18. 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,由双 曲线的方程、渐近线的方程求出 a 是解题的关键.

14.以椭圆

=1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的 a= 【解答】解:∵椭圆方程为: =1,

、c=2

,进而计算可得结论.

∴其焦点坐标为: (﹣ ,0) 、 ( ,0) , 顶点坐标为: (﹣2 ,0) 、 (2 ,0) , ∴双曲线的焦点坐标为: (﹣2 ,0) 、 (2 ,0) , 顶点坐标为: (﹣ ,0) 、 ( ,0) ,

∴双曲线方程: ∴b =c ﹣a =8﹣3=5, ∴双曲线方程:
2 2 2

中 a=

、c=2





故答案为:



【点评】本题考查双曲线方程,注意解题方法的积累,属于中档题. 15.命题:“存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 [﹣16,0] . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 2 【分析】将条件转化为 x +ax﹣4a≥0 恒成立,必须△ ≤0,从而解出实数 a 的取值范围. 2 【解答】解:命题:“存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题, 2 即 x +ax﹣4a≥0 恒成立,必须△ ≤0, 2 即:a +16a≤0,解得﹣16≤a≤0, 故实数 a 的取值范围为[﹣16,0]. 故答案为:[﹣16,0]. 【点评】本题考查一元二次不等式的应用,注意联系对应的二次函数的图象特征,体现了等 价转化的数学思想,属中档题.
2

16. 设 F1、 F2 是椭圆 E:

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, P 为直线 x=

上一点, △ F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.



【分析】利用△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 一点建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:设 x= 交 x 轴于点 M,



∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形 ∴∠PF2F1=120°,|PF2|=|F2F1|,且|PF2|=2|F2M| ∵P 为直线 x= ∴2( 上一点,

﹣c)=2c,解之得 3a=4c

∴椭圆 E 的离心率为 e= =

故答案为:

【点评】 本题给出与椭圆有关的等腰三角形, 在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率. 着 重考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.求双曲线 25x ﹣y =﹣25 的实轴长,虚轴长、焦点和顶点坐标及离心率,渐近线方程. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】把双曲线方程化为标准方程,分别求出 a,b,c,由此能求出此双曲线的实轴长, 虚轴长、焦点和顶点坐标及离心率,渐近线方程. 【解答】解:∵双曲线方程 25x ﹣y =﹣25, ∴双曲线的标准方程为: =1,
2 2 2 2

∴a=5,b=1,c= ∴该双曲线的实轴长 10,虚轴长 2,焦点(0,± y=±5x

) ,顶点(±5,0) , (0,±1) ,渐近线:

【点评】本题考查双曲线的简单性质,是基础题,解题时把双曲线方程转化为标准方程是关 键. 18.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)求与椭圆 (2)过 P(3, + =1 有公共焦点,且离心率 e= ,5)两点. 的双曲线的方程;

)和 Q(﹣

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)求出椭圆的焦点,可得 c,利用 e= 双曲线的方程; (2)设双曲线方程为 mx +ny =1, (mn<0) ,点 P(3, 代入,求出 m,n,即可得到双曲线的标准方程.
2 2

,得 a=2,得 b =c ﹣a =5﹣4=1,可得

2

2

2

)和 Q(﹣

,5)在双曲线上,

【解答】解: (1)椭圆 则 c=5. 又由 e=

+

=1 焦点为 F(±5,0) ,根据题意得双曲线的焦点为 F(±5,0) ,

,得 a=2,得 b =c ﹣a =5﹣4=1, ﹣y =1.
2 2 2

2

2

2

所求双曲线的方程为

(2)设双曲线方程为 mx +ny =1, (mn<0) , ∵点 P(3, ∴9m+ 解得 m=﹣ )和 Q(﹣ ,5)在双曲线上,

n=1,

m+25n=1,

,n= ,

∴双曲线的标准方程为

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,属于中档题. 19.已知 p:|x﹣4|≤6,q:x +3x≥0,若命题“p 且 q”和“≦p”都为假,求 x 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】 先求出命题 p、 q 为真时 x 的取值范围, 由复合命题真值表知, 若命题“p 且 q”和“≦p” 都为假,则 p 为真 q 为假,由此求出 x 的取值范围. 【解答】解:命题 p 为真时:﹣2≤x≤10; 命题 q 为真时:x≤﹣3 或 x≥0. 由复合命题真值表知, 若命题“p 且 q”和“≦p”都为假,则 p 为真 q 为假. ∴ ?﹣2≤x<0.
2

故 x 的取值范围是{x|﹣2≤x<0}. 【点评】本题考查了复合命题的真假判断,解题的关键是由复合命题真值判断,若命题“p 且 q”和“≦p”都为假,则 p 为真 q 为假. 20.已知点 E(﹣ ,0) ,点 F 是圆(x﹣ ) +y =4 上的动点,线段 EF 的垂直平分线交 FM 于点 P,求动点 P 的轨迹方程. 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】依题意可知|FP|+|PM|=2,|PF|=|PE|,可得|EP|+|PM|=2,根据椭圆的定义可知,点 P 的轨迹为以 E,M 为焦点的椭圆,即可求出动点 P 的轨迹方程. 【解答】解:依题意可知|FP|+|PM|=2,|PF|=|PE|
2 2

∴|EP|+|PM|=2 根据椭圆的定义可知,点 P 的轨迹为以 E,M 为焦点的椭圆,a=1,c= ,则有 b= 故点 P 的轨迹方程为 . ,

【点评】本题考查椭圆的定义与标准方程,考查学生的计算能力,正确运用椭圆的定义是关 键.

21. 已知直线 y=﹣x+1 与椭圆

+

=1 (a>b>0) 相交于 A, B 两点, 若椭圆离心率为



焦距为 2. (1)求椭圆方程; (2)求线段 AB 的长. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】 (1)由已知条件推导出

,由此能求出椭圆方程.

(2)由

,得 5x ﹣6x﹣3=0,由此能求出线段 AB 的长.

2

【解答】解: (1)∵椭圆

+

=1(a>b>0)离心率为

,焦距为 2,



,解得 a=

,b=



∴椭圆方程



(2)由

,得 5x ﹣6x﹣3=0,

2

△ >0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , , ,k=﹣1,

∴线段 AB 的长|AB|=

=



【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查线段长的求法,解题时要认真审题,注意椭圆弦长 公式的合理运用.

22.如图,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) , 证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)运用离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) ,代入椭圆方程 达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)由题设知, 结合 a =b +c ,解得 a= 所以 +y =1;
2 2 2 2

+y =1,运用韦

2

=

,b=1,



(Ⅱ)证明:由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) , 代入椭圆方程
2 2

+y =1,

2

可得(1+2k )x ﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0, 由已知得(1,1)在椭圆外, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,x1x2≠0, 则 x1+x2=
2 2

,x1x2=
2



且△ =16k (k﹣1) ﹣8k(k﹣2) (1+2k )>0,解得 k>0 或 k<﹣2. 则有直线 AP,AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= +

=

+

=2k+(2﹣k) (

+

)=2k+(2﹣k)?

=2k+(2﹣k)?

=2k﹣2(k﹣1)=2.

即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2. 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率和方程的运用, 联立直线方程, 运用韦达定理,考查直线的斜率公式,属于中档题.


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