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数学 学年论文 毕业论文 条件概率的意义、算法及公式


条件概率的意义、 条件概率的意义、算法及公式
摘 要:条件概率是 “概率论与数理统计”课程的重要知识之一,文章从条件概 率的意义、算法和条件概率系列公式的联系,以及公式使用的规则和技巧,这 三方面来分析、探讨条件概率. 关键词: 关键词:条件概率;样本空间; 条件概率系列公式

1

引言 概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律

性的学科,而条件概率又是

概率论与数理统计一个重要知识点.本文从条件率的意义、算法和条件概率系列 公式的联系,以及公式使用的规则和技巧,这三方面来分析、探讨条件概率. 2 主要结论

条件概率的意义 2. 1 条件概率的意义 若( ? ,F,P)是一个概率空间,B∈F,且 P(B)>0,则对任意的 A∈F,称 P(A|B)= P( AB) 为已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的条件概率. P ( B)

条件概率的意义,可以从以下三个方面来阐述: 2.1.1 几何直观意义 我们可以用单位正方形来表示样本空间 ? , 用正方形内任一封闭曲线围成的图形表示 事件,而把图形的面 积理解为相应事件的 概 率.设 A ? ? ,B ? ? ,<见右图>. 无条件概率(或称为绝对概率).P(B)= P( B) P (? )

(注意 P( ? )=1).几何直观上,相当于 B 在空 间Ω中所占的比例,亦可表示为 P(B)=P(B| ? ). 条件概率 P(B|A)= P( AB) ,实际上是仅局限于 A 事件这个范围来考察 B 事 P ( A)

件发生的概率. 几何直观上, 相当于 B 在 A 内的那部分 AB 在 A 中所占的比例. 2.1.2 概率空间观点

1

设给定一个概率空间( ? ,F,P),并设 A∈F,P(A)>0 ,P(·|A)可看成 新引进的一个概率测度. 一方面, 它仍看作在原来的可测空间(Ω, F)上, 将原来定义的概率测度 P(· ) 改变为 P(· A) , | 这里 P(· A)对于任意的 B∈F 均有定义, P(B|A)= | 且 P( AB) . 这 P ( A)

样,当引进条件概率 P(·|A)后,可以认为概率空间可由原来的( ? ,F,P) 变为 ( ? ,F, P(·|A)) 另一方面又可认为, 当引进条件概率 P(· |A)后, 概率空间由原来的( ? , F,
' P)缩简为( ? 'A , FA' , PA ),其中 ? 'A = ? I A ,F A' =F I A,并且对于任意的 B ' ∈

F ,定义
' A

P( B ' ) P ( B )= .这样一来,可测空间也就又原来的( ? ,F)缩简 P( A)
' A '

为( ? 'A , FA' ) 2.1.3 概率直观意义 条件概率 P(A|B)与无条件概率 P(B)亦可解释为后验概率,P(B)可解释为试 验前人们根据以往积累的资料和经验,对事件 B 发生的(绝对)可能性大小的认 识.而现在经过试验,我们获得了 A 事件已发生的这个新信息.那么,这个新 的信息将要求我们并且有助于我们重新审视或估价事件 B 发生的可能性大小的 重新认识,故可解释为后验概率. 2. 2 条件概率的性质 如果 P(A)>0,条件概率具有如下性质: (1) 对任意事件 B,有 P(B|A) ≥ 0; (2) P( ? |A)=1, P(Φ|A)=0; ,A n ,… ,有

(3) 对任意可列个两两互不相容事件 A 1 ,A 2 ,… P (∑ Ai A) = ∑ P (Ai A) ;
i =1 i =1 ∞ ∞

(4) 对于一般的事件 A 1 与 A 2 ,有 P(A 1 U A 2 |A)=P(A 1 |A)+P(A 2 |A)-P(A 1 A 2 |A); (5) P(B|A)+P( B |A)=1;
2

(6) 当 B ? A 时,有 P(B|A)= 2.3 条件概率的算法

P( B) ;当 B ? A 时,有 P(B|A)=1 P( A)

计算条件概率通常有两种方法:一是在样本空间内依条件概率计算;二是
‘ 缩简样本空间法:为了计算条件概率 P(B|A),可把样本空间 ? 缩简为 ? A =

? I A,然后在缩简的样本空间 ? 'A 上,即就是在附加条件 “事件 A 已经发生” 的情况下,直接计算事件 B 发生的概率即可得 P(B |A ). 例1 掷三个骰子,已知得到的三个点数不同,求其中包含有 1 点的概率. 事件 B={其中含有 1 点}

解:设事件 A={三个点数不同}

因为已知事件 A 发生,求在此条件下事件 B 发生的概率,显然所求概率为 条件概率 P(B|A),下用两种方法求之. 法一 掷三个骰子的基本事件总数为 6 3 =216,有利 A 的事件数是 6×5×

2 4=120.有利 AB 的事件数是 3!×C 5 (因为 1 是必取的,其余 2 个可在剩下 5 个

点数中任取两个,组成不同排列).所以 P(A)=
120 216



P(AB)=

3!×C 52 60 = 216 216

由条件概率的公式知:P(B|A)= 法二

P( AB) . P ( B)

将原样本空间 ? 缩简为 ? 'A (即满足三个点数不同这一条件), 然后在 ? 'A

中考察事件 B 发生的概率.这时满足 ? 'A 的基本事件总数为 C 3 =20. 6
2 1 点取定的事件数是:C 5 =10

故由缩间样本空间法可得 P(B|A)=

10 1 = . 20 2

例2 设盒中有 4 件产品,其中 2 件正品.今从中不放回地抽取两次,每次 抽一件,求在第一次取得次品的条件下,第二次也取得次品的概率. 解:设事件 A={第一次取得次品} , 由题意知,所求为 P(B|A). 法一 我们的试验是由两次抽取组成的复合随即试验,其样本空间 ? 应该
3

B={ 第二次取得次品}

有 4×3=12 个等概的样本点.它们可表示如下: e 1 =(次 1 ,次 2 ) e 4 =(次 2 ,次 1 ) e 7 =(正 1 ,次 1 ) e 10 =(正 2 ,次 1 ) e 2 =(次 1 ,正 1 ) e 5 =(次 2 ,正 1 ) e 8 =(正 1 ,次 2 ) e 11 =(正 2 ,次 2 ) e 3 =(次 1 ,正 2 ) e 6 =(次 2 ,正 2 ) e 9 =(正 1 ,正 2 ) e 12 =(正 2 ,正 1 )

则 ? A ={ e 1 ,e 2 ,e 3 , e 4 ,e 5 ,e 6 }, P(A)=
6 , 12 P(AB)=

? AB ={e 1 ,e 4 }.由此
2 . 由 条 件 概 率 公 式 , 得 12

P(B|A)=

P( AB) 60 1 = = P ( A) 120 2

法二

将样本空间 ? = {e1 , e2 ,L, e12 } 缩间为 ?'A ={e 1 ,e 2 ,e 3 , e 4 ,e 5 ,e 6 },

而在 ?'A 上考察 B 事件发生的情况.它仅包含两个样本点 e 1 ,e 4 .故由缩间样本 空间法可得 P(B|A)=
2 1 = . 6 3

一般来说,缩间样本空间法是针对同一随机试验而言的,把 A 事件的发生及
B 事件的发生是放在同一样本空间中去讨论的.对于相应于两个不同随机试验的

两个样本空间.一般不好说一个是另一个的缩简.为此,有以下例题. 例3 设袋中有 2 个白球,1 个红球,今从中任取 1 个,观察颜色后,将其

放回,并加入一个与抽出的球同色的球.然后,再从袋中任取 1..设 A 为第一次 抽得白球,B 为第二次抽得白球,求 P(B|A). 分析: 第一次抽取时的样本空间 ? 为{白 1 ,白 2 ,红 1 }.当 A 发生后,即第一 次抽得白球后,将加入一个新的白球(记为白 3 ),这时样本空间由 ? ={白 1 ,白 2 , 红 1 }“缩简’’为 ? 'A ={白 1 ,白 2 ,白 3 ,红 1 }显然,这里 ? 'A 是 ? 的 “扩大”.怎么能说 成是 “缩简”呢?这岂不是与缩简样本空见法的实质相矛盾了吗?那么, 应该如何 解释本例中样本空间的缩简呢? 实际上,应用缩简样本空间发时,首先必须弄清,到底什么是本问题的试验 及样本空间.在本例中,我们的试验是两次抽球所组成的复合随机试验.其样本 空间 ? 共有 3×4=12 个等概的样本点我们可将它排列成如下的矩阵形式:
4

(白1,红1)(白1,白1)(白1,白2) (白1,白3) ? ? ? ? ? =(白2,红1)(白2,白1)(白2,白2)(白2,白3) ? ? ? ? (红1,红1)(红1,白1)(红1, ,白2)(红1,红 3) ? ?

在 “第一次抽得白球”(即事件 A)发生的条件下,样本空间 ? 缩简为由上述 矩阵的前两行的 8 个样本点所组成的 ? 'A 之上. 故按缩简样本空间法, 这时在 ? 'A 上计算 “第二次取得白球”的概率,即得 P(B|A)=
6 3 = . 8 4

可见, 当我们正确选择条件概率问题中的试验及样本空间后, 用缩简样本空 间法所得到的 ? 'A 一定是原样本空间 ? 的缩简, ? 'A 一定比 ? 小. 2.4 条件概率系列公式的关系探讨 条件概率系列公式即条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式.这四 个公式是以条件概率公式为起点, 以乘法公式和全概率公式为媒介, 以贝叶斯公 式为终点的一组关联公式, 是沿着一条路子走下来的, 是一棵藤上开着的四朵美 丽的花. 2. 4. 1 基本公式 条件概率公式:P(B|A)= P( AB) P ( A)
(1) (2)

将此公式移项, 即得乘法公式: P(AB)=P(A)P(B|A) 我们很容易想到,乘法公式应该还有另外一种形式,即
P(AB)=P(B)P(A|B)

(3)

概率乘法公式可以推广到多个事件的情形:如果 P ( A1 , A2 , L , An ) >0,则
P ( A1 , A2 , L , An ) =P(A 1 )P(A 2 | A 1 )P(A 3 | A 1 A 2 )┅P(A n | A 1 ,A 2 ┅A n?1 ) (4)

概率论的重要研究课题之一是希望从已知的简单事件的概率推算出未知的 复杂事件的概率.为达到这个目的,经常把一个复杂事件分解为若干个互不相 容的简单事件之和,再通过分别计算这些简单事件的概率.最后,利用概率的 可加性得到最终结果.这里,全概率公式起着重要作用. 全概率公式的描述如下: 设事件 A 1 ,A 2 ┅ 是样本空间 ? 的一个分割.(即 A 1 ,A 2 ┅互不相容且
5

∑A

i

= ? ),P( Ai )>0,则对任一事件 B,有 P(B)= ∑ P ( Ai ) P ( B Ai )
i =1 ∞

(5)

若已知事件 B 发生,想知道 P ( Ai B) ,则需要用贝叶斯公式:
P ( Ai B) = P ( Ai ) P ( B AI )

∑ P( A ) P( B A )
j =1 j j



公式 <6> 是对 P ( Ai B) ,运用条件概率公式,乘法公式和全概率公式的结 果.其中 P ( Ai ) 称作先验概率,P ( Ai B) 称作后验概率. 2. 4. 2 系列公式使用的技巧 条件概率公式作为这组系列公式的头一个.还是较好理解和掌握的,一般从 题目当中能判断出要求的目标是事件是否具有附加条件,从而选择正确的公式. 是否使用乘法公式,判断起来也较容易,但是具体使用时,存在公式(2)与公 式(3)的选择问题.其实,用乘法公式计算 P(AB)时,哪一个事件先发生,就选择 以那个事件为条件的公式,如事件 A 先发生,就选择公式(2),计算 P(AB). 应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备 事件组),然后计算各个概率和条件概率.最后代入全概率公式.全概率公式是 求复杂事件概率的有利工具. 贝叶斯公式往往与全概率公式同时使用,全概率公式一般 “由因求果”问题, 而贝叶斯公式一般用于 “执果寻因”问题,在使用时要分清是什么问题,确定应 用哪个公式. 2 . 4 . 3 例题解析 例4 一袋中有r只红球, t只白球, 每次从袋中任取一只球, 观察后放回,

并且放入a只同色球.若在袋中连续取球四次,求第一,二次取到红球且第三, 四次取到白球的概率. 解:以 Ai ( i=1,2,3,4)表示第 i 次取到红球事件,则所求事件的概率为:
P( A1 A2 A3 A4 )

6

=
=

r r +t

r+a t t+a r + t + a r + t + 2a r + t + 3a

r (r + a )t (t + a ) (r + t )(r + t + a )(r + t + 2a )(r + t + 3a )

例5

设甲,乙两袋,甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有 N 只

白球,M 只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一 只球,问取到百球的概率是多少? 解: 由于从乙袋中取球(第二次试验)之前, 要从甲袋中任取一球投入乙袋(第 一个试验),而从甲袋中取球的结果影响到从乙袋中取球结果,本例可用全概率 公式求解. 将第一个试验的样本空间分解,即可求出完备实践组. 因此甲袋中任取一球放入乙袋仅有两种可能: 取得一白球. 或者取得一黑球, 分别用 A 1 ,A 2 表示,则 A 1 ,A 2 即为所求的一个完备事件组,又设 B={从乙 袋中取得一白球},显然有
P(A 1 )=
n ; m+n N +1 P(B| A 1 )= ; N + M +1

P(A 2 )=

m ; m+n N P(B|A 2 )= . M + N +1

又全概率公式得到
P(B) = P(A 1 )P(B| A 1 ) + P(A 2 ) P(B|A 2 ) = =
n m+n N +1 N + M +1

+

m m+n

N M + N +1

n( N + 1) . (m + n)( M + N + 1)

例6

用某种试剂检查食品的卫生情况,记事件 B 为 “被检查的食品不卫

生”,事件A为 “试验呈阳性”,由经验知:P(A|B)=0.99,P( A | B )=0.95;而已 知 P(B)=0.04.现检查出一批食品的结果呈阳性.求这些食品确实不卫生的概率. 解:这是一个执果寻因问题,已知试验结果呈阳性,可能是确实不卫生也可 能是试验有误.由贝叶斯公式,得
P(B|A) =
P( B) P( A B) P ( AB ) = P ( A) P( B) P( A B) + P ( B) P( A B)

7

=

0.04 × 0.99 0.04 × 0.99 + 0.96 × 0.05

= 0.452

本题说明,虽然概率 P(A|B)与 P( A | B )都较高,但以此来确定食品不卫生 仍然是不够正确的. 3 结束语 参考文献: 参考文献:

[1] [2] [3] [4]

魏宗舒等编. 概率论与数理统计教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983. 复旦大学编.概率论[M].北京:人民教育出版,1979. 徐瑞云译.实变函数论[M]. 北京: 高等教育出版社,1955. 孙清华 赵德修.新编概率论与数理统计题解[M]. 武汉: 华中科技大 学出版社,2000.

THE DISSCUSSION OF CONDITIONAL OF PROBABILITY
ABSTRACT: Conditional probability is one of the important knowledge of the
probability theory and mathematical statistics course, This article analyses and discusses conditional probability from meaning of conditional probability , algorithm , the connection of serial formulas of conditional probability and some rules and skills about the using of these formulas .

KEYWORDS: conditional probability ; conditional probability

sample space ;

the serial formulas of

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