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2012-2013学年广州市铁一中学高二理科数学期中考试题(必修1-5+选修2-1第一章)


广州市铁一中学 2012 学年第一学期期中 高二数学(理科)试题
命题人:李如昌 审题人:刘国

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 已知 A ? {1,2,4,6}, B ? {3,4,5}, U ? {1,2,3,4,5,

6} 求 C u A ? B ? (

)

A、 {1,2,3,4,5,6}

B {1,2,4,6}

C、 {2,4,5}

D、 {3,4,5}
|a| 的值为( |b|


2.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,若向量 c=a+b,且 a⊥c,则

A.

1 2

B.

2 3 3

C.2 (

D. 3 )

3.已知 ? ? (? A.-7

?

4 ? ,0), sin ? ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 2 5 4 1 1 B.- C. 7 7

D.7

4.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的 体积是 A.27 C.33 ( B.30 D.36 )

5.有编号分别是 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的球的编号互不相同的 概率为 ( ) A.

5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

6.对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如 [? ] ? 3, [?1.08] ? ?2 ,定义函数{x} ? x ? [x] , 则下列命题中正确的是 A.函数 {x} 的最大值为 1 C.函数 {x} 是周期函数 B.函数 G ( x) ? {x} ? D.函数 {x} 是增函数 ( )

1 有且仅有一个零点 2

?2 x ? 3 y ? 5 ? 7、已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ,则 x ? 3 y 的最大值是( ?y ? 0 ?



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A.

5 2

B .3

C. 4
2

D.

9 2

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8、在各项均不为零的等差数列 ? an ? 中,若 an ?1 ? an ? an ?1 ? 0(n ? 2) ,则 S2 n ?1 ? 4n ? ( ..



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A .-2
9.如图,从双曲线

B .0

C .1

D .2

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x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T,延长 FT 2 a b

交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 | MO | ? | MT | 与b ? a 的大小关系 为( )

A. | MO | ? | MT |? b ? a B. | MO | ? | MT |? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a D.大小关系不确定


10、函数 y ? f ( x) 是定义在 [a, b] 上的增函数,其中 a, b ? R ,且 0 ? b ? ?a ,已知 y ? f ( x) 无零点,设 函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,对于 F ( x) 有如下四个说法:①定义域是 [?b, b] ;②是偶函数;③最小
2 2

值是 0;④在定义域内单调递增;其中正确说法的个数有

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A .4 个

B .3 个

C .2 个

D .1 个

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第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在题中的横线上.

y) 11、已知向量 a ? ( x ? 1, 2 ? 向量 b ? ( y ? 2, x ? 1) ,若 a ∥ b ,则 x ? y ? 12.已知一三角形 ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为
2 2

?

?

?

?

.



3 的正三角形 A?B?C ? (如图),则三角形 ABC 中边长与
正三角形 A?B ?C ? 的边长相等的边上的高为_______ C’ y’ 1 0.5 2 1

x
y

z
O’ A’ B’ x’ 13、在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差 数列,每一纵列成等比数列,那么, x ? y ? z 的值为 14 已知函数 f(x) =

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.

x ?1 ? 2
3

x ?1

的零点有四个 x1、x2、x3、x4,则

f(x1+x2+ x3+x4)=_______.
第 2 页(共 9 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a 、 、 , 角 B、 b c 且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A,1), n ? (?1,1) ,求 m ? n 的最小值.
2

(本小题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成 绩分组,得到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生 进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求:第 4 组至 少有一名学生被考官 A 面试的概率? 16.
0 7 0 3 1 6

0

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计

分组

频数 5 ① 30 20 10 100

频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165 ?

?165,170 ?
?170,175 ? ?175,180 ?
[180,185]

17. (本题满分 14 分) 如图 5,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; A B E

C

F 图5

D

18、 (本题 14 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成
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面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD= x ,DE= y ,求 y 关于 x 的函数关系式; A
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(2)如果 DE 是灌溉水管,我们希望它最短,DE 的位置应在哪 里?请予证明.
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x D y

E

第 3 页(共 9 页)

B

C

19、 (本题 14 分)
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已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , n ?1 ? 2(1 ? )2 ? an (n ? N ? ) . a

an }是等比数列,并求其通项公式; n2 a (2)设 bn ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; n n 7 (3)设 cn ? ,求证: c1 ? c2 ? c3 ? ?????? ?cn ? . an 10
(1)求证数列 {
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1 n

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20. (本小题满分 14 分)过双曲线 2x2?y2=1 上一点 A(1,1)作两条动弦 AB, AC,且直线 AB, AC 的斜率的乘积 为 3. (1)问直线 BC 是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线 BC 的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由. (2)证明直线 BC 过定点.

四、附加题: (一班学生做,满分 20 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 ? m, n ? ? D ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 ? m, n ? 内是 单调的;②当定义域是 ? m, n ? 时, f ( x) 的值域也是 ? m, n ? 时,则称 ? m, n ? 是该函数的“和谐区间” 。 (1) 判断函数 y ? 3 ? (2) 如果 ? m, n ?

4 是否存在“和谐区间” ,并说明理由; x
2

?a 是函数 y ?

? a ? x ?1 a2 x

,求 ? a ? 0 ? 的一个“和谐区间” n ? m 的最大值;

(3) 有些函数有无数个“和谐区间” ,如 y ? x ,请你再举一类(无需证明)

第 4 页(共 9 页)

广州市铁一中学 2012 学年高二期中考 数学试题(理科)答案 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题号 答案 题目要求的。 ) 2 3 A B

1 D

4 B

5 D

6 C

7 C

8 A

9 B

10 C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 5 12、 2

6

13、 1

;14、

19



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 12 分) 解: (I)由正弦定理
a c b ? ? ? 2 R ,有 sin A sin C sin B

a ? 2R sin A , b ? 2R s i n , c ? 2R sin C B

代入(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.???????????4 分 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C) ∵A+B+C=π ,∴2sinAcosB=sinA.????????????????6 分 ∵0<A<π ,∴sinA≠0.

1 .?????????????????????????7 分 2 ? ∵0<B<π ,∴B= .??????????????????????8 分 3
∴cosB= (II) m ? n =-sinA+1 由 B= ??????????????10 分

2? ? 得 A∈(0, ) ??????????????11 分 3 3 ? 所以,当 A ? 时, m ? n 取得最小值 0.????????????12 分 2
16. (本题满分 12 分) 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, ????? 1 分 第 3 组的频率为

30 ? 0.300 , ???2 分 100

频率分布直方图如右: ?????????? 5 分 (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:

30 ? 6 ? 3 人, ???? 6 分 60 20 第 4 组: ? 6 ? 2 人, ???? 7 分 60 10 第 5 组: ? 6 ? 1 人, ???? 8 分 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。
第 5 页(共 9 页)

(3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , C1 ) ,

( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ),
( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), ????????????????????????????10 分
其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有: ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ),

( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 中可能, ????11 分
所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为 17. (本题满分 14 分) 证明:(1) 证:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中 点, ∴ GF // DE 且 GF ?

9 3 ? ????12 分 15 5

1 DE . 2

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE ,∴ GF ? AB . 2

???? 4 分

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , ???? 9 分 ???? 7 分

AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF .
又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE .???? 11 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????14 分
第 6 页(共 9 页)

18. (本题满分 14 分) 解: (1)在△ADE 中, y = x +AE -2 x ·AE·cos60° ? y = x +AE - x ·AE,①
2 2 2 2 2 2

1 x ·AE·sin60° ? x ·AE=2.② 2 2 2 4 2 2 2 ②代入①得 y = x + ( ) -2( y >0), ∴ y = x ? 2 ? 2 x x 2 又 x ≤2,若 x ? 1, AE ? ? 2 ,矛盾,所以 x ≥ 1 x 4 2 ∴ y = x ? 2 ? 2 (1≤ x ≤2). x 4 2 (2)如果 DE 是水管 y = x ? 2 ? 2 ≥ 2 ? 2 ? 2 ? 2 , x 4 2 当且仅当 x = 2 ,即 x = 2 时“=”成立, x 故 DE∥ BC,且 DE= 2 .
又 S△ADE= S△ABC= 19. (本题满分 14 分) 解: (1)? a1 ? 2 , an ?1 ? 2(1 ? )2 ? an (n ? N * )
? an ?1 a a ? 2 ? n , n ? N * ?{ n } 为等比数列 2 2 (n ? 1) n n2

1 2

1 n

(3) cn ?

n 1 ? ?0 an n ? 2n

设 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ,则 T1 ? T2 ? T3 ? T4 当 n ≥4 时,
Tn ?
n ?1

?

an a1 n ?1 ? 2 ? 2 ? 2n ? an ? n2 ? 2n 2 n 1 a (2) bn ? n ? n ? 2n n ? Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n
2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 4 n

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 2 3 4 1? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 n ? 2n

?

1 1 1 1 ?1 1 1? ? ? ? ? ? 4 ? 5 ??? n ? 2 8 24 4 ? 2 2 2 ?

??Sn ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1

? Sn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2

1 n? 3 ? ? ?1 ? ( 2 ) ? 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 3 ? ? ( )n 1 3 4 2 4 2 1? 2 2 1 1 2 1 2 1 7 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 4 2 3 32 3 30 10 7 综上: c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 10 1 2 1 24 ? ? ? 3 4

20. (本题满分 14 分) 解:令 B(x1, y1),C(x2, y2). (1)当 BC 与 x 轴垂直时,有 x1=x2, 故:3=

y1= ?y2, 3分

2 2 y1 ? 1 ? y1 ? 1 1 ? y1 2(1 ? x1 ) 2(1 ? x1 ) 2 1 ? ? ? ? ?x1= ,与|x1|? 矛盾.因此 AB 不与 x 轴垂直.. 2 2 x1 ? 1 x1 ? 1 1 ? x1 2 5 ( x1 ? 1) (1 ? x1 )

当 BC 与 y 轴垂直时,有 x1= ?x2, y1= y2, 故:3=
2 y1 ? 1 y1 ? 1 (1 ? y1 ) 2(1 ? y1 ) 2 2(1 ? y1 ) 1 ?y1= ? .因此 AB 可与 y 轴垂直, 此时 AB 的方程为 y= ? ? ? ? 2 2 x1 ? 1 ? x1 ? 1 1 ? y1 5 1 ? x1 1 ? y1

1 ? . 5分 5
第 7 页(共 9 页)

(2)当 BC 不与坐标轴垂直时,kAB· AC= k

y1 ? 1 y 2 ? 1 =3, ? x1 ? 1 x 2 ? 1

故 3(x1?1)(x2?1)=(y1?1)(y2?1). ???① .............. 6 分 2 2 令 BC : y=kx+b,代入双曲线方程有: 2x ?(kx+b) =1?(2?k2)x2?2kbx?b2?1=0.???② x1,x2 是方程②的两个实根. 令 f(x)= (2?k2)x2?2kbx?b2?1, 则(x1?1)(x2?1)=
f (1) 2?k2 ? 2 ? k 2 ? 2kb ? b 2 ? 1 2?k2

. ③

……………….. 8 分

直线方程又可 写成:x=

y ?b , 代入 2x2?y2=1,有: 2(y?b)2?k2y2=k2, 整理得:(2?k2)y2?4by+2b2?k2=0.?④ k

y1,y2 是方程④的两个实根. (y1?1)(y2?1)=
g (1) 2?k2 ?

令 g(y)= (2?k2)y2?4by+2b2?k2.
.

2 ? 2k 2 ? 4b ? 2b 2 2?k2

?⑤

??????10 分

③,⑤两式代入①式,有:

3(1 ? k 2 ? 2kb ? b 2 ) 2?k
2

?

2 ? 2k 2 ? 4b ? 2b 2 2?k
2

,

故 3[1?(k+b)2]=2[(b?1)2?k2],

从而:3(1?k?b)(1+k+b)=2(b?1?k)(b?1+k). ??⑥ 因为点 A(1,1)不在直线 y=kx+b 上,故 k+b?1. 利用⑥,可知: 3 (1+k+b)+ 2(b?1?k)=0, 即 k+5b+1=0? ? ? k ? ? b.
1 5 1 5
[来源:学+科+网]

1 ?1 1? 因此直线 AB 过定点 M ? ,? ? .直线 y=? 也过定点 M. 5 ?5 5?
1? 5?

综上所述,直线 AB 恒过定点 M ? ,? ? . ????? 附加题: (一班学生做,满分 20 分) 解(1)设 ? m, n ? 是函数 y ? 3 ?

?1 ?5

14 分

4 4 的“和谐区间” ,则 y ? 3 ? 在 ? m, n ? 上单调。 x x

所以 ? m, n ? ? ? ??, 0 ? 或 ? m, n ? ? ? 0, ?? ?

4 在 ? m, n ? 上为增函数。 x 4 则 f (m) ? m , f (n) ? n 。即方程 3 ? ? x 有两个解 m, n x 4 又 3 ? ? x 可化为 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,而 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 无实数解。 x 4 所以,函数 y ? 3 ? 不存在“和谐区间” x
因此, y ? 3 ? (2)因为 f ? x ? ?

?a

2

? a ? x ?1 a x
2

?

a ?1 1 ? 2 在 ? m, n ? 上是单调的, a a x

所以 ? m, n ? ? ? ??, 0 ? 或 ? m, n ? ? ? 0, ?? ? 则 f (m) ? m , f (n) ? n 所以 m, n 是

a ?1 1 ? 2 ? x 的两个同号的实数根 a a x

2 2 即方程 a x ? a ? a x ? 1 ? 0 有两个同号的实数根,注意到 mn ?

?

?

1 ?0 a2

2 只要 ? ? a ? a

?

?

2

? 4a 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? ?3
第 8 页(共 9 页)

? a2 ? a ? 4 3 2 ? 1 1? 4 所以 n ? m ? ? m ? n ? ? 4mn ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ?3 ? ? ? ? 2 a a ? a 3? 3 ? a ? a
2 2

其中 a ? 1 或 a ? ?3 ,所以,当 a ? 3 时, n ? m 取最大值

2 3 3

(3) ,答案不唯一,如可写出以下函数: y ? a ? x (a 为常数) y ? ,

k (k ? o 为常数) x

第 9 页(共 9 页)


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